Вопрос о поверхностях второго порядка, кажущийся примитивным

[Алексей К.]

D.M. from Ukraine в сообщении #262457 писал(а):

Но всё это делалось для случая, когда система координат выбрана специфически. Не совсем ясно, почему результат будет аналогичным для другой системы координат.

Можно ли Ваш вопрос перефразировать так: "Не совсем ясно, почему плоскость останется плоскостью в другой системе координат."
Если я его исказил, значит я чего-то не понял в беседе.

[D.M. from Ukraine]

Алексей К. в сообщении #262459 писал(а):

Можно ли Ваш вопрос перефразировать так: "Не совсем ясно, почему плоскость останется плоскостью в другой системе координат."

Нет. Сейчас речь идёт не о самой плоскости, а о её уравнении, записанном так, чтобы это было уравнение второй степени. Можно ли одну и ту же плоскость записать двумя принципиально разными такими уравнениями? Уже ясно, что нельзя, если плоскость совпадает с координатной. Для других случаев я пока что доказательства не вижу.

[Someone]

Это просто. Выбираем вторую систему координат $O'x'y'z'$ так, чтобы в ней эта плоскость была координатной. В ней плоскость имеет уравнение $ax'^2=0$ (или $ay'^2=0$, или $az'^2=0$, в зависимости от того, с какой координатной плоскостью будет совпадать данная), где $a\neq 0$ - некоторое число. Преобразование координат определяется однозначно. Поэтому уравнение в первой системе координат также будет вполне определённым. Сами подумайте, что получится, если взять систему $O''x''y''z''$ вместо $O'x'y'z'$, в которой данная плоскость также совпадает с координатной.

[D.M. from Ukraine]

Someone, да, дейсвительно, здесь работает однозначность преобразования координат. Теперь всё ясно. Спасибо. Кстати, моё замечание в скобках о полной однозначности уравнения было ошибочным.

[Профессор Снэйп]

D.M. from Ukraine в сообщении #262457 писал(а):

Но всё это делалось для случая, когда система координат выбрана специфически. Не совсем ясно, почему результат будет аналогичным для другой системы координат. (Тем более, что он должен быть даже не совсем аналогичным: там может быть отличие в постоянном множетеле, а у нас вышла полная тождественность (поскольку нули не чувствуют множетелей).)

Да нет, там всё нормально

Пусть есть два многочлена: $P(x,y,z)$ и $Q(x,y,z)$. Тогда многочлены

\begin{eqnarray*} P(a_1x+b_1y+c_1z+d_1,a_2x+b_2y+c_2z+d_2,a_3x+b_3y+c_3z+d_3) \\ Q(a_1x+b_1y+c_1z+d_1,a_2x+b_2y+c_2z+d_2,a_3x+b_3y+c_3z+d_3) \end{eqnarray*}

совпадают при домножениях на пару ненулевых констант в том и только в том случае, если исходные многочлены совпадают при домножениях на пару тех же самых констант (если, конечно, замена не вырождена, а у нас она не вырождена).

Полной тождественности тоже не вышло. Если множество нулей многочлена второго порядка имеет плоский участок, то мы получили, что после некоторой аффинной замены координат многочлен имеет вид $z(az + bx + cy + d)$. В случае, если это множество нулей является одной плоскостью, а не объединением пары различных плоскостей, получается $b = c = d = 0$ и многочлен приобретает вид $az^2$. Но от произвола в выборе $a$ никуда не деться

[D.M. from Ukraine]

Профессор Снэйп, ещё раз спасибо. Вы подробно описали именно то, что я понял из предыдущих объяснений господина Someone.