i в квадрате

[бобыль]

Чтобы при перемножении комплексных чисел остаться в их поле, полагают $i^2 = -1$. Казалось бы, с тем же успехом можно считать, что $i^2 = +1$ или $i^2 = 0$, чтобы получить "двойные" или "дуальные" числа. Однако комплексные числа имеют обширные приложения и всем известны, о двойных же и дуальных числах этого не скажешь. В чем здесь дело?

[bot]

Что значит полагают, присоединяют к R? Ну тогда двойные числа известны - это положительные и отрицательные числа, присоединение к полю R корня двучлена $x^2 - 1$ ничего нового не даёт. Дуальные же - это в данном контексте просто 0.

[Руст]

Главное отличие в том, что из себя представляет кольцо R[x]. В первом случае единственное поле, являющееся алгебраическим расширением поля действительных чисел, а в других кольца с делителями нуля, имеющие мало приложений, по сравнению с первым.

[бобыль]

bot писал(а):

Что значит полагают, присоединяют к R? Ну тогда двойные числа известны - это положительные и отрицательные числа, присоединение к полю R корня двучлена $x^2 - 1$ ничего нового не даёт. Дуальные же - это в данном контексте просто 0.

А то и значит, что формальное перемножение двух "комплексных" чисел как полиномов дает член с i квадрат, от последнего избавляются, полагая его чему-то равным, например -1 для собственно комплексных чисел. Верно, что двойные числа не дают ничего нового по сравнению с положительными и отрицательными числами. А вот дуальные числа и в данном контексте отнюдь не 0.

[бобыль]

Руст писал(а):

Главное отличие в том, что из себя представляет кольцо R[x]. В первом случае единственное поле, являющееся алгебраическим расширением поля действительных чисел, а в других кольца с делителями нуля, имеющие мало приложений, по сравнению с первым.

Да, делители нуля. Да, мало приложений. Но почему мало?

[Руст]

Когда есть деление и коммутативность сохраняется можно делить (оно не зависит делим слева или справа), а это позволяет распространить дифференциальное исчисление на расширенное поле, которое имеет существенные отличия от дифференциального исчисления в R, что имеет множество приложений как в дифурах так и в других областях математики.

[bot]

бобыль писал(а):

А вот дуальные числа и в данном контексте отнюдь не 0.

Я не имел в виду расширение, полем не являющееся. Если вопрос расширить, то можно рассматривать кольца матриц, к примеру. Кто скажет, что они имеют мало приложений?
Только ведь такие расширения неинтересны, так как вкладываются в более широкие - в данном примере во всё кольцо матриц второго порядка:
$a+bi \rightarrow $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \\ \end{array} \right) \ $ $

[Approximator]

Руст писал(а):

Когда есть деление и коммутативность сохраняется можно делить (оно не зависит делим слева или справа), а это позволяет распространить дифференциальное исчисление на расширенное поле, которое имеет существенные отличия от дифференциального исчисления в R, что имеет множество приложений как в дифурах так и в других областях математики.

Дифференцируемость можно сохранить (при доп. допущениях) и в случае множеств произвольных гиперкомплексных чисел (пространство Минковского, например , с алгебраической точки зрения построено над множеством гиперкомплексных чисел).

Это же относится к пространствам с метрикой Бервальда-Моора .

Везде есть дифференцируемость (или её эквивалент).

Дело несколько в ином. Вопрос именно в свойствах сложения и умножения.

Полный изоморфизм групп со сложением и умножением возможен только над $\mathbb{C}$. Отсюда и такая высокая аппликабельность у ТФКП.

Подробнее см. теорему Фробениуса.

[lofar]

Approximator писал(а):

Полный изоморфизм групп со сложением и умножением возможен только над $\mathbb{C}$.

Поясните, пожалуйста, о каких группах идет речь?

[Approximator]

lofar писал(а):

Approximator писал(а):

Полный изоморфизм групп со сложением и умножением возможен только над $\mathbb{C}$.

Поясните, пожалуйста, о каких группах идет речь?

А есть возможность понять двояко?

Группа со сложением над $\mathbb{C}$ и группа с умножением над $\mathbb{C}$ изоморфны друг другу.

Как изоморфны друг другу группа со сложением над $\mathbb{R}$ и группа с умножением над $\mathbb{R}$_+.

[Trueman]

Approximator писал(а):

lofar писал(а):

Approximator писал(а):

Полный изоморфизм групп со сложением и умножением возможен только над $\mathbb{C}$.

Поясните, пожалуйста, о каких группах идет речь?

А есть возможность понять двояко?

Группа со сложением над $\mathbb{C}$ и группа с умножением над $\mathbb{C}$ изоморфны друг другу.

Как изоморфны друг другу группа со сложением над $\mathbb{R}$ и группа с умножением над $\mathbb{R}$_+.

Проще говоря, приходится жертвовать некоторыми свойствами, например, коммутотивностью.

[Someone]

Что-то не пойму я предмета обсуждения.
1) $(\mathbb R,+)$ и $(\mathbb C,+)$ являются группами, $(\mathbb R,\cdot)$ и $(\mathbb C,\cdot)$ группами не являются.
2) $(\mathbb R_0,\cdot)$ и $(\mathbb C_0,\cdot)$ (без нулевого элемента) являются группами, но эти группы не изоморфны группам $(\mathbb R,+)$ и $(\mathbb C,+)$ соответсвтенно, так как две последние группы не содержат подгрупп порядка 2, а две первые содержат подгруппу $(\{1,-1\},\cdot)$.
3) Группы $(\mathbb R,+)$ и $(\mathbb R_+,\cdot)$ ($\mathbb R_+$ - множество положительных действительных чисел) изоморфны (изоморфизм первой группы на вторую даётся функцией $e^x$). Какой "очевидной" подгруппе группы $(\mathbb C_0,\cdot)$ изоморфна группа $(\mathbb C,+)$?
4) Сам по себе изоморфизм двух алгебраических структур не означает их равной применимости. Например, поле действительных чисел $(\mathbb R,+,\cdot)$, как известно, весьма широко применяется. С помощью функции $e^x$ в множество $\mathbb R_+$ можно перенести обе операции; при этом сложение превращается в умножение, а умножение - в операцию $x\odot y=e^{\ln x\cdot\ln y}$. Часто ли встречаются применения поля $(\mathbb R_+,\cdot,\odot)$?

[lofar]

Someone писал(а):

1) $(\mathbb R,+)$ и $(\mathbb C,+)$ являются группами, $(\mathbb R,\cdot)$ и $(\mathbb C,\cdot)$ группами не являются.
2) $(\mathbb R_0,\cdot)$ и $(\mathbb C_0,\cdot)$ (без нулевого элемента) являются группами, но эти группы не изоморфны группам $(\mathbb R,+)$ и $(\mathbb C,+)$ соответсвтенно...

Я имел в виду тоже самое. Вы же, Someone, как всегда, беспощадны. :-)

[Approximator]

Someone и lofar, спасибо за указание на ошибку.

Скорее всего, что-то где-то неправильно вспомнил . Вероятнее всего в первоисточнике (который я здесь переврал ) подразумевалась изоморфность $(\mathbb C,+)$ и $(\mathbb R_0,\cdot)$.

[Руст]

И это неверно. Возможно подразумевали двойственность Понтрягина, которое осуществляется отображениями в комплексные числа по модулю равные 1(образующие факторгруппы R/Z), т.е. группе сопоставляется группа характеров. В этом смысле, двойственности нет если заменить эту группу подгруппой действительных чисел.