Изометрия на компакте

[Юстас]

Имеется метрический компакт (К,р). F действует из К на К(то есть F(K)=К). Известно, что $p(F(x),F(y))\geqslant {p(x,y)}$. Доказать, что F-изометрия(т.е. сохраняет расстояние).

[er]

Для обратного отображения $G=F^{-1}$, $p(G(x),G(y))\leqslant {p(x,y)}$ и $G(K)=K$.

Пусть $\epsilon>0$, $N$ - минимальная мощность $\epsilon$-сети, $\{x_1,\dots,x_N\}$ - $\epsilon$-сеть, на которой достигается минимум $\sum_{i,j=1,\dots,N}p(x_i,x_j)=m$ по всем $\epsilon$-сетям размера $N$.

Множество $\{G(x_1),\dots,G(N)\}$ тоже будет $\epsilon$-сетью размера $N$ и, так как $G$ не увеличивает расстояния, то $\sum_{i,j=1,\dots,N}p(G(x_i),G(x_j))=m$. Следовательно, $p(x_i,x_j)=p(G(x_i),G(x_j))$ для всех $i,j$. Тогда $|p(x,y)-p(G(x),G(y))|<2\epsilon$ для любых $x,y$. Так как $\epsilon$ любой, то $p(x,y)=p(G(x),G(y))$.

Мда, когда то эта задачка была на мат. бое с питерским мат.-мехом. Мы (мехмат) победили.

[Юстас]

Жаль, что Вы знали решение и так быстро его опубликовали. Действительно красивое утверждение. Я, когда решал, почему-то очень долго пытался использовать непрерывность F, как оказалось не всегда очевидное верно

[Руст]

То что F биективное (в противном случае 0=p(F(x),F(y))>=p(x,y)), а обратное отображение непрерывно очевидно. Однако, с какой стати существует конечная эпсилон сеть?
Прошу прощения забыл компактность. Поэтому всё правильно.

[er]

В решение есть некоторые неточности, но они легко устраняются.

Кстати, в условие задачи ограничение "F отображение на" можно убрать, то есть вместо $F(K)=K$ можно $F(K)\subseteq K$.

Даже в таком виде: доказать что отображение компакта в себя, являющееся изометрией, есть отображение "на" - это задача, хотя значительно более простая и рутинная, чем исходная.

[amiable]

Нашел, что моя задача уже обсуждалась. Только у меня биективность требуется доказать, функция действует просто из X в X, где X - метрическое пространство. И в данном случае очевидно только то, что она инъективна.
Как действовать в этом случае?
Кроме того, почему инфимум по всем $\epsilon$-сетям размера N рассматриваемой во втором сообщении суммы достигается? По-моему, это совсем неочевидно.
Спасибо.

[RIP]

Сюръективность доказывается очень просто. Допустим, что нашёлся $x_0\notin f(X)$. Определим последовательность $x_n=f(x_{n-1})$ ($n\in\mathbb N$). Тогда существует $\varepsilon>0$ такое, что при $i\ne j$ выполнено $\rho(x_i,x_j)\ge\varepsilon$ (в качестве $\varepsilon$ можно взять расстояние от $x_0$ до $f(X)$). В компактах так не бывает.

[amiable]

RIP в сообщении #259694 писал(а):

Сюръективность доказывается очень просто. Допустим, что нашёлся $x_0\notin f(X)$. Определим последовательность $x_n=f(x_{n-1})$ ($n\in\mathbb N$). Тогда существует $\varepsilon>0$ такое, что при $i\ne j$ выполнено $\rho(x_i,x_j)\ge\varepsilon$ (в качестве $\varepsilon$ можно взять расстояние от $x_0$ до $f(X)$). В компактах так не бывает.

Ничего не понял. Что считать первым элементом последовательности? Почему $\rho(x_i,x_j)\ge\varepsilon$? Что, если расстояние от $x_0$ до $f(X)$ равно 0?

[RIP]

amiable в сообщении #259715 писал(а):

Что считать первым элементом последовательности?

$f(x_0)$. А $x_0$ определено в предыдущем предложении.

amiable в сообщении #259715 писал(а):

Что, если расстояние от $x_0$ до $f(X)$ равно 0?

Вот и докажите, что оно не равно нулю. Воспользуйтесь тем, что непрерывность $f$ уже доказана.

amiable в сообщении #259715 писал(а):

Почему $\rho(x_i,x_j)\ge\varepsilon$?

Попробуйте доказать самостоятельно. Это почти очевидно.

[amiable]

1. Непрерывность f как раз требуется доказать. Она здесь пока нигде не доказана, разве что в самом конце, когда уже показано, что f - изометрия, но этого я пока не понял. Вот у обратной функции есть непрерывность.
2. Неравенство совсем не кажется мне почти очевидным.
А как насчёт

Цитата:

Кроме того, почему инфимум по всем эпсилон-сетям размера N рассматриваемой во втором сообщении суммы достигается? По-моему, это совсем неочевидно.

Ведь f(X), на котором рассматривается G, - не обязательно компакт, а непрерывность f(x) ещё только требуется доказать.

[RIP]

amiable в сообщении #259774 писал(а):

Непрерывность f как раз требуется доказать. Она здесь пока нигде не доказана, разве что в самом конце, когда уже показано, что f - изометрия, но этого я пока не понял.

Действительно, в данной теме не доказана, однако док-во AGu изометричности $f$ в олимпиадном разделе абсолютно верное. Про Доценко я прокомментировал в "Помогите решить/разобраться".

amiable в сообщении #259774 писал(а):

2. Неравенство совсем не кажется мне почти очевидным.

Тогда попробуйте его доказать самостоятельно, получите удовольствие. На худой конец, прочитайте решение Доценко.

amiable в сообщении #259774 писал(а):

Кроме того, почему инфимум по всем эпсилон-сетям размера N рассматриваемой во втором сообщении суммы достигается?

Потому что множество всех упорядоченных наборов $(x_1,\ldots,x_N)$, где $\{x_1,\ldots,x_N\}$ --- $\varepsilon$-сеть мощности $N$, замкнуто в $K^N$ (конечно, это надо доказывать, но это стандартная учебная задача), поэтому компактно, а сумма расстояний --- непрерывная функция.

[amiable]

В решении Доценко нет доказательства биективности.
А я вот утверждаю, что, поскольку последовательность $x_n=f(x_{n-1})$ - это последовательность точек компакта, то она содержит сходящуюся подпоследовательность, поэтому минимумом расстояния между её членами будет ноль, а не какое-то эпсилон, даже равное расстоянию от $x_0$ до $f(X)$. И $x_0 \not \in f(X)$ тут ни при чем. Что дальше?

-- Пн ноя 09, 2009 16:08:30 --

Цитата:

amiable в сообщении #259774 писал(а):

Кроме того, почему инфимум по всем эпсилон-сетям размера N рассматриваемой во втором сообщении суммы достигается?

Потому что множество всех упорядоченных наборов $(x_1,\ldots,x_N)$, где $\{x_1,\ldots,x_N\}$ --- $\varepsilon$-сеть мощности $N$, замкнуто в $K^N$ (конечно, это надо доказывать, но это стандартная учебная задача), поэтому компактно, а сумма расстояний --- непрерывная функция.

Это цепочка очевидных рассуждений, а знать хочется, почему множество всех эпсилон-сетей замкнуто. По-моему, это совсем нетривиально.

[RIP]

amiable в сообщении #260101 писал(а):

В решении Доценко нет доказательства биективности.

У него это третья задача.

amiable в сообщении #260101 писал(а):

А я вот утверждаю, что, поскольку последовательность $x_n=f(x_{n-1})$ - это последовательность точек компакта, то она содержит сходящуюся подпоследовательность, поэтому минимумом расстояния между её членами будет ноль,

Правильно утверждаете. В этом и заключается противоречие с тем, что $x_0\notin f(X)$ (потому что из этого следует, что при $i\ne j$ выполнены неравенства $\rho(x_i,x_j)\ge\rho(x_0,f(X))>0$).

amiable в сообщении #260101 писал(а):

а знать хочется, почему множество всех эпсилон-сетей замкнуто.

Потому что его дополнение открыто. Докажите уже хоть что-нибудь самостоятельно, а то Вам лишь бы покритиковать, не разобравшись.

[amiable]

Цитата:

amiable в сообщении #260101 писал(а):

а знать хочется, почему множество всех эпсилон-сетей замкнуто.

Потому что его дополнение открыто. Докажите уже хоть что-нибудь самостоятельно, а то Вам лишь бы покритиковать, не разобравшись.

Может, ещё как объединение замкнутых множеств (что, естественно, неверно)?

RIP, вы меня плохо знаете, и рановато вам ещё делать такие выводы. Эта реплика почти оскорбительна. Может, хватит Вам уже разыгрывать из себя учителя? Я свободен критиковать что угодно и сколько мне вздумается, для того и форум! Не нравится вам мои вопросы - не участвуйте в дискуссии, но вам следует поменять ваш тон.

[Padawan]

er в сообщении #27519 писал(а):

Для обратного отображения $G=F^{-1}$, $p(G(x),G(y))\leqslant {p(x,y)}$ и $G(K)=K$.

Пусть $\epsilon>0$, $N$ - минимальная мощность $\epsilon$-сети, $\{x_1,\dots,x_N\}$ - $\epsilon$-сеть, на которой достигается минимум $\sum_{i,j=1,\dots,N}p(x_i,x_j)=m$ по всем $\epsilon$-сетям размера $N$.

Множество $\{G(x_1),\dots,G(N)\}$ тоже будет $\epsilon$-сетью размера $N$ и, так как $G$ не увеличивает расстояния, то $\sum_{i,j=1,\dots,N}p(G(x_i),G(x_j))=m$. Следовательно, $p(x_i,x_j)=p(G(x_i),G(x_j))$ для всех $i,j$. Тогда $|p(x,y)-p(G(x),G(y))|<2\epsilon$ для любых $x,y$. Так как $\epsilon$ любой, то $p(x,y)=p(G(x),G(y))$.

Мда, когда то эта задачка была на мат. бое с питерским мат.-мехом. Мы (мехмат) победили.

Можно использовать только вполне ограниченность $K$. Для этого надо выбрать не $\varepsilon$-сеть на которой достигается минимум суммы, а сеть, которая отличается от инфимума меньше, чем на $\varepsilon$ . Тогда и $|p(x_i,x_j)-p(G(x_i),G(x_j))|<\varepsilon$ для всех $i,j$. Далее по доказательству.