Тфкп(ряды тейлора и лорана)

[MyaSniK]

Задали типовик, я его весь решил, кроме одного задания.
$ \phi(z)=\dfrac{z-i}{z^2+9} $ нужно разложить в ряд тейлора и лорана в окрестностях z=1, и лорана в окрестностях z=1 и z=3

Я нашёл особые точки, $z=\pm 3i$.
нашёл коэффициенты и разложил на сумму двух дробей, получилось:

$ \phi(z)=\dfrac{4}{6} * \dfrac{1}{z*i+3} -\dfrac{2}{6} *\dfrac{1}{z*i-3}$

Построил область, получился круг с центром в 1 и радиусом $\sqrt{10}$.
теперь не могу подогнать части выражения под разложение, чёт ваще голова не соображает(из-за того что $z*i$, и я не знаю имеет ли это значение или нет), подскажите.
по идее должно быть разложение вида $(\dfrac{1}{1-q} = 1+q+q^2)$
натолкните на идею=)

P.s. Исправил, верните пожалуйста мою тему обратно, я уже часа 4 решаю=(

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин. В теме Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться также описано, как исправлять ситуацию.

Возвращено.

[Sintanial]

Ну с начало как я понимаю нужно дробь преобразовать в сумму дробей.
$ \phi(z)=\dfrac{z-i}{z^2+9} =\dfrac{z-i}{(iz+3)(iz-3)} =\dfrac{z}{(iz+3)(iz-3)}-\dfrac{i}{(iz+3)(iz-3)}=\dfrac 1 {2i} (\dfrac{1}{iz+3}+\dfrac{1}{iz-3})+\dfrac i 6( \dfrac{1}{iz+3}-\dfrac{1}{iz-3})$
далее лучше все i из знаменателя вынести
$\frac {-1}{2}*(\dfrac{1}{z+\frac 3 i}+\dfrac{1}{z-\frac 3 i})+\dfrac 1 6( \dfrac{1}{z+\frac 3 i}-\dfrac{1}{z-\frac 3 i})$
1) Допустим раскладываем в окрестности z=1 тогда делаем замену $z-1=t => z=t+1$ подставляем замену, упрощаем, раскладываем в ряд Лорана. Так же делаем с z=3

Я проделаю с z=1 а вы потом попробуете с 3 =).
$\frac{-1}{2}*(\dfrac{1}{t+(1+\frac 3 i)}+\dfrac{1}{t+(1-\frac 3 i)})+\dfrac 1 6( \dfrac{1}{t+(1+\frac 3 i)}-\dfrac{1}{t+(1-\frac 3 i)})$
Ну далее выносим t(не уверен в одном только : выносить t или другое слагаемое, ну я вынесу t, аргументируя тем что в ряд Лорана функция раскладывается по отрицательным степеням ) и раскладываем в ряд
$\frac {-1}{2t}*(\dfrac{1}{1+\frac {(1+\frac 3 i)}{t}}+\dfrac{1}{1+\frac {(1-\frac 3 i)}{t}})+\dfrac 1 {6t}( \dfrac{1}{1+\frac {(1+\frac 3 i)}{t}}-\dfrac{1}{1+\frac {(1-\frac 3 i)}{t}})$


2) Ну И в ряд Тейлора точно так же =)..... Только тут в окрестности z=1 Необходимо выносить не t а слагаемое второе, так как ряд раскладывается при условии что $|t|<1$

З.ы. Не во всем уверен....надеюсь правильно подсказал

[ShMaxG]

MyaSniK
Вы не правильно разложили на две дроби исходную функцию. И нет там никакого $i \cdot z$ в знаменателе (и не надо).

Sintanial
Зачем так сложно? Лучше вообще $ \dfrac{z-i}{(iz+3)(iz-3)} =\dfrac{z}{(iz+3)(iz-3)}-\dfrac{i}{(iz+3)(iz-3)} не делать. Да и я бы делал так: $\[{z^2} + 9 = \left( {z + 3i} \right)\left( {z - 3i} \right)\] $.

[Sintanial]

хмм =) я просто корни не проверял уравнения =), скопировал у автора.... да вы правы, так гораздо проще =). Ну в принципе я показал самое главное - принцип

[MyaSniK]

Да я это уже сегодня понял, и я ещё точки неправильно списал($z=1$ и$z=3*i$ , там получаются особые и точки в пределах которых нужно раскладывать одни и те же, то есть ряд Тейлора получился такой же как ряд Лорана.)
И как только это всё пришло мне в голову, пример особым образом решился=)
Но всё же спасиб, что глянули и натолкнули на мысль=)