Проблемы с задачами по кинематике

[cherep36]

Привет всем всем!!!
Вот задали мне решить задачи по физике, которую я уже как 4 года не изучал толком и почти не помню, порыскал по всяким решебникам и учебникам, что то получилось, что то нет, есть вопросы на которые хотелось бы получить ответы, и узнать правильно ли я решил некоторые задачи(лекции в универе пишу но всё равно не сильно понятно):

Задача 1:
Зависимость пройденного телом пути от времени $S=A-Bt+Ct^2+Dt^3$ (A = 6м, B=3м/с, C=2 м/с^2,D=1 м/с^3) Определить для тела в интервале времени от t1 = 1c до t2 = 4с, среднюю скорость и среднее ускорение.

Мой вариант решения:

Vср = \Delta S / \Delta t = (S_2-S_1)/(t_2-t_1)=28м/с

aср = \Delta V / \Delta t

V=dS /dt = -B +2Ct+3Dt^2

aср = (V_2-V_1) / (t_2-t_1)=19 м/с^2

Это правильный ход решения? (подсмотрел в аналогичной задаче в решебнике)
Мне непонятно как из A-Bt+Ct^2+Dt^3 получилось -B +2Ct+3Dt^2 для скорости , почему выкинуто A ? это потому что тут замешана производная? если можно кратко объяснить процесс вывода данной формулы?

Задача2:
Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x_1=A_1t+B_1t^3+C_1t^3
и x_2=A_1t+B_2t^2+C_2t^2 (где B_1=4 м/с^2, C_1=-3 м/с^3, B_2=-2 м/с^2,C_2=1 м/с^3)
Определить момент времени, для которого скорости этих точек будут равны.

как я понял нужно составить уравнения скоростей для этих точек то есть(но не зная секрета получения формулы в предыдущей задаче, делал всё по аналогии и по своей никому непонятной логике):

V_1=dx_1/dt=A_1+2B_1t+2C_1t

V_2=dx_2/dt=A_1+2B_2t^2+3C_2t^2

далее, в аналогичных задачах почему то вычисляют ускорение, хотя вроде скорость нужно найти, но сделал как там

a_1=dV_1/dt=2B_1+2C_1=2*4+2*(-3)=2

a_2=dV_2/dt=6B_2t+6C_2t=6*(-2)t+6*1*t=-12*t+6t=-6t

-6t=2 t=2/-6

Сильно сомневаюсь что правильно.

Задача 3:
(задача судя по всему мега лёгкая, но чёт я сомневаюсь что для меня это так)
Плот плывёт по реке со скоростью 8 км/ч. Человек идёт поперёк плота со скоростью 6 км/ч. Чему равна скорость человека в системе отсчёта, связанной с берегом?

http://pic.ipicture.ru/uploads/091109/3 ... uAQqrc.png

Я так понял что решать нужно по закону Пифагора, то есть

V=\sqrt(6^2+8^2)=10 м/с
Это правильно?

Очень нужно во всём разобраться.

[Maslov]

cherep36 в сообщении #260326 писал(а):

Мне непонятно как из A-Bt+Ct^2+Dt^3 получилось -B +2Ct+3Dt^2 для скорости , почему выкинуто A ? это потому что тут замешана производная? если можно кратко объяснить процесс вывода данной формулы?

Формула выводится по правилу дифференцирования:

$$v = \frac {dS}{dt} = \frac{d(A-B t + C t^2 + D t^3)} {dt} = \frac {dA}{dt} + \frac {d(-B t)}{dt} + \frac{d(C t^2)}{dt} + \frac{d(D t^3)} {dt} = 0 - B + 2 C t + 3 D t^2 $$

Ход решения - правильный (цифры не проверял).

-- Пн ноя 09, 2009 22:49:16 --

cherep36 в сообщении #260326 писал(а):

Задача2:
Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x1=A1t+B1t^3+C1t^3
и x2=A1t+B2t^2+C2t^2

Проверьте, пожалуйста, формулы - там, мне кажется, какая-то путаница со степенями и нижними индексами.
Нижние интексы в TeX выводятся так (наведите мышку и увидите формулу): $x_1 = A_1 t + B_1 t^2 + C_1 t^3$

-- Пн ноя 09, 2009 22:50:25 --

Задача 3 правильно.

[Парджеттер]

Парджеттер:

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться (Ф)" в "Карантин" по следующим причинам:
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$ (как это правильно делать можно посмотреть здесь);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом либо при помощи личного сообщения модератору, либо в теме Сообщение в карантине исправлено.

Рекомендую также прочитать тему Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться - там описано за что можно попасть в "Карантин" и как исправлять положение.

Также в качестве полезного чтения рекомендую Правила научного форума.

[Парджеттер]

Вернул

[Maslov]

cherep36 в сообщении #260326 писал(а):

Задача2:
Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид
$x_1=A_1t+B_1t^3+C_1t^3$ и
$x_2=A_1t+B_2t^2+C_2t^2$
(где $B_1=4 \text{м}/\text{c}^2, C_1=-3 \text{м}/\text{c}^3, B_2=-2 \text{м}/\text{c}^2, C_2=1 \text{м}/\text{c}^3 $)
Определить момент времени, для которого скорости этих точек будут равны.

Здесь по-прежнему неправильно. Скорее всего, должно быть все-таки так:
$x_1=A_1t+B_1t^2+C_1t^3$
$x_2=A_1t+B_2t^2+C_2t^3$
Иначе просто по размерности коэффициентов не совпадает:
$[B_1][t]^3=[\text{м}][\text{c}]^{-2}[\text{c}]^3=[\text{м}][\text{c}]$, а должно быть просто $[\text{м}]$
$[C_2][t]^2=[\text{м}][\text{c}]^{-3}[\text{c}]^2=[\text{м}][\text{c}]^{-1}$, а должно быть просто $[\text{м}]$

Всё правильно Вы начинали (не надо здесь никаких ускорений).
Дифференцированием находите скорости $v_1$ и $v_2$, приравниваете, получаете уравнение относительно времени и решаете его.

[cherep36]

Maslov
Спасибо огромное за объяснения.

Есть ещё один вопросец.

Как найти максимальную скорость? точнее что за формула для неё? или через что её выражают?

вот к примеру Задача:

Тело движется по закону $S=-A*t^4 + B*t^2 + 72 $. Найти максимальную скорость тела, если
$ A=0,25 м/с^4, $ B=3 м/с^2

Поидее максимальная скорость будет на участке $-A*t^4$ так ? но вот что с этим делать я понятия не имею.

[meduza]

cherep36 в сообщении #262046 писал(а):

Поидее максимальная скорость будет на участке $-A*t^4$ так ?

Нет. Продифференцируй $S$ по времени -- будеть скорость. А как найти максиум функции вы уже должны проходить были на математике.

[cherep36]

В универе как то всё странно, математика не поспевает за физикой, когда то в техникуме проходил эти экстремумы, но честно говоря уже не помню, судя по учебнику выходит как то так:

$ V = \frac {dS}{dt}=-4*A*t^3+2*B*t$

а далее выражаем находим t :

$ -4*0.25*t^3+2*3*t =0$
$ -t^3+6*t = 0 $
$ t(-t^2+6) = 0$
$ -t^2+6 = 0$
$ -t^2=-6$
$ t=\sqrt(6)$

то есть $ t_1=0$, а $ t_2=\sqrt(6)$ - критические точки

и если подставить $ t_2 $ в формулу скорости, то получится 0, полчается максимальная скорость равна 0?
или же t нужно выражать из первоначальной формулы? но тогда получается $t_1=\sqrt(12) $ и $ t_2=\sqrt(72) $, и если эти значения t подставить в формулу скорости, то получатся отрицательные значения, -20 и -560.

[Maslov]

Для того, чтобы найти максимальное значение скорости, надо исследовать на экстремумы выражение для скорости, а не для пройденного расстояния.

Поэтому схема такая:

1. Дифференцируя выражение для пути, находим скорость
$v(t) = \frac{dS}{dt}$

2. Для нахождения моментов времени, соответствующих экстремальным значениям скорости, вычисляем ускорение
$a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$
и приравниваем его нулю. Решаем получившееся уравнение и находим критические точки для скорости $t_1$ и $t_2$.

3. Критическая точка может быть точкой минимума, точкой максимума или вообще не быть точкой экстремума (например, точка $x = 0$ для функции $y = x^3$).
Для того, чтобы уточнить тип критической точки, пользуемся тем, что в точке максимума вторая производная отрицательна, а в точке минимума - положительна. Т.е., нам надо продифференцировать ускорение
$w(t) = \frac{da(t)}{dt}$
и проанализировать значение функции $w(t)$ в точках $t_1$ и $t_2$: та из них, в которой значение $w(t)$ отрицательно, и будет точкой максимума $v(t).$

4. Для того, чтобы найти максимальное значение скорости, подставляем найденное значение времени в выражение для $v(t)$.

И ещё: если у Вас в задаче есть какие-то параметры ($A, B, C, D$), то лучше все преобразования вести в "символьной" форме и подставлять конкретные числовые значения только в самый последний момент.

[cherep36]

Maslov, meduza - спасибо, разобрался более менее.