Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей:
При каких целых a уравнение

имеет решение в кольце целых 7-адических чисел.
Что делаю я.
Беру

. Рассматриваю

и

(чтобы использовать лемму Гензеля, где нужно).
Расписываю возведение вычетов по модулю 7 в куб:

,

.
Делаю вывод, что a может быть 0, 1 или 6 по модулю 7. Лемма Гензеля распространяется на ненулевой случай, то есть следующие a подходят:

.
Нулевой случай, по сути, сводится к решению в кольце целых 7-адических чисел следующего выражения:

.
При каких k и b будет решение? Что-то подсказывает, что k должно быть вида 3d, а

, но с доказательством (или другим решением) проблемы. Какими теоретическими фактами и критериями можно пользоваться и каков всё-таки будет правильный ответ?