Геометрическая интерпретация квантовой механики

[Soshnikov_Serg]

Предлагаю рассмотреть и обсудить интерпретацию квантовой механики, которая, на мой взгляд, может следовать из общей теории относительности. При этом, естественно, в теорию следует ввести дополнительно новую константу — постоянную Планка, и принять некоторую рабочую гипотезу.

Я сформулирую рабочую гипотезу следующим образом:

Искривление пространства порождает энергию, которая в свою очередь усиливает искривление этого пространства.

Пусть мы имеем дело с гравитирующим телом, которое издали можно считать сферически симметричным. Тогда элемент пространственной радиальной длины вдали от него можно определить формулой:

$dl \approx (1-\frac{\varphi}{c^2})dr$

Здесь $\varphi$ – потенциал гравитационного поля. Он и определяет искривление пространства.

Согласно высказанной гипотезе в формуле следует произвести замену:

$\varphi \to \varphi+\Delta\varphi$

В свою очередь добавку $\Delta\varphi$ можно представить в виде:

$\Delta\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial r} \Delta r_g$

Параметр $\Delta r_g$ представляет собой добавку, связанную параметром самой задачи – ее характерным гравитационным радиусом :

$\Delta r_g = \frac{a^2}{R_g}$

здесь a — универсальная константа, равная корню из произведения гравитационного и комптоновского радиуса частиц, так что:

$a^2=\frac{2Gm}{c^2} \frac{\hbar}{mc} = \frac{2G\hbar}{c^3}$

Гравитационный радиус связан с потенциалом:

$R_g = - \frac{2\varphi}{c^2}r $

Введем в наши формулы искусственно постоянную Планка и запишем добавку к потенциалу в виде:

$\Delta \varphi = - \frac{\hbar}{2 \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial r} \frac{a^2 c^2}{\hbar r}$

Введем новую величину

$\Gamma_r = - \frac{\hbar}{2 \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial r}$

которая имеет векторный характер, имеет размерность импульса, но не определяет и не характеризует никакого движения. Назовем ее статическим геометрическим импульсом. Привлекая формулу для a, окончательно имеем:

$\Delta \varphi = \frac{2 G \Gamma_r}{c r}$

С учетом такой поправки, например, в метрике Шварцшильда нужно будет произвести замену

$(1-\frac{r_g}{r}) \to (1-\frac{r_g}{r}-\frac{a^2}{r^2})$

Объект ведет себя так, как если бы его масса стала функцией r. Если в качестве массы выбрать массу электрона, то такая зависимость для r>a определилась бы формулой:

$m(r)=m_e+\frac{\hbar}{c r}$

Объект теперь локализуется не своим гравитационным радиусом, а «размазывается» далеко за его пределы. Теперь для описания его поведения нужен несколько иной подход. На помощь приходит квантовая механика.

Рассмотрим функцию Лагранжа для обычной скалярной частицы:

$L=\hbar^2 \eta^{\mu \nu} \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \Psi}{\partial x^{\nu}} - m^2c^2\Psi^{*}\Psi$

Комплексно-значная волновая функция может быть представлена в виде:

$\Psi=\sqrt{\rho} exp(i \frac{S}{\hbar})$

С учетом этого лагранжиан может быть переписан в виде:

$L=\rho(\eta^{\mu \nu}\Gamma_{\mu} \Gamma_{\nu}+\eta^{\mu \nu} P_{\mu} P_{\nu}-m^2 c^2)$

где

$\Gamma_{\mu} = - \frac{\hbar}{2 \rho} \frac{\partial \rho}{\partial x^{\mu}}$

уже определенный выше статический геометрический импульс, а

$P_{\mu}=\frac{\partial S}{\partial x^{\mu}}$

обычный динамический импульс. Заметим, что геометрический импульс является пространственно-подобным, а динамический – времени-подобным. Принцип наименьшего действия для лагранжиана, получается, состоит в том, что усредненные суммы квадратов всех видов импульсов частицы максимально близки к квадрату собственного импульса частицы mc.

Плотность в интеграле действия вполне может восприниматься в своей обычной квантово-механической интерпретации – плотности вероятности пребывания частицы в некоторой области пространства. Аналогично, можно интерпретировать эту величину как плотность представления частицы в той же области, т.е. плотности того, как представлена частица в той или иной области своими динамическими или статическими геометрическими импульсами.

[Time]

Разрешите высказать собственное мнение по поводу предложенной темы. Что бы иметь фундаментальные основания на интерпретацию квантовой механики, исходя из геометрических представлений - требуется иметь в геометрии- претенденте на подобную теорию в качестве выделенных преобразований те самые (или хотя бы похожие) группы симметрий, что обычно постулируются сами по себе. Речь о группах $U(1),SU(2),SU(3)$ и т.п. Вы не подскажите, среди каких групп преобразований и с какими метрическими инвариантами можно перечисленные группы связать в псевдоримановом четырехмерном пространстве-времени?

[Soshnikov_Serg]

Time в сообщении #260416 писал(а):

Вы не подскажите, среди каких групп преобразований и с какими метрическими инвариантами можно перечисленные группы связать в псевдоримановом четырехмерном пространстве-времени?

Наверно, не подскажу.
А Вам не кажется, что в приведенной интерпретации U(1) несколько порушилась?

[Time]

Soshnikov_Serg в сообщении #260431 писал(а):

А Вам не кажется, что в приведенной интерпретации U(1) несколько порушилась?

Ну, так именно поскольку эта группа симметрий в многомерных квадратичных пространствах присутствует, причем вместе с инвариантом - и удается геометризовать электродинамику, тесно связанную с данной группой. А как быть с остальными фундаментальными взаимодействиями (сильными и слабыми) с "нужными" им симметриями?

[Soshnikov_Serg]

Time в сообщении #260438 писал(а):

и удается геометризовать электродинамику

Если честно, не знаю, кто и как геометризовал электродинамику. Подскажите. Очень бы хотелось посмотреть. Удачных попыток мне как-то неизвесто.

[Time]

Soshnikov_Serg в сообщении #260439 писал(а):

Если честно, не знаю, кто и как геометризовал электродинамику. Подскажите. Очень бы хотелось посмотреть. Удачных попыток мне как-то неизвесто.

В четырехмерии, согласен, признанных успешными теорий не возникло. Ближе всех, по-моему, подошел к решению Г.Вейль, но, как он сам в конце концов признал, его геометризованная теория оказалась не для электромагнитного, а для несколько иного (и, похже, нефизичного) безмассового поля.
Однако пятимерная теория Калуцы-Клейна считается общепризнанной, хотя лично меня совершенно не устраивает появление пятой дополнительной координаты, которую сколько не сворачивай и не компактифицируй, все равно выводит из замечательного на топологические свойства четырехмерия. Но моло ли, что там я лично считаю. Сама теория считается успешной..

Что касается меня, то я с Вашим скепсисом в отношении естественной геометризованной теории объединенного гравитационного и электромагнитного полей - целиком согласен. И именно потому, что полагаю необходимым решать проблему на совсем другом наборе непрерывных симметрий, чем обладает пространство Минковского с его псевдоримановыми или вейлевскими обобщениями. А именно, на пути перехода к четырехмерным линейным финслеровым пространствам с их наборами непрерывных симметрий. Среди которых имеется бесконечномерная конформная группа. не случайно же в двумерном евклидовом пространстве, также обладающем бесконечномерной конформной группой, геометризация двумерной электро- и магнитостатики проходит практически "на ура". Слышали о применениях метода комплексного потенциала к соответствующим двумерным задачам электромагнетизма?

[Soshnikov_Serg]

Time в сообщении #260444 писал(а):

Что касается меня, то я с Вашим скепсисом в отношении естественной геометризованной теории объединенного гравитационного и электромагнитного полей - целиком согласен.

Мне как-то всегда казалось, что все эти построения никак не могут выдать-таки знак заряда. Все у них квадраты получались. Вторым недостатком всегда считал никак не поддающуюся разницу сил гравитационного и электромагнитного взаимодействий. Тоже вразумительных объяснений в теориях не находил.
Что касается теории групп, то тут каюсь, не дал Господь стать специалистом. Если сможете, объясните попроще. Если "на ура" - то и интерпретация должна быть не сложной . Особенно - знак заряда.
Я, кстати, как то пытался выступить со своей интерпретацией (http://dxdy.ru/topic11385.html), но пока неудачно. Пытаюсь доработать.

[Time]

Soshnikov_Serg в сообщении #260456 писал(а):

Если сможете, объясните попроще. Если "на ура" - то и интерпретация должна быть не сложной . Особенно - знак заряда.

Объяснять пока, собственно, нечего. Построение геометризованной теории объединенного гравитационного и электромагнитного полей в четырехмерном финслеровом пространстве с метрикой Бервальда-Моора - еще не решенная задача. Она даже вынесена в качестве одной из специальных премиальных задач нашего маленького института гиперкомплексных систем. Пока никто за чеком не обращался
Я глянул немного по Вашей ссылке. Основную проблему я вижу в том, что аналогия между идеальной жидкостью и электричеством имеется только в случае двумерной евклидовой плоскости. Но это слишком тривиальный пример. А при переходе к трехмерному евклидову пространству или к четырехмерному псевдоевклидову такой аналогии не может быть в принципе. Глубинные причины отсутствия такого соответствия в квадратичном многомерии я вижу во все тех же отличиях в непрерывных нелинейных конформных симметриях двумерия и многомерия с квадратичной метрикой. Я думаю, что концептуально Вы на правильном пути и на самом деле можно говорить об аналогии электромагнетизма и особых идеальных полей в четырехмерии по образу и подобию двумерия. Только для этого необходимо отказаться от квадратичности метрики и перейти к такой, в которой нелинейных симметрий будет как можно больше, причем никак не меньше бесконечномерной группы.. Пока мало кто отваживается пойти именно таким путем..

[Soshnikov_Serg]

Time в сообщении #260626 писал(а):

А при переходе к трехмерному евклидову пространству или к четырехмерному псевдоевклидову такой аналогии не может быть в принципе.

Что-то тут я ничего не понял. Мне казалось, что приведенная формулировка как-раз максимально пригодна для псевдоевклидова четырехмерного пространства. Во всяком случае, тогда и магнитное поле появлялось "на ура". Кстати, по поводу групп. Та же U(1) там появляется только на больших масштабах. На малых расстояниях характер взаимодействия сильно поменяется. И эта симметрия разрушится. И это - здорово.

[Time]

Soshnikov_Serg в сообщении #260743 писал(а):

Что-то тут я ничего не понял. Мне казалось, что приведенная формулировка как-раз максимально пригодна для псевдоевклидова четырехмерного пространства. Во всяком случае, тогда и магнитное поле появлялось "на ура".

Вы привели пример с трехмерным бассейном и "Ваша" жидкость олицетворяля собой векторное поле, связанное с конкретными потенциалами. Да, такое представление до определенных пор работает, как в евклидовом трехмерии, так и в псевдоевклидовом четырехмерии, но разница с евклидовым (а от себя добавлю, что и с псевдоевклидовым) двумерием - принципиальная. В двумерном случае, не просто потенциал, а комплексный. Только там одной заменой вещественной скалярной части на мнимую и наоборот (то есть обычным произведением комплексного потенциала на мнимую единицу) источниковое поле (электрическое) меняется на вихревое (магнитное), и наоборот. В многомерном квадратичном случае, у Вас может быть только одна скалярная функция, обычно связываемая с потенциалом, а что бы аналогия с двумерием сохранилась их должно бы быть по числу измерений, то есть, в четырехмерии - четыре. Несколько упрощая ситуацию: одна функция потенциала и, например, три функции тока. Однако при квадратичной метрической функции этого невозможно, мешают малоразмерные группы конформных преобразований, которые не дают из исходной взаимноортогональной системы четырех гиперплоскостей декартовой системы координат, не изменяя взаимных углов, преобразовать их в произвольного вида кривые гиперповерхности. Максимум, что позволяет 15-параметрическая конформная группа в квадратичном четырехмерии - это от системы четырех ортогональных гиперплоскостей перейти к системе из четырех ортогональных гиперсфер. Но это все, дальше симметрии не пускают. На мой взгляд, единстенная возможность обойти данную принципиальную проблему в многомерии - это отказаться от квадратичности метрики; в трехмерном пространстве перейти к кубической, а в четырехмерии - к биквадратичной, причем к такой, что бы непрерывных конформных симметрий было как можно больше. Тогда с множеством "ортогональных" (ортогональность взята в кавычки, так как превращается уже в свое финслерово обобщение) гиперповерхностей самого разного вида проблем не возникает. Чуть ли не единственный затык - непривычные геометрические и физические интерпретации математических объектов, но это, как сами понимаете, исправляется временем и наработкой опыта.. Построение примерно такой теории и имеется в виду по условием нашей специальной премии на счет объединения гравитационного и электромагнитного полей в финслеровом четырехмерии.

Soshnikov_Serg в сообщении #260743 писал(а):

Кстати, по поводу групп. Та же U(1) там появляется только на больших масштабах. На малых расстояниях характер взаимодействия сильно поменяется. И эта симметрия разрушится. И это - здорово.

Должен извиниться. Что то меня выше заклинило. Ведь группы симметрий $U(1)$ нет в многомерных квадратичных геометриях. Только в двумерных с евклидовой метрикой. А уже в трехмерном пространстве как подгруппа группы конформных преобразований она исчезает. Так что, мой самый первый тезис о необходимости перехода к неквадратичным пространствам в случае желания видеть $U(1), SU(2), SU(3)$ в качестве групп метрических симметрий (типа конформных и еще более хитрых) - более верный. Что касается характера появления группы $U(1)$ на разных масштабах, то в отношении ее как группы внутренних симметрий некоторых финслеровых пространств - вопрос совершенно не иследованный. Я только недавно смог уговорить нескольких физиков и математиков заняться полной классификацией групп симметрий хотя бы у трех и четырехмерных финслеровых пространств с кубическими и биквадратичными метрическими функциями. Будем надеяться, что скоро ситуация хотя бы отчасти прояснится..

[Soshnikov_Serg]

Time в сообщении #260760 писал(а):

В многомерном квадратичном случае, у Вас может быть только одна скалярная функция, обычно связываемая с потенциалом, а что бы аналогия с двумерием сохранилась их должно бы быть по числу измерений, то есть, в четырехмерии - четыре. Несколько упрощая ситуацию: одна функция потенциала и, например, три функции тока.

Поймал себя на мысли, что очень непросто оценивать свои собственные суждения с точки зрения теории, в котрой чувствуешь себя абсолютным профаном.

По поводу приведенной фразы: вот как-то не ощутил необходимости введения 4-х переменных. До сих пор полагаю, что одной скалярной функции - вполне достаточно.

По поводу групп симметрии. Исторически, на сколько я знаю, сначала формулировали уравнения (и не всегда дифференциальные) на основе опыта, потом строили вариационные методы для них, потом находили симметрии. Сейчас почему-то принято поступать наоборот. Наверно потому, что никак взаимодействия закономерностям не поддаются (например, сильные и слабые).

По поводу электромагнитного поля: предлагаю перенести дискуссию в мое предыдущее сообщение (см. ссылку выше)

[Time]

Soshnikov_Serg в сообщении #260878 писал(а):

Поймал себя на мысли, что очень непросто оценивать свои собственные суждения с точки зрения теории, в котрой чувствуешь себя абсолютным профаном.

Если есть желание и силы - можете глянуть приложения методов комплексного потенциала к задачам двумерной электро- и магнитостатики. В этом частном случае, и электричество, и магнетизм геометризуются точно и полностью. Кстати, и вся бесконечная конформная группа евклидовой плоскости в этом случае оказывается задействованной, причем весьма эффективно. Другое дело, что двумерные электромагнитные задачи слишком частный случай и предельно просты. Однако еще большой вопрос, в каком направлении двумерный электромагнетизм следует расширять на три, а с учетом времени и на четыре измерения. Исторически все пошло по пути евклидова и псевдоевклидова многомерия. Одним из минусов чего явилась потеря красоты и содержательности бесконечной конформной группы двумерия. Однако (по крайней мере, теоретически) возможен и другой путь - с сохранением бесконечной конформной группы, но с отказом от квадратичной метрики. Если, вдруг, захотите попробовать узнать, что может получиться на таком необычном пути - освежить в голове методы комплексного потенциала применительно к двумерным электромагнитным полям будет весьма полезно. Если на это нет сил и времени, то нам, наверное, лучше не продолжать разговор, все равно, он останется бесполезным ввиду взаимного непонимания..

Soshnikov_Serg в сообщении #260878 писал(а):

По поводу приведенной фразы: вот как-то не ощутил необходимости введения 4-х переменных. До сих пор полагаю, что одной скалярной функции - вполне достаточно.

Могу только снова повторить совет, прозвучавший чуть выше. Попробуйте освежить в памяти приложения теории функций комплексной переменной в связи с понятием комплексного потенциала. Там именно две, а не одна скалярная функция и обе в определенном смысле равноценны и дополняют друг друга. Это прямое следствие той самой бесконечномерной конформной группы, которой нет в многомерных квадратичных геометриях. Потому в многомерии просто поневоле приходится пытаться обходиться одной скалярной функцией. Успехи, конечно же есть, но той красоты и гармонии, что была в двумерии - уже нет и следа. Если в четырехмерие вернуть бесконечную конформную группу (только, естественно, уже не с квадратичной метрической функцией) - то почти автоматически там появится такая же гармоничность и содержательность, что наблюдалась в двумерии.

Soshnikov_Serg в сообщении #260878 писал(а):

По поводу групп симметрии. Исторически, на сколько я знаю, сначала формулировали уравнения (и не всегда дифференциальные) на основе опыта, потом строили вариационные методы для них, потом находили симметрии. Сейчас почему-то принято поступать наоборот. Наверно потому, что никак взаимодействия закономерностям не поддаются (например, сильные и слабые).

Я так не думаю. Возможная причина ненаглядности законов квантовой механики, вполне вероятно, лежит в предубеждении, что наше трехмерное пространство евклидово, а четырехмерное - псевдоевклидово (римановость и псевдоримановость мало что меняют) с их естественными наборами симметрий и инвариантов, из которых автоматически вытекают представления о выделенных преобразованиях и того, что наглядно и понятно, а что - нет. Если бы физики с самого рождения учились ориентироваться в пространстве-времени, описываемом биквадратичной метрикой с ее симметриями и инвариантами, они бы и при построении теорий исходили из совсем других наглядных представлений. Вполне допускаю, что квантовая механика в этом случае может оказаться на много более наглядной и понятной, чем при сегодняшнем подходе к геометрии пространства-времени.

Soshnikov_Serg в сообщении #260878 писал(а):

По поводу электромагнитного поля: предлагаю перенести дискуссию в мое предыдущее сообщение (см. ссылку выше)

Не обязательно переносить. Электромагнитное взаимодействие по современным представлениям является частью именно квантовой механики, так что, мы можем его так и продолжать рассматривать в рамкой этой Вашей темы, предполагая, что его можно геометризовать вместе с остальными двумя взаимодействиями. Впрочем, как хотите. Можете и перенести..

[Soshnikov_Serg]

Time в сообщении #260902 писал(а):

Если на это нет сил и времени, то нам, наверное, лучше не продолжать разговор, все равно, он останется бесполезным ввиду взаимного непонимания..

Хорошо, предлагаю пока следующий вариант:
я постараюсь найти время и познакомиться с книжкой "Начала Финслеровой геометрии для физиков". Если у меня появятся вопросы, я предложу их обсудить на Вашей теме "Финслерова геометрия и физика"

[Time]

Вообще-то, я имел ввиду существенно более лаконичную литературу, в которой можно найти и освежить в памяти методы комплексного потенциала применительно к двумерным электро- и магнитостатическим полям. Обычно этот раздел проходят в студенчестве галопом и далее забывают за ненужностью, так как считается, что его расширение на три и четыре измерения принципиально невозможно. Книга Гарасько, отчасти, показывает, что этот вывод, мягко говоря, отражает не все варианты. Однако, если Вы посмотрите "Основы финслеровой геометрии" - хуже точно не будет. Если у Вас появятся вопросы, на которые я смогу ответить, а меня к тому времени не будет на форуме (всяко бывает), пишите в личку: [e-mail] Если будет что-то, в чем я совсем не ориентируюсь, попрошу подключиться Григория Ивановича..

[ИгорЪ]

Soshnikov_Serg в сообщении #260414 писал(а):

Искривление пространства порождает энергию, которая в свою очередь усиливает искривление этого пространства.

...Которое вновь порождает энергию, которая снова усиливает искривление ... и т.д....в доме который построил Джек. Получается бесконечный гармонический расходящийся(?) ряд. Хорошо ли это? Ну и во вторых я не увидел геометрической интерпретации КМ. Покажете?