Вопрос о поверхностях второго порядка, кажущийся примитивным

[D.M. from Ukraine]

Сначала я хотел создать эту тему в разделе "Помогите разобраться", но тот раздел рассчитан на материал, входящий в стандартные курсы, а это в них, насколько я вижу, не входит (и именно в этом проблема).

Допустим, что заданы два многочлена второй степени от трёх переменных $P(x,y,z)$ и $Q(x,y,z)$. Рассмотрим уравнения $P(x,y,z)=0$ и $Q(x,y,z)=0$. Каждое из них задаёт некоторое множество в трёхмерном пространстве. Поставим вопрос о том, как определить (по возможности быстро), задают ли данные два уравнения одно и то же множество (хочу подчеркнуть, что речь идёт именно о тождественности, а не, например, о возможности перейти от одного к другому движением или изменением координат).

На первый взгляд кажется, что ответ очень простой: вышеупомянутая тождественность имеет место тогда и только тогда, когда $P(x,y,z)$ и $Q(x,y,z)$ либо тождественно равны, либо отличаются лишь ненулевым постоянным множетелем. Но это не так просто уже хотя бы потому, что многочлены могут быть совсем разными, но оба задавать пустое множество. Видимо, прийдётся исключить из рассмотрения также вырожденные случаи, когда выходит одна точка или прямая. Ну, хорошо, оставим только те случаи, когда каждый многочлен задаёт поверхность, т. е. двумерную структуру. Можно ли в этом случае утверждать то, что написано после двоеточия в первом предложении этого абзаца?

Как ни странно, я не нашёл в литературе такого утверждения, а также не чувствую, чтобы его можно было просто доказать. Интуитивно кажется, что утверждение должно быть правильным. Неужели на самом деле оно неправильно или (что было бы ещё более странно) наука до сих пор не знает, правильно ли оно? Неужели в каждом конкретном случае, видя два совсем разных уравнения, надо проводить какие-то дополнительные рассуждения, чтобы убедиться, что они задают разные поверхности (берём случай, когда допустимо предполагать двумерность)? Возможно, люди, привыкшие работать в геометрии, что-то подскажут по этому поводу.

С алгебраической точки зрения вопрос сводится к тому, насколько однозначно многочлен определяется множеством его корней. Это известные вещи для многочлена одной переменной; для нескольких переменных я такого не знаю, а если бы и знал, то дело существенно осложняется тем, что здесь берутся только корни с вещественными компонентами.

Конечно, поставленную проблему можно обобщить, меняя степени многочленов (напомню, что я говорил о вторых) и количество переменных. Но буду рад разъяснению хотя бы для того случая, о котором я написал.

Возможно, эта тема подходит также для раздела о преподавании: в учебном материале есть много простых мелочей, которые бывают очень нужны, но о которых забывают писать в учебниках. Только не знаю, действительно ли описанная выше "мелочь" относится к простым.

[Mathusic]

Да нет, это вполне входит в стандартные курсы (ангем, линал). Так что имеет место
Теорема
Если $X(Q_1)$ и $X(Q_2)$ - совпадающие квадрики ($\operatorname{char} K \not =2$), то уравнения $Q_1$ и $Q_2$ пропорциональны.
Доказательство примерно на пол страницы.

[D.M. from Ukraine]

Mathusic, в каком, например, учебнике это есть?

[Mathusic]

...[продублировалось]

[Mathusic]

D.M. from Ukraine в сообщении #262038 писал(а):

Mathusic, в каком, например, учебнике это есть?

Э.Б. Винберг. Курс Алгебры. (там где про аффинные пространства говорится)
В интернете скачаете легко.

[D.M. from Ukraine]

Большое спасибо.

А ещё мне интересно, есть ли в учебниках такая теорема (или утверждение, из которого она очевидно следует):

Пусть дано поверхность второго порядка, и пусть некоторый двумерный фрагмент этой поверхности является плоским. Тогда данная поверхность является либо плоскостью, либо объединением двух плоскостей.

(Хочу заметить, что тут не подходит ссылка на однозначность по 9 точкам, поскольку там речь идёт о точках, любые 4 из которых не лежат в одной плоскости.)

Факт, вроде бы, очень очевидный, но всё-таки нуждается в доказательстве.

[Mathusic]

D.M. from Ukraine в сообщении #262118 писал(а):

Большое спасибо.

А ещё мне интересно, есть ли в учебниках такая теорема (или утверждение, из которого она очевидно следует):

Пусть дано поверхность второго порядка, и пусть некоторый двумерный фрагмент этой поверхности является плоским. Тогда данная поверхность является либо плоскостью, либо объединением двух плоскостей.

(Хочу заметить, что тут не подходит ссылка на однозначность по 9 точкам, поскольку там речь идёт о точках, любые 4 из которых не лежат в одной плоскости.)

Факт, вроде бы, очень очевидный, но всё-таки нуждается в доказательстве.

Я полагаю это просто следует из классификации поверхностей.

[D.M. from Ukraine]

Mathusic в сообщении #262127 писал(а):

Я полагаю это просто следует из классификации поверхностей.

Только если, классифицируя, уделять внимание вопросу о том, не получится ли где-то плоского фрагмента.

[Профессор Снэйп]

D.M. from Ukraine в сообщении #261974 писал(а):

Сначала я хотел создать эту тему в разделе "Помогите разобраться"

А где создал?

-- Вс ноя 15, 2009 13:26:39 --

D.M. from Ukraine в сообщении #262118 писал(а):

Пусть дано поверхность второго порядка, и пусть некоторый двумерный фрагмент этой поверхности является плоским. Тогда данная поверхность является либо плоскостью, либо объединением двух плоскостей.

Переместим начало координат в этот плоский фрагмент и развернём оси так, чтоб фрагмент лежал в плоскости $Oxy$. Получим, что для многочлена $Q(x,y,z)$, задающего нашу поверхность уравнением $Q(x,y,z) = 0$ в выбранной системе координат, справедливо $Q(x,y,0)=0$. Приняв во внимание этот факт и разложив $Q$ по степеням $z$, получаем $Q(x,y,z) = az^2 + (bx+cy+d)z = z(az+bx+cy+d)$. Отсюда выводим, что поверхность является объединением плоскостей $z=0$ и $az+bx+cy+d=0$.

[Алексей К.]

D.M. from Ukraine в сообщении #261974 писал(а):

На первый взгляд кажется, что ответ очень простой: вышеупомянутая тождественность имеет место тогда и только тогда, когда $P(x,y,z)$ и $Q(x,y,z)$ либо тождественно равны, либо отличаются лишь ненулевым постоянным множетелем. Но это не так просто уже хотя бы потому, что многочлены могут быть совсем разными, но оба задавать пустое множество. Видимо, прийдётся исключить из рассмотрения также вырожденные случаи,...

На самом деле упомянутые Вами пустые множества --- так называемые мнимые поверхности ("пара мнимых плоскостей"). И они тоже имеют свою структуру. И полное исследование вопроса о тождественности этих множеств должно, видимо, делаться в комплексных числах. Полагаю, Ваше утверждение справедливо. В том числе и ежели ограничиться действительными поверхностями, а в "вырожденные" записать не точку-прямую, а именно "пустые множества".

Как это доказать? И как доказать

D.M. from Ukraine в сообщении #262118 писал(а):

Пусть дано поверхность второго порядка, и пусть некоторый двумерный фрагмент этой поверхности является плоским. Тогда данная поверхность является либо плоскостью, либо объединением двух плоскостей.

А зачем Вы сразу о поверхностях? Аналогичный вопрос с кривыми второго порядка у Вас не возникает? Или наоборот --- с ними полная ясность?

Я писал(а):

Пусть дана кривая второго порядка, и пусть некоторая её часть прямолинейна. Тогда данная кривая есть пара прямых (возможно, совпадающих).

В этом случае Вам, наверное, будет легко разобраться чисто с квадратным уравнением (скажем, относительно$y$), будет легко убедиться, что описанное соответствует случаям, когда дискриминант есть полный квадрат $(px+q)^2$ (и только этим случаям). Ну, а потом, возможно, с 3D всё будет настолько ясно, что даже лень будет повторять эти выкладки.

-- 15 ноя 2009, 11:53 --

Случай неквадратного уравнения типа $xy+ax + by+ c=0$ я как-то упустил из виду, но его можно либо квадратизировать, либо рассмотреть отдельно.

-- 15 ноя 2009, 12:17 --

Да, собственно, покрутить, подвигать, привести к каноническому виду $y^2=ax^2+bx+c$ и смотреть. Может ли кусочек этого быть прямым, а другой кусочек кривым?

[D.M. from Ukraine]

Профессор Снэйп в сообщении #262181 писал(а):

А где создал?

Я создал эту тему в разделе "дискуссионные темы", но потом её перенесли сюда.

Профессор Снэйп в сообщении #262181 писал(а):

Переместим начало координат в этот плоский фрагмент и развернём оси так, чтоб фрагмент лежал в плоскости...

Это доказательство не совсем ясно. Вы рассматриваете фиксированные $x$ и $y$, и все дальнейшие рассуждения справедливы только для таких $x$ и $y$, которые принадлежат данному плоскому участку. Я пока не вижу строгих оснований думать, что разложение именно таково для всех $x$ и $y$.

[Профессор Снэйп]

D.M. from Ukraine в сообщении #262331 писал(а):

Это доказательство не совсем ясно. Вы рассматриваете фиксированные $x$ и $y$, и все дальнейшие рассуждения справедливы только для таких $x$ и $y$, которые принадлежат данному плоскому участку. Я пока не вижу строгих оснований думать, что разложение именно таково для всех $x$ и $y$.

Да нет, там всё нормально

После переноса координат имеем многочлен $P(x,y) = Q(x,y,0)$ степени $\leqslant 2$, тождественно равный нулю в некоторой окрестности нуля. Распишем $P(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f$. Подставляя по очереди $x=0$ и $y=0$, получаем $cy^2 + ey + f = 0$ и $ax^2 + dx + f = 0$ при всех достаточно малых $x$ и $y$. Отсюда $a=c=d=e=f=0$ и $P(x,y) = bxy$. Подставляя сюда $x=y=t$, получаем $bt^2=0$ при всех достаточно малых $t$, так что и $b=0$.

-- Вс ноя 15, 2009 22:09:25 --

Или Вам что-то другое не понятно? Неужели непонятно то, что многочлен из $\mathbb{R}[x,y,z]$ можно рассматривать как многочлен от $z$ над кольцом $\mathbb{R}[x,y]$? Если это понятно, то посчитайте степени

[D.M. from Ukraine]

Алексей К. в сообщении #262185 писал(а):

На самом деле упомянутые Вами пустые множества --- так называемые мнимые поверхности ("пара мнимых плоскостей"). И они тоже имеют свою структуру. И полное исследование вопроса о тождественности этих множеств должно, видимо, делаться в комплексных числах.

Да, конечно, при включении в рассмотрение комплексных чисел теория должна выглядеть красивее.

Спасибо за дальнейшие рассуждения о прямых и плоских участках. Возможно, я подумаю в этом направлении. Но, кроме того, мне просто интересно, описывается что-то такое в учебниках. Я думаю, что ещё в школе целесообразно рассматривать, например, такую задачу: доказать, что никакая часть окружности не является отрезком. А то все привыкли, что она выглядит криво, а не обращают внимания, как это доказывается.

-- Вс ноя 15, 2009 18:19:15 --

Профессор Снэйп в сообщении #262335 писал(а):

Да нет, там всё нормально...

Да, спасибо, теперь уже всё понял.

-- Вс ноя 15, 2009 18:26:35 --

Хочу также сказать, что я разобрался, что у Винберга написано именно то, о чём я сначала спрашивал. Но только там исключаются из рассмотрения (если брать трёхмерный случай) не только пустое множество, точка и прямая, но также и плоскость. А я думаю, что для квадрики, выродившейся в плоскость, теорема тоже верна. Возможно, это легко следует из каких-то других утверждений этой книги; кто хорошо с ней знаком, можете для интереса проанализировать этот вопрос.

[Профессор Снэйп]

D.M. from Ukraine в сообщении #262336 писал(а):

А я думаю, что для квадрики, выродившейся в плоскость, теорема тоже верна.

Так мы же вроде разобрали случай, когда поверхность содержит участок плоскости.

Если имеются в виду уравнения степени $\leqslant 2$, то утверждение неверно. Пример: $z^2 = 0$ и $z = 0$. Если же степень равна в точности $2$, то из наших рассмотрений сразу следует, что верно

[D.M. from Ukraine]

Профессор Снэйп в сообщении #262371 писал(а):

Если имеются в виду уравнения степени <3, то утверждение неверно.

Это понятно. Я беру случай, когда степень многочлена фиксирована.

Профессор Снэйп в сообщении #262371 писал(а):

Если же степень равна в точности 2, то из наших рассмотрений сразу следует, что верно

Действительно, наши рассмотрения другого вопроса здесь что-то дают. Мы там точно вычислили коэффициенты многочлена, зная, что есть плоский участок. Тем более, тот же результат будет, если мы знаем, что это плоскость. Поскольку коэффициенты точно вычисляются, то есть однозначность уравнения.

Но всё это делалось для случая, когда система координат выбрана специфически. Не совсем ясно, почему результат будет аналогичным для другой системы координат. (Тем более, что он должен быть даже не совсем аналогичным: там может быть отличие в постоянном множетеле, а у нас вышла полная тождественность (поскольку нули не чувствуют множетелей).)