Восстановите док-во Случая I ВТФ для p=3, =5.

[anwior]

Вводная часть (кратко): Великая теорема сводится к доказательству
следующего
Основное утверждение (ОУ). Не существует примитивной тройки $($x$, $y$, $z$)$ с четным
произведением $xyz$ и $p<x<y<z$, для которой

$$ y^p+x^p=z^p,\eqno(1) $$

где $p$--- простое $\geqslant3$.

В доказательствах Случая I ОУ для $p=3$ и $p=5$ используется известное

Предложение N. Для любых попарно взаимно простых различной четности и не делящихся на $p$
чисел $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих уравнению (1), существуют такие пары целых чисел $ \textup{(}$u_0$, $v_0$\textup{)}$,
$\textup{(}$u_1$, $v_1$\textup{)}$, $\textup{(}$u_2$, $v_2$\textup{)}$, состоящие из взаимно простых не делящихся на $p$ чисел, что

$$ \left. \begin{aligned} y+x& =u_0^p, & \frac{y^p+x^p}{y+x}& =v_0^p, & z& =u_0v_0,\\ z-x& =u_1^p, & \frac{z^p-x^p}{z-x}& =v_1^p, & y& =u_1v_1,\\ z-y& =u_2^p, & \frac{z^p-y^p}{z-y}& =v_2^p, & x& =u_2v_2. \end{aligned} \right. $$

Вот некое целостно-'ущербное' короткое доказательство Случая I ОУ для $p=3$ .

Д о к а з а т е л ь с т в о Случая I ОУ для $p=3$ от противного: Предположим, что существует примитивная
тройка $($x$, $y$, $z$)$ с четным произведением $xyz$ и $3\nmid\,xyz$, удовлетворяющая уравнению (1). Фиксируем эти
целые числа $x$, $y$, $z$, обозначив $a$, $b$, $c$, соответственно. То есть, исходя из принятого предположения
(в рамках данного рассмотрения) о ложности ОУ, для некоторого случая имеем:

$$ b^3+a^3=c^3. $$

Отняв от обеих частей последнего [алг. выр. I], будем иметь

$b^3+a^3-$[алг. выр. I]=$c^3-$ [алг. выр. I]. (2)

Левую и правую части в (2) заменим тождественно равными выражениями [алг. выр. II],
[алг. выр. III], соответственно; по завершении действия, с учетом предложения N, соотношение (2) примет вид:

[алг. выр. IV].

Но такое равенство невозможно, так как его правая часть делится на 3 и не делится на 9,
а левая --- либо не делится на 3, если [алг. выр. V] не делится на 3, либо делится на 9, если [алг. выр. V]
делится на 3. Налицо противоречие. Значит, вводное предположение ошибочно. В силу произвольности
в выборе примитивного решения $($x$, $y$, $z$)$ уравнения (1) при $p=3$ для Случая I заключаем: ОУ, а значит,
и ВТФ при $p=3$ в Случае I истинны.$\square$

Какие именно алгебраические выражения скрываются под цифрами I-V?

Найдите их и восстановите возможно самое короткое целостно-безупречное доказательство!
Удачи вам!
P. S. Кто справится с этой задачей, тот легко справится со Случаем I ВТФ и для $p=5$.
Восстановите возможно самое короткое целостно-безупречное доказательство и для этого случая!
P. P. S. Чур, упс, дык в мой сайт не заглядывать!

[age]

anwior в сообщении #259893 писал(а):

P. S. Кто справится с этой задачей, тот легко справится со Случаем I ВТФ и для $p=5$.

Не справится.

[anwior]

age в сообщении #260306 писал(а):

anwior в сообщении #259893 писал(а):
P. S. Кто справится с этой задачей, тот легко справится со Случаем I ВТФ и для .


Не справится.

На данный момент это обязывает меня к чему-то?

[Гаджимурат]

age в сообщении #260306 писал(а):

Не справится.

Солидарен с ВАМИ!.

[anwior]

age в сообщении #260306 писал(а):

anwior в сообщении #259893 писал(а):

P. S. Кто справится с этой задачей, тот легко справится со Случаем I ВТФ и для $p=5$.

Не справится.

Гаджимурат в сообщении #260587 писал(а):

age в сообщении #260306 писал(а):

Не справится.

Солидарен с ВАМИ!.

anwior в сообщении #259893 писал(а):

Какие именно алгебраические выражения скрываются под цифрами I-V?

Найдите их и восстановите возможно самое короткое целостно-безупречное доказательство!
Удачи вам!
P. S. Кто справится с этой задачей, тот легко справится со Случаем I ВТФ и для $p=5$.
Восстановите возможно самое короткое целостно-безупречное доказательство и для этого случая!
P. P. S. Чур, упс, дык в мой сайт не заглядывать!

'особо слабым', но очень любопытным разрешается пренебречь частицей 'не' перед словом 'заглядывать'

[Гаджимурат]

anwior в сообщении #260741 писал(а):

'особо слабым', но очень любопытным разрешается пренебречь частицей 'не' перед словом 'заглядывать'

Так "любопытных" заманивают поиграть в "лохотрон" или угадать шарик в трех
наперстках.Извиняюсь,если что-то не так не понял.

[shwedka]

anwior
Случай 1 ВТФ для степени 3 доказывается в три строчки, и Ваша кодировка здесь ни к чему. Так что разбирайтесь со случаем 2. И только потом перейдите к степени 5.

[anwior]

shwedka в сообщении #260865 писал(а):

anwior
Случай 1 ВТФ для степени 3 доказывается в три строчки, и Ваша кодировка здесь ни к чему. Так что разбирайтесь со случаем 2. И только потом перейдите к степени 5.

Известные вам три строчки--- мне не известны и в этом ничего зазорного нет!
Более того, именно по этой причине я предусмотрительно и вставил в текст слово 'возможно'.

А к сему добавлю: вычленив из моего текста три выключные формулы, в итоге получим новое
красивое трехстрочное алгебраическое доказательство.

[age]

shwedka
Без особой кодировки теорему Ферма не разгадать.

anwior
А как насчет преподнести вашу кодировку для разгадывания Виктору Сорокину или KORIOLA! ? Можно также пригласить Виктора Ширшова и Леонида Вайсруба.
Уж им-то, наверное точно известны алгебраические выражения!

[anwior]

age
В вашем успешно удалённым анализе мне не совсем понятно одно заключение, а именно:

Так как правая часть разность кубов, то она делиться на $3^2$.

Ведь рассматривая разность ваших кубов $(x+y)^3-z^3$, ваше заключение никак нельзя считать очевидным.

Отсюда, вопрос: на какой установленный факт вы опирались, заключая:

то она делиться на $3^2$?

Заранее спасибо.

[anwior]

shwedka
Давайте по честному:
а) вы выкладываете здесь известное вам трехстрочное решение;

б) я удостоверяюсь в его верности;

с) если такое решение я признаю верным и лучше моего решения (важно, что
оно у меня есть-- и это состоявшийся факт!), то я без промедления выложу здесь
своё решение, если же моё решение я сочту лучшим (субъективно), то сообщаю об этом,
но не выкладываю.

[shwedka]

anwior Пожалуйста!!

Первый случай ТФ для степени 3. $x^3+y^3-z^3=0 $, $x,y,z$ не делятся на 3. Доказательство в три строки.

При $P\equiv x+y-z$, имеем $P^3=3(x+y)(z-x)(z-y) \ \ (*)$; $P\vdots 3$ , поэтому $x+y=P+z$, $z-x=y-P$, $z-y=x-P \not\vdots 3;$ левая часть в (*) делится на $3^3=27$, правая лишь на $3.$ Противоречие.

[anwior]

shwedka в сообщении #261157 писал(а):

anwior Пожалуйста!!

Первый случай ТФ для степени 3. $x^3+y^3-z^3=0 $, $x,y,z$ не делятся на 3. Доказательство в три строки.

При $P\equiv x+y-z$, имеем $P^3=3(x+y)(z-x)(z-y) \ \ (*)$; $P\vdots 3$ , поэтому $x+y=P+z$, $z-x=y-P$, $z-y=x-P \not\vdots 3;$ левая часть в (*) делится на $3^3=27$, правая лишь на $3.$ Противоречие.

Вопрос 1-й. здесь: $P\equiv x+y-z$ нужен знак сравнения или равенства?
(ведь по трем равенствам двучленов, что во 2-ой строке док-ва, в формуле вопроса вроде должен быть знак равенства-- уточните).

Чтобы задать второй вопрос, я должен наверняка иметь ответ на первый вопрос.
Заранее благодарю.

[shwedka]

Это определение числа $P$. Тождественное равенство.

[anwior]

shwedka
Большое спасибо!
Сразу после вводной изложу обещанное решение для степени 3.

Вводная часть (кратко): Великая теорема сводится к доказательству
следующего
Основное утверждение (ОУ). Не существует примитивной тройки $($x$, $y$, $z$)$ с четным
произведением $xyz$ и $p<x<y<z$, для которой

$$ y^p+x^p=z^p,\eqno(1) $$

где $p$--- простое $\geqslant3$.

В доказательствах Случая I ОУ для $p=3$ и $p=5$ используется известное

Предложение N. Для любых попарно взаимно простых различной четности и не делящихся на $p$
чисел $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих уравнению (1), существуют такие пары целых чисел $ \textup{(}$u_0$, $v_0$\textup{)}$,
$\textup{(}$u_1$, $v_1$\textup{)}$, $\textup{(}$u_2$, $v_2$\textup{)}$, состоящие из взаимно простых не делящихся на $p$ чисел, что

$$ \left. \begin{aligned} y+x& =u_0^p, & \frac{y^p+x^p}{y+x}& =v_0^p, & z& =u_0v_0,\\ z-x& =u_1^p, & \frac{z^p-x^p}{z-x}& =v_1^p, & y& =u_1v_1,\\ z-y& =u_2^p, & \frac{z^p-y^p}{z-y}& =v_2^p, & x& =u_2v_2. \end{aligned} \right. $$

Вот обещанное доказательство Случая I ОУ для $p=3$ .

Д о к а з а т е л ь с т в о Случая I ОУ для $p=3$ от противного: Предположим, что существует примитивная
тройка $($x$, $y$, $z$)$ с четным произведением $xyz$ и $3\nmid\,xyz$, удовлетворяющая уравнению (1). Фиксируем эти
целые числа $x$, $y$, $z$, обозначив $a$, $b$, $c$, соответственно. То есть, исходя из принятого предположения
(в рамках данного рассмотрения) о ложности ОУ, для некоторого случая имеем:

$$ b^3+a^3=c^3. $$

Отняв от обеих частей последнего $b^3+(c-b)^3$, будем иметь

$$ a^3-(c-b)^3=c^3-b^3-(c-b)^3.\eqno(2) $$

Левую и правую части в (2) заменим тождественно равными выражениями
$(a-c+b)^3+3(c-b)(a-c+b)^2+3(c-b)^2(a-c+b)$, $3bc(c-b)$ , соответственно; по завершении действия,
с учетом предложения N, соотношение (2) примет вид:

$$ \left(a-u_2^3\right)\left(\left(a-u_2^3\right)^2+3u_2^3(a-u_2^3)+3\left(u_2^3\right)^2\right)=3bcu_2^3. $$

.

Но такое равенство невозможно, так как его правая часть делится на 3 и не делится на 9,
а левая --- либо не делится на 3, если $a-u_2^3$ не делится на 3, либо делится на 9,
если $a-u_2^3$ делится на 3. Налицо противоречие. Значит, вводное предположение ошибочно. В силу произвольности
в выборе примитивного решения $($x$, $y$, $z$)$ уравнения (1) при $p=3$ для Случая I заключаем: ОУ, а значит,
и ВТФ при $p=3$ в Случае I истинны.$\square$