ВТФ и рациональные числа

[Виктор Ширшов]

По моему, все ссылки на элементарное доказательство ВТФ Эйлером для степени 3 беспочвенны, ибо самого доказательства никто не видел. Но зато известно предположение (замечу, не доказательство) Эйлера о том, что уравнение
$x^4+y^4+z^4=w^4$
не имеет ненулевых решений в натуральных числах. До сих пор никто не доказал и не опроверг эту гипотезу Эйлера. В 1988 году Наум Элькис из Гарвардского университета нашёл решение:
$2 682 440^4 + 15 365 639^4 + 187 960^4 = 20 615 673^4$.
Позднее Роджер Фрай, затратив 110 часов работы на суперкомпьютере, нашёл другое решение (уверяет - единственное) для w < 1 000 000:
$95 800^4 + 217 519^4 + 414 560^4 = 422 481^4$
Из этого заключили, что Эйлер ошибся в своём утверждении.
Вряд ли, он ошибся. По-видимому, свой «ошибочный» вывод Эйлер мог сделать из предположения, что при $n=1$ $x+y+z=w$. "Контрпримеры" Элькиса и Фрая этому условию для $n=1$ не удовлятворяют.
Совершенно очевидно, что при $n>1$ в любой степени вплоть до бесконечности $x^n+y^n+z^n < w^n$, так как $w > (x,y,z)$, будь числа целые, простые, чётные, нечётные, иррациональные, трансцендентные, рациональные, положительные, отрицательные и т. п.
Вообще-то Ферма не оговорил область определения своей Последней теоремы. В ней он использовал латинское слово «generaliter», что в дословном переводе означает «общие числа». Получается, что ВТФ справедлива для «всех чисел», а не только «integliter» - целых чисел.

[Mathusic]

Виктор Ширшов в сообщении #261667 писал(а):

Вообще-то Ферма не оговорил область определения своей Последней теоремы. В ней он использовал латинское слово «generaliter», что в дословном переводе означает «общие числа». Получается, что ВТФ справедлива для «всех чисел», а не только «integliter» - целых чисел.

Для рациональных ещё куда ни шло, ибо теорема верна, очевидно, для $\mathbb{N}, \mathbb{Z},\mathbb{Q}$. Но вот для всех...
Возьмите произвольные положительные $a$ и $b$. Что Вам помешает извлечь корень из $a^n+b^n$??
$a^n+b^n=(\sqrt[n]{a^n+b^n})^n.$

[shwedka]

Виктор Ширшов в сообщении #261667 писал(а):

По-видимому, свой «ошибочный» вывод Эйлер мог сделать из предположения, что при $n=1$ $x+y+z=w$.

Не приписывайте Эйлеру свой уровень невежества.

[Виктор Ширшов]

shwedka в сообщении #261680 писал(а):

Не приписывайте Эйлеру свой уровень невежества.

shwedka. Хоть я и "невежда", но Эйлеру верю.

[shwedka]

Виктор Ширшов в сообщении #261684 писал(а):

но Эйлеру верю.

Вы ему приписываете чепуху.

Виктор Ширшов в сообщении #261667 писал(а):

По-видимому, свой «ошибочный» вывод Эйлер мог сделать из предположения, что при $n=1$ $x+y+z=w$.

Обосновать можете?

[Виктор Ширшов]

shwedka в сообщении #261687 писал(а):

Обосновать можете?

Сумма всегда больше каждого из слагаемых.

[shwedka]

Виктор Ширшов в сообщении #261689 писал(а):

Сумма всегда больше каждого из слагаемых.

Не считается. К вопросу не имеет отношения.
Повторяю

Цитата:

По-видимому, свой «ошибочный» вывод Эйлер мог сделать из предположения, что при $n=1$ $x+y+z=w$.

Обосновать можете?

[Виктор Ширшов]

shwedka в сообщении #261693 писал(а):

Цитата:
По-видимому, свой «ошибочный» вывод Эйлер мог сделать из предположения, что при $n=1$ $x+y=z=w$.


Обосновать можете?

Виктор Ширшов в сообщении #261667 писал(а):

уравнение $x^4+y^4+z^4=w^4$ не имеет ненулевых решений в натуральных числах

Это уравнение не имеет решений в натуральных числах не только в 4-й, но и в любой другой, если предположить, что в 1-й степени решение есть.

[shwedka]

Виктор Ширшов в сообщении #261703 писал(а):

Это уравнение не имеет решений в натуральных числах не только в 4-й, но и в любой другой, если предположить, что в 1-й степени решение есть.

Включая вторую?

Докажите! Но именно так, как сейчас сформулировали.

-- Пт ноя 13, 2009 18:11:22 --

повторяю вопрос.

Виктор Ширшов в сообщении #261703 писал(а):

Цитата:
По-видимому, свой «ошибочный» вывод Эйлер мог сделать из предположения, что при $n=1$ $x+y=z=w$.


Обосновать можете?

[Виктор Ширшов]

shwedka в сообщении #261706 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #261703 писал(а):
Это уравнение не имеет решений в натуральных числах не только в 4-й, но и в любой другой, если предположить, что в 1-й степени решение есть.

Включая вторую?

Докажите! Но именно так, как сейчас сформулировали.

shwedka в сообщении #261706 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #261703 писал(а):
Это уравнение не имеет решений в натуральных числах не только в 4-й, но и в любой другой, если предположить, что в 1-й степени решение есть.

Включая вторую?

Докажите! Но именно так, как сейчас сформулировали.

В степени 2 решения также не будет, причём, не только для рациональных, а для всех действительных чисел, которые я перечислил, если при $n=1$ $x+y+z=w$

[Nilenbert]

Виктор Ширшов в сообщении #261707 писал(а):

В степени 2 решения также не будет, причём, не только для рациональных, а для всех действительных чисел, которые я перечислил, если при $n=1$ $x+y+z=w$

$$ 2+2+(-1)=3 $$ $$ 2^2+2^2+(-1)^2=3^2 $$

[shwedka]

Виктор Ширшов в сообщении #261707 писал(а):

В степени 2 решения также не будет, причём, не только для рациональных, а для всех действительных чисел, которые я перечислил, если при $n=1$ $x+y+z=w$

Обман. Подмена утверждения.

Повторяю Ваше утверждение, которое требуется доказать.

Виктор Ширшов в сообщении #261707 писал(а):

Это уравнение не имеет решений в натуральных числах не только в 4-й, но и в любой другой, если предположить, что в 1-й степени решение есть.

-- Пт ноя 13, 2009 18:23:02 --

Повторяю вопрос.

Цитата:

По-видимому, свой «ошибочный» вывод Эйлер мог сделать из предположения, что при $n=1$ $x+y+z=w$.

Обосновать можете?

[Виктор Ширшов]

shwedka в сообщении #261714 писал(а):

Повторяю Ваше утверждение, которое требуется доказать.
Виктор Ширшов в сообщении #261707 писал(а):
Это уравнение не имеет решений в натуральных числах не только в 4-й, но и в любой другой, если предположить, что в 1-й степени решение есть.

Доказательство
Пусть при $n=1$ $x+y+z=w$. Отсюда выводим, что $w>(x,y,z)$. Возведя все члены равенства на соответствующие значения чисел $x, y, z, w$, получаем для квадрата неравенство вида $x^2+y^2+z^2<w^2$. В степени 3, 4, 5 и до бесконечности знак неравенства сохранится всё по тому же исходному посылу $w>(x,y,z)$.

[shwedka]

Виктор Ширшов в сообщении #261720 писал(а):

Доказательство
Пусть при $n=1$ $x+y+z=w$. Отсюда выводим, что $w>(x,y,z)$. Возведя все члены равенства на соответствующие значения чисел $x, y, z, w$, получаем для квадрата неравенство вида $x^2+y^2+z^2<w^2$. В степени 3, 4, 5 и до бесконечности знак неравенства сохранится всё по тому же исходному посылу $w>(x,y,z)$.

Неверно. Доказывается верное утверждение: Если $x+y+z=w$, то для ЭТИХ чисел не может быть $x^n+y^n+z^n=w^n$.
Было объявлено ДРУГОЕ утверждение

Виктор Ширшов в сообщении #261720 писал(а):

Это уравнение не имеет решений в натуральных числах не только в 4-й, но и в любой другой, если предположить, что в 1-й степени решение есть.

То есть не доказано, что ДРУГИЕ числа не могут быть решением уравнения высокй степени.

Так что обман!

shwedka в сообщении #261723 писал(а):

Повторяю вопрос.

Цитата:
По-видимому, свой «ошибочный» вывод Эйлер мог сделать из предположения, что при $n=1$ $x+y+z=w$.


Обосновать можете?

[Виктор Ширшов]

shwedka в сообщении #261723 писал(а):

shwedka в сообщении #261723 писал(а):
Повторяю вопрос.

Цитата:
По-видимому, свой «ошибочный» вывод Эйлер мог сделать из предположения, что при $n=1$ $x^4+y^4+z^4$.


Обосновать можете?

Доказательство проводилось от противного. Сначала мною предположено, что при $n=4$ $x^4+y^4+z^4=w^4$. Затем, применив "метод спуска", я предположил, что решения имеются также в 3-й, 2-й и, наконец, в 1-й степени.