i в квадрате

[Approximator]

Руст писал(а):

И это неверно.

Отображение $(\mathbb{R}_+,\cdot)$ в $(\mathbb{R},+)$ задаётся $log_ay, a>1, y \in \matbb{R}_+$.
Заменим $(\mathbb{R}_+,\cdot)$ на $(\mathbb{R}_0,\cdot)$, а $log_ay, на $\sqrt {sgn(y)}\frac 1 2 log_ay^2.
Чё имеем вместо $(\mathbb{R},+)$?
По-моему $(\mathbb{C},+)$.

[Руст]

Approximator писал(а):

Someone и lofar, спасибо за указание на ошибку.

Скорее всего, что-то где-то неправильно вспомнил . Вероятнее всего в первоисточнике (который я здесь переврал ) подразумевалась изоморфность $(\mathbb C,+)$ и $(\mathbb R_0,\cdot)$.

Я сказал и это неверно $C_+ =R_+ +R_+$, т.е. аддитивная группа комплексных чисел изоморфна прямой сумме двух аддитивных групп действительных чисел.

[Approximator]

Руст писал(а):

Approximator писал(а):

Someone и lofar, спасибо за указание на ошибку.

Скорее всего, что-то где-то неправильно вспомнил . Вероятнее всего в первоисточнике (который я здесь переврал ) подразумевалась изоморфность $(\mathbb C,+)$ и $(\mathbb R_0,\cdot)$.

Я сказал и это неверно $C_+ =R_+ +R_+$, т.е. аддитивная группа комплексных чисел изоморфна прямой сумме двух аддитивных групп действительных чисел.

Отображение $(\mathbb{R},+)$ в $(\mathbb{R}_+,\cdot)$ задаётся $y=a^x, a>1, x \in \mathbb{R}$
При замене $(\mathbb{R},+)$ на $(\mathbb C,+)$
Отображение $y=a^x$ заменим на $y=\frac {x^2}{|x|^2}a^{sgn(x)|x|}$.
Комплексному числу вида $x=x_1+ix_2$ сопоставляется $y=y_1y_2, y_1=a^{x_1}, y_2=i^2a^{x_2}$.
В чём проблема?

[Руст]

Скорее всего, что-то где-то неправильно вспомнил . Вероятнее всего в первоисточнике (который я здесь переврал ) подразумевалась изоморфность $(\mathbb C,+)$ и $(\mathbb R_0,\cdot)$.
Я сказал и это неверно, так как $C_+ =R_+ +R_+$ и не изоморфно (как топологическая группа)$R_0_*$. Хотя изоморфизм без топологии имеется.
Я не спорю с тем, что $R_+$ изоморфно $R_0_*$.

[Approximator]

Руст писал(а):

Скорее всего, что-то где-то неправильно вспомнил . Вероятнее всего в первоисточнике (который я здесь переврал ) подразумевалась изоморфность $(\mathbb C,+)$ и $(\mathbb R_0,\cdot)$.
Я сказал и это неверно, так как $C_+ =R_+ +R_+$ и не изоморфно (как топологическая группа)$R_0_*$. Хотя изоморфизм без топологии имеется.

Никак не пойму с чем Вы спорите.
Ну, естественно, гомеоморфизма здесь быть не может. А кто на нём настаивал ? Из моего высказывания такое предположение как-то вытекало?

Квадрат и отрезок изоморфны, но, естественно, не гомеоморфны. Я настаивал на гомеоморфности$(\mathbb C,+)$ и $(\mathbb R_0,\cdot)$ ?

[Someone]

Approximator писал(а):

Скорее всего, что-то где-то неправильно вспомнил :).

Однажды на семинаре академик П.С.Александров здорово ругал одного докладчика, который цитировал что-то по памяти и "неправильно вспомнил".

Approximator писал(а):

Вероятнее всего в первоисточнике (который я здесь переврал :?) подразумевалась изоморфность $(\mathbb C,+)$ и $(\mathbb R_0,\cdot)$.

Группа $(\mathbb R_0,\cdot)$ содержит подгруппу, состоящую из двух элементов $1$ и $-1$. Группа $(\mathbb C,+)$ не содержит ни одной подгруппы из двух элементов. О каком изоморфизме может идти речь?

[Руст]

Approximator писал(а):

Группа $(\mathbb R_0,\cdot)$ содержит подгруппу, состоящую из двух элементов $1$ и $-1$. Группа $(\mathbb C,+)$ не содержит ни одной подгруппы из двух элементов. О каком изоморфизме может идти речь?

Подгруппы не содержит (а должна ? почему именно подгруппу ?), но отображение взаимноднозначно и этого для наличия изоморфизма достаточно.[/quote]
Я понимаю, что обозначение $(\mathbb R_0,\cdot)$ понимаем по разному. Я и Approximator под этим понимают положительные действительные числа, являющиеся группой по умножению, а Someone все действительные числа без нулю по умножению, которая изоморфна произведению на Z2 от нашего понимания.

[Approximator]

Someone писал(а):

Approximator писал(а):

Вероятнее всего в первоисточнике (который я здесь переврал ?) подразумевалась изоморфность $(\mathbb C,+)$ и $(\mathbb R_0,\cdot)$.

Группа $(\mathbb R_0,\cdot)$ содержит подгруппу, состоящую из двух элементов $1$ и $-1$. Группа $(\mathbb C,+)$ не содержит ни одной подгруппы из двух элементов. О каком изоморфизме может идти речь?

Правильно, взаимно однозначно отобразить нельзя. Не изоморфны.

[Approximator]

Руст с тегами квотирования немного напутал. Т.к. это комментарий к моему (уже удалённому мной же ) посту. Восстанавливаю, как должно быть у него.

Руст писал(а):

Approximator писал(а):

Someone писал(а):

Группа $(\mathbb R_0,\cdot)$ содержит подгруппу, состоящую из двух элементов $1$ и $-1$. Группа $(\mathbb C,+)$ не содержит ни одной подгруппы из двух элементов. О каком изоморфизме может идти речь?

Подгруппы не содержит (а должна ? почему именно подгруппу ?), но отображение взаимноднозначно и этого для наличия изоморфизма достаточно.

Я понимаю, что обозначение $(\mathbb R_0,\cdot)$ понимаем по разному.

Нет, Someone всё обозначает так же, как и я. И всё сказал правильно. Нет изоморфизма.

[Approximator]

To Someone:
Такой вопрос. Чтобы не мучиться вспоминанием, что это был за первоисточник и затем его поисками , нельзя ли предполоижть, какую группу с умножением можно считать изоморфной $(\mathbb{C},+)$.
Точно помню, что одна группа была $(\mathbb{C},+)$, а вторая группа была с умножением.
А ?

[Руст]

Как уже говорилось $C_+$ изоморфна как группа группе положительных чисел по умножению (топологического гомеоморфизма нет), и вообще как абелева группа она изоморфна Q по сложению в континуальной степени.

[Approximator]

Руст писал(а):

Как уже говорилось $C_+$ изоморфна как группа группе положительных чисел по умножению (топологического гомеоморфизма нет).

А разве он вообще есть ? Какими функциями задаётся такой (прямой и обратный) изоморфизм ?

[Руст]

Как я уже говорил обе группы изоморфны $Q^C$, что устанавливается с помощью базисов Гамеля. Существование таких базисов доказывается с использованием аксиомы выбора.

[Руст]

Да, вначале устанавливаем $C_+=R_++R_+$, каждая компонента изоморфна группе положительных чисел по умножению (изоморфизм через экспоненту). Устанавливаем через базис Гамеля $R_+=Q^A$, далее любое биективное отображение A+A на A даст изоморфизм, где А любое множество континуальной мощности.

[Approximator]

Руст писал(а):

Да, вначале устанавливаем $C_+=R_++R_+$, каждая компонента изоморфна группе положительных чисел по умножению (изоморфизм через экспоненту). Устанавливаем через базис Гамеля $R_+=Q^A$, далее любое биективное отображение A+A на A даст изоморфизм, где А любое множество континуальной мощности.

А пошлите меня на... какую-нибудь книжку (лучше с прямой ссылкой для скачивания )