Параллельные линии пересекаются!

[Skrejet]

shwedka в сообщении #262248 писал(а):

С ними нельзя производить операции, сравнивать и тп, пока эти операции не определены.

Теперь вижу, что Вы правы, несовсем понятное какое отношение ББ и БМ имеют к вещественным числам, что с ними можно делать и что за операции подразумеваются. Думаю я знаю как это исправить...

shwedka в сообщении #262248 писал(а):

Вам говорилось много раз. Меры только СЧЕТНО-АДДИТИВНЫ

Я как раз хотел установить причину их неаддитивности для таких случаев и существование условий возможности все-таки её применимости.

[AD]

hurtsy в сообщении #262586 писал(а):

и ещё я слышал нужна полнота

Так ее ж почти нигде не бывает вроде, да? Ну теорема Гёделя та самая знаменитая.

(Оффтоп)

-- Пн ноя 16, 2009 16:35:33 --

Skrejet в сообщении #262611 писал(а):

Теперь вижу, что Вы правы, несовсем понятное какое отношение ББ и БМ имеют к вещественным числам, что с ними можно делать и что за операции подразумеваются.

Уфф .....

[hurtsy]

AD

Цитата:

Так ее ж почти нигде не бывает вроде, да? Ну теорема Гёделя та самая знаменитая.

Ну да. Когда нет - нужна(полнота). А если есть - уже противоречия. А где эта золотая середина? Я бы предложил, так у меня нет даже опыта общения с наукой где правит Матиясевич. С уважением,

[Ираклий]

hurtsy в сообщении #262586 писал(а):

Добрая воля, непротиворечивость, и ещё я слышал нужна полнота(чтоб не доходя до противоречий). И тогда можно искать истину? Как Вы оцениваете в этом смысле ZFC?

Вопрос не по теме, но интересный. Что касается полноты, то ответ известен: ее нет и быть не может при условии непротиворечивости. Но всё, что в математике доказано по сей день можно доказать в ZFC. Математика не знает методов доказательства, не формализуемых в рамках ZFC. (Конечно, в математике рассматривается много других теорий множеств и даже других логик, но все эти рассмотрения могут быть погружены в ZFC как в метатеорию.)

[Emc]

Skrejet
Ах да. Еще один момент, который вы наверняка сможете объяснить. $\copyright$Коломбо

Skrejet в сообщении #262242 писал(а):

А вот кстати если разбить прямую на множество единичных отрезов её можно собрать из произвольного счетного подмножества отрезков единичного квадрата, т. к. оно счетно. Множество непересекающихся счетных подмножеств точек отрезка(отрезков квадрата) вроде бы континуально, значит из отрезков квадрата можно собрать континуальное множество прямых. Если бы ими можно было замести полоску плоскости конечной ширины мы бы из конечной площади получили бесконечную, соответственно остается сделать вывод - континуальное множество прямых отрезка можно соответствует бесконечно тонкой полоске, иначе тут где-то ошибка.

Вроде бы все правильно, если прямую разбивали на непересекающиеся отрезки. НО! С какой стати площадь должна была сохраниться? Или, иначе говоря, почему должна была бы сохраниться длина [0,1] после (пускай даже) биективного отображения на всю $\mathbb{R}$?

[hurtsy]

Ираклий

Цитата:

Вопрос не по теме, но интересный.

Так в чем же дело. Я "сбегаю" $\copyright$ Шурик, т.е. попытаюсь открыть тему с названием типа "Наивные предложения в рамках ZFC к наивной теории множеств Кантора". Сначала Ваше согласие, потом открываю тему. С уважением,

[Ираклий]

hurtsy в сообщении #262667 писал(а):

попытаюсь открыть тему с названием типа "Наивные предложения в рамках ZFC к наивной теории множеств Кантора". Сначала Ваше согласие, потом открываю тему.

Не имею ничего против, хотя и не понял, о чем идет речь, по предлагаемому заголовку

[Someone]

hurtsy в сообщении #262586 писал(а):

и ещё я слышал нужна полнота

Неправильно слышали.

hurtsy в сообщении #262586 писал(а):

Как Вы оцениваете в этом смысле ZFC?

В каком "в этом"?

Ираклий в сообщении #262638 писал(а):

Но всё, что в математике доказано по сей день можно доказать в ZFC.

Вообще-то, ZFC вовсе не претендует на роль "теории всех теорий". Не нужно делать таких экстремистских заявлений, поскольку это ограничивает математику теорией множеств.

[Ираклий]

Someone в сообщении #262730 писал(а):

Вообще-то, ZFC вовсе не претендует на роль "теории всех теорий". Не нужно делать таких экстремистских заявлений, поскольку это ограничивает математику теорией множеств.

Я не делал никаких экстремистских заявлений. Известная математика погружается в ZFC. Но я вовсе не утверждаю, что вся математика погружается в ZFC. Если ZFC непротиворечива, то есть истинные утверждения, недоказуемые в ZFC. Но ни одно из них не доказано какими-либо другими средствами.

[Skrejet]

Skrejet в сообщении #262611 писал(а):

Думаю я знаю как это исправить...

Собственно, чтобы все было хорошо необходим специфический алгоритм, который было бы логично назвать алгоритмом формирования универсального числового пространста. Я тут подумал и мне видится это как-то так:
На нулевом этапе положим множество всех универсальных чисел пустым:

$$UNS=\left\{\right\}$$

Далее добавим в него 2-а элемента и введем над ними отношение и бинарную операцию (*) порождающую новый элемент, который также добавляется в UNS:

$$UNS=\left\{IL,IB\right\}$$

Положим пусть справедливо:

$$IL<IB$$

$$(IL)*(IB)=(IR)$$

Где IR - новый элемент, порожденный в результате бинарной операции *
При этом справедливо

$$IL<IR<IB$$

Сгенерируем континуальное множество элементов посредством воздействия на элементы
IL,IR,IB ненулевого вещественного скаляра k $\in\mathBB{R}-\left\{0\right\}$, где R - множество вещественных чисел неподразумевающее наличие бесконечномалых.

Для любых $kL$, $kR$, $kB$ $\in\mathBB{R}-\left\{0\right\}$ положим справедливо

$kl(IL)<kR(IR)<kB(IB)$ $(1)$

При это если $k2>k1$

$k2(IL)>k1(IL)$ $k2(IR)>k1(IR)$ $k2(IB)>k1(IB)$

соответствующие множества назавен числовым измерением соразмерности
(или просто числовыми измерениями) с порождающими элементами-единицами IL, IR, IB.
$\psi(IL)=\left\{el:(\forall kL\in\mathBB{R}-\left\{0\right\})el=(kl)(IL)\right\}$
$\psi(IR)=\left\{el:(\forall kR\in\mathBB{R}-\left\{0\right\})el=(kR)(IR)\right\}$
$\psi(IB)=\left\{el:(\forall kB\in\mathBB{R}-\left\{0\right\})el=(kB)(IB) \right\}$
Числовые измерение были полученны при помощи введенных элементов и множества вещественных чисел без нуля. На данном этапе UNS будет содержать 3 числовых измерения:

$$UNS=\left\{\psi(IL),\psi(IB),\psi(IR)\right\}$$

Для каждого из данных числовых измерений возможно установить взаимооднозначное соответствие между их элементами и элементами множества вещественных чисел без нуля, поэтому можно принять что множество вещественных чисел на самом деле соответствует одному из этих трех континиумов, например IR-континиуму, с учетом (1) можно положить что для любых kL kl(IL)=0 в вещественных числах соответствующих соответствующих IR и для любых kB kB(IB)=$\infty$ для них же

Эти рассуждения - начало бесконечной рекурсии: Так введенная бинарная операция может аналогичным образом может породить промежуточные числовые континиумы:
Положим пусть справедливо:

$$(IL)*(IR)=(ILR)$$

$$LR<ILR<IR$$

Аналогично (1) $kL$, $kLR$, $kR$ $\in\mathBB{R}-\left\{0\right\}$ положим справедливо

$kl(IL)<kLR(ILR)<kR(IR)$ $(k2>k1) => k2(ILR)>k1(ILR)$

Все тоже самое

$$(IR)*(IB)=(IBR)$$

$$IR<IBR<IB$$

$kR(IR)<kBR(IBR)<kB(IB)$ $(k2>k1) => k2(IBR)>k1(IBR)$.

Операции умножения, сложения, деления в пределах конкретного числового измерения
вводется аналогично операциям в множестве действительных чисел.

В качестве геометрической интерпритации можно взять например отрезок прямой и положить точки на его концах соответствующими числовым измерениям IL и IB, а IR-измерению соответствует середине отрезка.
Аналогично ILR-измерение первой четверти, IBR - третий. Рассуждения можно продолжать аналочино, пока всем точкам отрезка не будет соответствовать свой порождающий представитель его измерения соразмерность. Парадоксальность еще и в том, что полученным таки образом числовым измерения возможно присваивать вещественные индексы, для этого достаточно задать индексы IL и IB, каким-то числом, остальные ЧИ получат их автоматически. Таким образом, каждая вещественная точка, соответствующая конкретному значению индекса представляет свое числовое измерения. Но и это рассуждения неполны - должны существовать ЧИ превосходящие IB и IL, не будут углубляться в рассуждения, но в и итоге должна получиться вещественная прямая индексов числовых измерений. Если множество вещественных чисел связать с каким-либо числовым измерение этой прямой, например как мы брали уже IR - множество бесконечномалых чисел будет представляться измерениями имеющими меньший индекс, чем IR, бесконечно больших чисел, соответственно больший. Если углубляться и дальше должны существовать беконечно большие и бесконечномалые индексы.

-- Вт ноя 17, 2009 17:52:17 --

Emc в сообщении #262651 писал(а):

Или, иначе говоря, почему должна была бы сохраниться длина [0,1] после (пускай даже) биективного отображения на всю$ \mathbb{R}$?

Emc, где вы заметили у меня такое отображение?

[Alexey Romanov]

Ираклий в сообщении #262638 писал(а):

Но всё, что в математике доказано по сей день можно доказать в ZFC. Математика не знает методов доказательства, не формализуемых в рамках ZFC. (Конечно, в математике рассматривается много других теорий множеств и даже других логик, но все эти рассмотрения могут быть погружены в ZFC как в метатеорию.)

В современной алгебраической геометрии, насколько я знаю, много результатов формализуются не в ZFC, а в TG = ZFC + "каждое множество принадлежит некоторой вселенной". Мне не совсем понятно, в каком смысле эту теорию можно "погрузить в ZFC как в метатеорию". Если мы допустим, что на метауровне существует её модель, то наша метатеория -- вовсе не ZFC, а ZFC + "существует модель TG" (а значит, существует бесконечно много недостижимых кардиналов).

[Ираклий]

Alexey Romanov в сообщении #264293 писал(а):

Мне не совсем понятно, в каком смысле эту теорию можно "погрузить в ZFC как в метатеорию".

Если А - некоторое утверждение, которое доказуемо в теории TG, то утверждение "из TG выводимо А" есть теорема ZFC. Т.е. на уровне ZFC мы не предполагаем, что существует модель TG, а просто доказываем существование вывода A из аксиом TG.

[Alexey Romanov]

Ираклий в сообщении #264299 писал(а):

Alexey Romanov в сообщении #264293 писал(а):

Мне не совсем понятно, в каком смысле эту теорию можно "погрузить в ZFC как в метатеорию".

Если А - некоторое утверждение, которое доказуемо в теории TG, то утверждение "из TG выводимо А" есть теорема ZFC. Т.е. на уровне ZFC мы не предполагаем, что существует модель TG, а просто доказываем существование вывода A из аксиом TG.

В этом смысле можно и TG, и ZFC погрузить в PA. Но не будем же мы на этом основании утверждать, что вся известная математика формализуется в PA! (По крайней мере, я не буду.)

[Ираклий]

Alexey Romanov в сообщении #264375 писал(а):

В этом смысле можно и TG, и ZFC погрузить в PA. Но не будем же мы на этом основании утверждать, что вся известная математика формализуется в PA!

Да, действительно, любое утверждение о выводимости чего-либо где-либо можно доказать в РА. Все доказанные в математике утверждения есть теоремы некоторой формальной системы. Т.е. можно сказать (ведь можно?), что любая теорема математики может рассматриваться как теорема РА.

[hurtsy]

Ираклий

Цитата:

Т.е. можно сказать (ведь можно?), что любая теорема математики может рассматриваться как теорема РА.

Имхо, почему же нет, только "при этом надо приговаривать", в текущем состоянии математики и РА. С уважением,