Физика на мехмате.

[AD]

peregoudov в сообщении #257317 писал(а):

Дык и строгое можно только зазубрить. Спросите любого студента технического вуза (я сам таких учу).

Выборка нерепрезентативна, и даже оффтопична. Я сейчас говорю про себя, возможно, некоторые другие студенты-математики со мной согласились бы.

peregoudov в сообщении #257317 писал(а):

На самом деле для воспроизведения доказательства (на экзамене) нужны наводящие соображения, наглядные образы и т. п. --- вещи вовсе нестрогие.

Такие соображения можно сообразить только при наличии строго доказательства. Ибо только тогда становится понятна суть дела. А когда сообщают суть дела на блюдечке с голубой каемочкой, не излагая при этом всё точно, это выглядит шарлатанством.

peregoudov в сообщении #257317 писал(а):

На мой взгляд, невозможно "понять логику", ее можно только проверить по табличке истинности.

Да, вот тут такое дело, что математики, хоть и изобрели "абсолютно строгое доказательство", но всё равно им не пользуются, ибо противно очень Поэтому я говорю о "просто "строгом"" доказательстве, которое хоть и не до такой степени строгое, но в котором хотя бы всё понятно (а когда что-то не доказывается вообще, то это не понятно).

Замечу, что в и курсах для математиков встречаются теоремы, оставленные без доказательства, а иногда и ключевые даже. Скажем, в нашем курсе случайных процессов осталась недоказанной теорема Колмогорова о существовании случайных процессов , та самая, благодаря которой, фактически, Колмогоровское представление о теории вероятности как о разделе теории меры получило право на существование. Но в таких случаях результат хотя бы ясно формулируется, чтобы им можно было пользоваться. Ну и неприятный осадок всегда остается.

[peregoudov]

AD в сообщении #257861 писал(а):

Выборка нерепрезентативна

Не, на самом деле нерепрезентативна выборка из математиков Дело, конечно, в том, что понимать под репрезентативностью

AD в сообщении #257861 писал(а):

Такие соображения можно сообразить только при наличии строго доказательства.

А вот мне представляется, что точные условия теоремы можно сообразить только после разбора доказательства. Требовать их до доказательства, да еще в случае, когда доказательства и вовсе не последует --- с моей точки зрения нонсенс. А, по моим наблюдениям, это именно то, на чем спотыкаются математики в физике: они начинают требовать сформулировать им утверждения строго. Вот если бы они вместо этого требовали доказать им утверждения, то быстро бы сообразили, какие предположения используются и какой результат получается. Сутью надо интересоваться, товарищи!

AD в сообщении #257861 писал(а):

Поэтому я говорю о "просто "строгом"" доказательстве, которое хоть и не до такой степени строгое, но в котором хотя бы всё понятно

Ну, вот мне интересно было бы понять, как этот зверь выглядит. Потому что мой собственный (отрицательный) опыт общения с математиками выглядел, как описал Sekhmet, только наоборот: к каждому произнесенному мной слову математики цеплялись, так что я просто ничего не смог им рассказать. И у меня сложилось впечатление, что претензии-то больше к форме, чем к сути, а до сути математики не могут добраться, потому что циклятся на форме.

Мне по роду деятельности тоже приходится формулировать в более-менее математическом виде те "рукомахания", которые выдают экспериментаторы. И мне не приходит в голову требовать от них точного математического определения смысла "вот этого вот жеста". Как-то само собой разумеется, что формализовать задачу должен я. Да, от них порой трудно добиться внятного изложения того, что именно они делают. Ну что же, приходится задавать вопросы, рисовать картинки, подходить к установке, тыкать пальцем.

Я о чем хочу сказать. Лично мне знакома проблема налаживания контакта с людьми, говорящими на несколько ином языке. И проблема решаема при добросердечном отношении и искреннем интересе. Но вот математики почему-то так себя не ведут, требуя, чтобы с ними разговаривали исключительно "по-французски". Может быть, в этом корень проблемы?

И в заключение хочу в очередной раз повторить: давайте рассмотрим те два конкретных случая, о которых рассказал RIP. Вот как будет выглядеть объяснение, "в котором хотя бы всё понятно"? Я выше уже предложил свои варианты объяснений, прокомментируйте кто-нибудь.

[ewert]

peregoudov в сообщении #258339 писал(а):

А вот мне представляется, что точные условия теоремы можно сообразить только после разбора доказательства. Требовать их до доказательства, да еще в случае, когда доказательства и вовсе не последует --- с моей точки зрения нонсенс.

В математике достаточно часто встречаются утверждения не то чтоб пусть и совсем уж очевидные, но выглядящие вполне естественно. Формальные же доказательства которых -- занудны и совсем не интуитивны. И тут -- совсем не грех оставить их (в учебном курсе) и без доказательства. Но -- при одном непременном условии: сама формулировка должна быть абсолютно строгой и не допускающей никаких двусмысленностей.

[Профессор Снэйп]

peregoudov в сообщении #258339 писал(а):

Вот если бы они вместо этого требовали доказать им утверждения, то быстро бы сообразили, какие предположения используются и какой результат получается. Сутью надо интересоваться, товарищи!

Гениально! Поди туда, не знаю куда, докажи то, не знаю что. Это уже какая-то философия! А в математике прежде чем доказывать, надо хотя бы знать, что именно доказываем

По поводу математики у физиков. Математика, востребованная в физике, тоже бывает разная. Одно дело анализ, другое дело теория групп...

[AD]

peregoudov в сообщении #258339 писал(а):

Не, на самом деле нерепрезентативна выборка из математиков

В этой теме репрезентативна, ибо все утверждения касаются как раз математиков

peregoudov в сообщении #258339 писал(а):

А вот мне представляется, что точные условия теоремы можно сообразить только после разбора доказательства.

О нет, это есть нечто ужасное для математиков, хотя, пожалуй, менее ужасное, чем моя подпись. Постараюсь пояснить.

RIP в сообщении #256132 писал(а):

После того, как лектор (Т.П. Лукашенко) сформулировал что-то в районе 10--15 свойств теоретико-множественных операций и все их полностью доказал (без всяких "аналогично", "и т.д." и т.д.), я был в шоке. Наверно, до сих пор под впечатлением.

Собственно, этого персонажа много обсуждают, (ну и я тоже его лекции слушал, и тоже примерно того же мнения, что и RIP ); вот, скажем, парочка противоположных мнений отсюда (то есть на родном мехматском форуме обсуждают лекторов) на тему только что процитированной идеи peregoudovа:

некто `Oleg the Dark' на первой странице* по ссылке писал(а):

Позволю себе пояснить вкратце, чем замечательны лекции Тараса Павловича (для тех, кто был лишён удовольствия их слушать лично). Дело в том, что читает Т.П. (по крайней мере МатАн) как с листа, т.е. даже как с готового учебника. У него студент (по крайней мере бодрствующий в данный момент) всегда понимает, что именно в данный момент объясняется или доказывается. Это, конечно, дело совершенно нормальное, но, к сожалению, у многих других лекторов чаще бывает наоборот: сначала ведутся долгие туманные разговоры "непонятно о чём", а потом следует торжествующее: "Нами доказано(а)..." -- или, того хуже: "Полученный объект называется...". Может, конечно, я и не прав, но IMHO, намного понятнее, когда сперва формулируюся все нужные на данный момент определения и утверждений (с однозначной нумирацией тех и других!), а уж потом следуют необходимые доказательства и пояснения (со ссылкой на эту самую нумерацию!).

некто `stdout' на третьей странице* той же темы писал(а):

Лукашенко, на мой взгляд, один из _худших_ лекторов. Объясняю. Именно что он читает как с учебника - и в этом главный минус. Что, мы не можем сами почитать учебник? Теперь скажите - сколько раз он останавливался, чтобы объяснить на пальцах? Сколько раз он рисовал поясняющую картинку? Сколько раз он вообще постарался сделать курс интересным?
И не говорите, что это обязанность семинариста - только не по матану.

Да, конечно, в каждый момент времени ясно, что он доказывает лемму 4 к теореме 13. А в чем смысл этой теоремы, как раз и не ясно. Поэтому он идеально подходит для тех, кто в принципе не хочет ничего понимать,
а выучить, сдать и забыть. Я не говорю, что подобное желание со стороны студента предосудительно. Но со стороны лектора это плохо.

А вот наш великий преподаватель академик Арнольд, наверное, присоединился ко второму мнению - он вообще против "бурбакинизации" (именно так он обзывает то, что так не нравится peregoudovу). Сейчас лень из него цитаты искать, потом как-нибудь, да это и так все знают вроде.

_________________
* Там разные режимы отображения вроде бы были, в некоторых вообще страниц нет ...

peregoudov в сообщении #258339 писал(а):

Ну, вот мне интересно было бы понять, как этот зверь выглядит. Потому что мой собственный (отрицательный) опыт общения с математиками выглядел, как описал Sekhmet, только наоборот: к каждому произнесенному мной слову математики цеплялись, так что я просто ничего не смог им рассказать. И у меня сложилось впечатление, что претензии-то больше к форме, чем к сути, а до сути математики не могут добраться, потому что циклятся на форме.

Ну оно такое, что, разумеется, не разжевано до формализма языка предикатов, но, тем не менее, лектор готов разжевать по первому требованию (хотя этого обычно не происходит благодаря математической культуре слушателей - то есть они и сами могут, если понимают).

peregoudov в сообщении #258339 писал(а):

И проблема решаема при добросердечном отношении и искреннем интересе. Но вот математики почему-то так себя не ведут, требуя, чтобы с ними разговаривали исключительно "по-французски". Может быть, в этом корень проблемы?

А вот может быть. Вообще, жизнь была бы гораздо проще, если бы все имели друг к другу добросердечное отношение.

[peregoudov]

Профессор Снэйп в сообщении #258377 писал(а):

Гениально! Поди туда, не знаю куда, докажи то, не знаю что.

Нет, нет. Не "поди", а "пойдем". И не "не знаю куда", а "не знаешь куда" (я-то знаю ). Претензию можно было бы понять, если бы вас отправляли в самостоятельное плавание. Нет, вас проведут. Покажут фокусы, которые вы и должны разоблачить.

AD в сообщении #258403 писал(а):

О нет, это есть нечто ужасное для математиков, хотя, пожалуй, менее ужасное, чем моя подпись.

Да, подпись жжот. Я сам долго пытался вообразить этот объект. Но, согласитесь, ее ужас не в том, что она формально неверна, а именно в том, что противоречит штампам мышления. И тут будет уместно еще раз отослать читателя к постам PAV'а в соседней теме.

AD в сообщении #258403 писал(а):

Сейчас лень из него цитаты искать, потом как-нибудь, да это и так все знают вроде.

Конечно, не нужно объяснять мне, кто такой Арнольд и какие идеи он продвигает. Собственно, "по-французски" --- в тот же огород камешек. Бурбакизация мне не то чтобы не нравится, просто ее насаждение в математике, а тем более в физике, мне кажется ненужным. Правильное отношение к этому, на мой взгляд, должно быть примерно как к интегрированию дробно-рациональных функций вручную: понимать, как это делается, надо, но практически их вычисляют с помощью какого-нибудь матпакета. И нелишне будет еще раз напомнить, что все это мода относительно недавних лет, сама математика существенно старше. (Обсуждение лекторов почитал, но, по незнакомству с главными героями, немногое сумел из этого вынести.)

AD в сообщении #258403 писал(а):

и сами могут, если понимают).

Vicious circle detected. "Понятное объяснение --- это такое, что студенты <далее по тексту>". Так и не понял я, что такое "понятный" в математическом смысле . Только осталось у меня ощущение, что математики смешивают глаголы "знать" и "понимать". На мой взгляд, когда вам формулируют теорему без доказательства, пусть даже строго, вы не можете ее "понимать", вы ее можете только "знать", то есть вызубрить. Но вы, AD, вроде бы с этим не согласны. Вы считаете, что вызубрить приходится, когда формулировка нестрогая, а вот строгую можно (без доказательства!) каким-то непостижимым образом понять. Иначе говоря, вы видите тут какую-то разницу, которую никак не могу понять я. По мне, без доказательства и строгая формулировка не нужна, все равно ее можно только вызубрить ("знать"). А при наличии доказательства формулировка восстанавливается сама собой, вот тут-то можно проследить логическую цепочку от посылок в выводу и назвать это "пониманием". Причем эта цепочка не должна даже быть формально строгой, достаточно наводящих соображений, это уже, на мой взгляд, можно назвать "пониманием".

Ага, вот. Бурбакизация (раз уж вы опрометчиво упомянули этот ярлык), судя по всему, пытается подменить понимание знанием. То есть понимания как такового не требуется (вроде бы Арнольд что-то такое писал, это еще от Декарта идет). Нужно просто "знать" (вызубрить) формулировку теоремы, ее доказательство, правила "математической грамматики". Тогда, конечно, можно говорить о формулировке без доказательства. Это предложение, построенное по "правилам грамматики". Нестрогие формулировки, понятное дело, не годятся. Доказательство --- это тоже предложение, построенное по "правилам грамматики" и т. д.

И еще один момент. Если уж мы говорим о теоремах без доказательства (необязательно вовсе без доказательства, хотя бы о формулировке самой теоремы до доказательства), то можно ведь настрогать сколько угодно совершенно строгих, но ошибочных утверждений (или даже вовсе "очевидно" бессмысленных). Причем они в бурбакистике фигурируют как бы на равных с утверждениями истинными (а что, главное --- формальная строгость). Мне как-то раз довелось разговаривать с В. П. Масловым (которого у вас вроде математиком не считают). Разговор происходил так: Маслов расхаживал по кабинету и "формулировал теоремы", настолько очевидно неверные, что я тут же приводил контрпримеры. И так полтора часа. Но ведь это же чистая схоластика! Разве так вообще можно размышлять? То есть формулируя строгие, но, возможно, неверные утверждения? И, видимо, пытаясь их потом доказать? На мой взгляд, все происходит наоборот: сначала выстраивается логическая цепочка, а потом уже шлифуются ее концы (и некоторые звенья): условия теоремы и ее вывод.

ОК, мне кажется, что мы уже достаточно поговорили о строгости и формальности вообще. Давайте все-таки разберем хоть один конкретный пример. Вот с теоремой Нетер мне кажется, попроще, давайте начнем с него.

[ewert]

peregoudov в сообщении #258618 писал(а):

По мне, без доказательства и строгая формулировка не нужна, все равно ее можно только вызубрить ("знать"). А при наличии доказательства формулировка восстанавливается сама собой, вот тут-то можно проследить логическую цепочку от посылок в выводу и назвать это "пониманием". Причем эта цепочка не должна даже быть формально строгой, достаточно наводящих соображений, это уже, на мой взгляд, можно назвать "пониманием".

Вот Вам типичный контрпример -- теорема (формула Симпсона):

Если $f\in C^{(4)}([x_0;x_2])$, то $\displaystyle \int_{x_0}^{x_2}f(x)dx={h\over3}(f_0+4f_1+f_2)-{f^{(4)}(\xi)\over90}\cdot h^5$, где $\xi\in(x_0;x_2)$.

Формальное доказательство -- не то чтоб уж очень сложное, но достаточно занудное и требующее определённого трюкачества, лишь запудривающего мозги. А вот объяснить, почему это по идее должно быть верно -- очень легко на примере многочлена 4-й степени.

Ещё более характерный пример -- оценка погрешности численного дифференцирования:

Пусть $f\in C^{(m)}([x_0;x_n])$ и $L_n(x)$ -- интерполяционный многочлен для функции $f$, построенный по узлам $x_0,x_1,\ldots,x_n$. Если $x\in[x_0;x_n]$, то

$$\left|f^{(k)}(x)-L_n^{(k)}\right|\leqslant C\cdot\max|f^{m)}|\cdot h^{m-k},$$

где константа $C$ не зависит от $x$, $h$ и от $f$ -- при условии, что $k<m$, $k\leqslant n$ и $m\leqslant n+1$.

Утверждение замечательно тем, что все его элементы формально необходимы и имеют практическое значение. (Правда, условие $f\in C^{(m)}([x_0;x_n])$ можно чуток ослабить, но это практически не очень принципиально, зато загромоздило бы запись; по тем же причинам не стал возиться с обобщением на неравноотстоящие узлы). И вновь: формальное доказательство достаточно занудно, зато нетрудно показать на пальцах, по каким причинам это верно в принципе, откуда, в принципе, какое требование берётся и что означает на практике.

Так вот. Оценку остатка в формуле Симпсона я, насколько помню, ни разу в жизни никому строго не доказывал. Теорему о диффиренцировании -- фифти-фифти, под настроение: когда доказывал, а когда и ограничивался размахиванием руками.
Но формулировки -- всегда приводил точные. Иначе это не математика, а чёрная магия.

[AD]

peregoudov в сообщении #258618 писал(а):

ее ужас не в том, что она формально неверна, а именно в том, что противоречит штампам мышления.

Нет, там речь идет всего лишь о выборе общепринятых обозначений.

peregoudov в сообщении #258618 писал(а):

Вы считаете, что вызубрить приходится, когда формулировка нестрогая, а вот строгую можно (без доказательства!) каким-то непостижимым образом понять.

Не-не, я больше про вызубривание доказательств говорил. И тут ситуация такая: если какой-то переход в доказательстве не понятен (скажем, принят на веру, или заменен размахиванием руками), то как можно говорить, что я понял доказательство? А когда строгое доказательство предъявлено, то появляется шанс самостоятельно выжать из него суть, ключевые моменты, основную идею, и пр., и оставить у себя в голове нестрогое доказательство, которое, тем не менее, при необходимости в любой момент доводится до строгого. Но полагаться в этом на других, да еще и без возможности проверить - не труъ.

[peregoudov]

Господа, я, честно говоря, начинаю терять нить разговора (вот уже не понимаю, к чему привел примеры ewert ). Вроде бы на уровне размахивания руками все обсудили. В доказательствах, конечно, не должно быть серьезных пробелов (но тут опять трудно формализовать понятие "серьезный пробел"). Строгую формулировку, на мой взгляд, гораздо труднее перевести в "соображения на пальцах, почему так должно быть", чем обратно, из соображений на пальцах в строгую формулировку. В общем, если пытаться продолжать говорить предметно, надо рассматривать какие-то примеры из "физики на мехмате".

[ewert]

peregoudov в сообщении #259544 писал(а):

Строгую формулировку, на мой взгляд, гораздо труднее перевести в "соображения на пальцах, почему так должно быть", чем обратно, из соображений на пальцах в строгую формулировку.

Отвечу взаимностью -- я совершенно не понимаю, как можно перевести "соображения на пальцах в точную формулировку" и что вообще это может значить. Ладно, бог с ним, с Симпсоном, а вот поглядел бы я, как бы вы вторую теорему сформулировали "на пальцах" -- причём так, чтобы это имело хоть какой-нибудь содержательный смысл.

[worm2]

Ещё вот здесь можно посмотреть на доказательство некой теоремы, которое, несмотря на то, что "на пальцах", имеет ряд несомненных (даже для математиков ) достоинств.

[Dongara]

(Оффтоп)

А каково отношение математиков к книге Петра Вопенка "Альтернативная теория множеств: новый взгляд на бесконечность"?

Prorab:

Предупреждение за оффтопик!

[peregoudov]

ewert в сообщении #259554 писал(а):

а вот поглядел бы я, как бы вы вторую теорему сформулировали "на пальцах" -- причём так, чтобы это имело хоть какой-нибудь содержательный смысл.

Для этого нужно знать доказательство. А начал бы я с того, что расшифровал неравенства $k<m$, $k\leqslant n$ и $m\leqslant n+1$ и записал бы их на человеческом языке. Второе, например, означает, что бессмысленно вычислять пятую производную от многочлена третьей степени: она заведомо равна нулю и никакой информации об аппроксимируемой функции уже не несет. Третье --- что многочлен $m$-ой степени (частный случай функции, $m$-ую производную которой еще стоит вычислять) требует для своей аппроксимации по меньшей мере $m+1$ точек. В таком вот духе. Мне кажется, если так вот объяснить смысл условий на пальцах, то легче воспроизвести выражающие их точные неравенства, чем заучивать их непосредственно.

[ewert]

peregoudov в сообщении #261623 писал(а):

Мне кажется, если так вот объяснить смысл условий на пальцах, то легче воспроизвести выражающие их точные неравенства, чем заучивать их непосредственно.

Естественно. Но -- только после аккуратной формулировки. Иначе все эти замечательные идеи размазываются в манную кашу.

Кстати, третье неравенство Вы неправильно интерпретировали. Его смысл в другом: при достаточной гладкости её дальнейшее повышение не увеличивает точность, но уменьшение гладкости ниже определённого предела приводит к снижению точности. Факт вполне практичный.

[Dongara]

Dongara в сообщении #261478 писал(а):

(Оффтоп)

А каково отношение математиков к книге Петра Вопенка "Альтернативная теория множеств: новый взгляд на бесконечность"?

Prorab:

Предупреждение за оффтопик!

Тогда выскажусь несколько иначе: физика - это самый прямой путь стыковки математики и реальности.