Многочлен, неприводимый над полем рациональных чисел

[Happy_Button]

Здравствуйте.
Хотелось бы узнать в каком направление мне начать решение примера:
Найти $n,a \in \mathbb{N}$ при которых многочлен:
$f(x)=x^n-a$
неприводим над полем рациональных чисел.
Заранее благодарю.

[Профессор Снэйп]

При каких $a \in \mathbb{N}$ справедливо $\sqrt[n]{a} \not\in \mathbb{Q}$?

-- Вс ноя 15, 2009 22:34:40 --

Ещё сюда посмотрите.

-- Вс ноя 15, 2009 22:42:12 --

Happy_Button в сообщении #262344 писал(а):

Найти $n,a \in \mathbb{N}$ при которых многочлен:
$f(x)=x^n-a$
неприводим над полем рациональных чисел.

Вам надо найти какую-то одну пару чисел $n,a$, для которых многочлен $x^n-a$ неприводим над $\mathbb{Q}$, или все такие пары?

[Happy_Button]

Все пары. По критерию Эйзенштейна не всё возможно найти (пробывал).

[RIP]

Очевидно, что необходимо условие:
Для любого делителя $d|n$, $d>1$, выполнено $a^{1/d}\notin\mathbb Z$.
Это же условие и достаточно. Доказывается от противного: допустим, что $x^n-a=f(x)g(x)$, и посмотрим на свободный член многочлена $f(x)$ (воспользуйтесь тем, что все корни $x^n-a$ известны).

[Профессор Снэйп]

Happy_Button в сообщении #262351 писал(а):

По критерию Эйзенштейна не всё возможно найти (пробывал).

Ну да, не все...

В Ленге нашёл теорему (С. Ленг, "Алгебра", \S 9, гл. VIII, стр. 252)

Пусть $k$ --- поле, $n$ --- целое число $\geqslant 2$ и $a \in k$, $a \neq 0$, причём $a \not\in k^p$ для всех простых чисел $p$, делящих $n$, и $a \not\in -4k^4$, если $4 \mid n$. Тогда многочлен $x^n-a$ неприводим в $k[x]$.

Посмотрим, что получается в случае, когда $k = \mathbb{Q}$ и не выполняются условия теоремы. Если $n = pm$ и $a = b^p$, то $x^n - a = (x^m-b)(x^{(p-1)m} + \ldots + b^{p-1})$, то есть многочлен приводим. Если $n=4m$ и $a = -4b^4$, то $x^n - a = x^{4m} + 4b^4$ и... хм, непонятно. Но по крайней мере, для многочленов, отличных от многочленов вида $x^{4m} + 4b^4$, теорема даёт критерий.

-- Вс ноя 15, 2009 23:14:33 --

Так, у нас же по условию $a \in \mathbb{N}$, так что $a \neq -4b^4$ по любому. И получается всё в точности так, как написал RIP

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #262359 писал(а):

Если $n=4m$ и $a = -4b^4$, то $x^n - a = x^{4m} + 4b^4$ и... хм, непонятно.

$x^{4m}+4b^4=(x^{2m}-2bx^m+2b^2)(x^{2m}+2bx^m+2b^2).$

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #262367 писал(а):

$x^{4m}+4b^4=(x^{2m}-2bx^m+2b^2)(x^{2m}+2bx^m+2b^2).$

Спасибо

Но к нашей задаче это, конечно, неприменимо, поскольку у нас $a > 0$.