ВТФ by Виктор Сорокин

[Сорокин Виктор]

Сорокин Виктор писал(а):

Немного поразмыслив, я пришел к выводу, что достаточно умножать равенство Ферма на цифры в степени $n$. Тогда каждая вторая цифра есть вторая цифра степени и ЗА ПРЕДЕЛАМИ ЭТОГО ЗНАЧЕНИЯ коррелирующая добавка равна нулю.
Теперь после суммирования $n-1$ равенств $a^n+b^n-c^n=0$ третья цифра результата в левой части есть $(n-1)/2$, а не ноль. Вот, как будто, и всё. Дело стоит за доказательством второго случая – с одним из оснований кратным $n$.

+++++++++++++++++++++++
Вчера я нашел, что, если бы доказательство для первого случая оказалось верным, второй доказывается совершенно аналогично, лишь с небольшой предварительной подготовкой. Это побудило меня приложить усилия для устранения некоторых неясных моментов в первом случае, что мне, надеюсь, и удалось. Вот как получается доказательство первого случая в кратком изложении.

1° Преобразуем последнюю цифру числа $a$ в равенстве $a^n=c^n-b^n$ в 1 с помощью умножения равенства на некоторую цифру в степени $nn$ (хотя, думаю, будет достаточно и степени $n$).
Теперь и последние ($a_1=c_1-b_1$), и предпоследние ($a_2=c_2-b_2$) цифры составляют равенства.
2° Умножим последнее равенство Ферма на каждую из $n-1$ позитивных цифр в степени $n$. Теперь во всех $n-1$ равенствах последние цифры у каждого из трех оснований ($a, b, c$) будут составлять полный комплект из $n-1$ разных позитивных цифр (в базе с простым n).
Представив каждое из чисел в виде суммы последней цифры ($a_1$ и т.д.) и остальной части ($a^*$ с последней цифрой $a^*_1$ и т.д.) и затем разложив биномы Ньютона ($(a_1+a^*)^n$ и т.д.), мы видим, что в каждом из равенств
$(a_1+na^*)^n+(b_1+nb^*)^n-(c_1+nc^*)^n =(a_1$$^n+b_1$$^n-c_1$$^n)+n^2(a_1$$^{n-1}a^*+b_1$$^{n-1}b^*-c_1$$^{n-1}a^*)+n^3P$
последняя цифра у суммы вторых членов (второй суммы) равна нулю, т.к. последние цифры у чисел $a_1$$^{n-1}$, $b_1$$^{n-1}$ и $c_1$$^{n-1}$ есть единицы (согласно малой теореме Ферма), а сумма последних цифр $a^*_1+b^*_1-c^*_1$ равна нулю (см. 1°).
3° Сложим все $n-1$ равенств $a^n+b^n-c^n=0$ и вычислим трехзначное окончание левой части.
Так как последняя цифра у общей суммы вторых членов равна нулю (см. 2°), то третья цифра левой части равенства определяется только трехзначным окончанием суммы первых сумм ($a_1$$^n+b_1$$^n-c_1$$^n$). А так как множества трехзначных окончаний для каждой буквы СОВПАДАЮТ, то искомая цифра будет трезначным окончанием суммы всех цифр от 1 до $n-1$, взятых в степени $n$. Но третья цифра у этой суммы равна $(n-1)/2$, так как в сумме $g^n$ и $(n-g)^n$ для каждой цифры $g$ третья цифра равна 1, а число подобных пар равно $(n-1)/2$.
Таким образом, равенство $a^n+b^n-c^n=0$ по третьей от конца цифре не выполняется.

(Во втором случае противоречие почти аналогичным образом обнаруживается по $kn+2$-цифре, где $k$ – число нулей в числе с нулевым окончанием.)

[Сорокин Виктор]

Сорокин Виктор писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Немного поразмыслив, я пришел к выводу, что достаточно умножать равенство Ферма на цифры в степени $n$. Тогда каждая вторая цифра есть вторая цифра степени и ЗА ПРЕДЕЛАМИ ЭТОГО ЗНАЧЕНИЯ коррелирующая добавка равна нулю.
Теперь после суммирования $n-1$ равенств $a^n+b^n-c^n=0$ третья цифра результата в левой части есть $(n-1)/2$, а не ноль.

+++++++++++++++++++++++
Опять, как и когда-то, в течение продолжительного времени никто из читателей не высказал своего мнения на примитивнейший текст – то ли потому, что они в затруднении с ответом, то ли потому, что в моем тексте содержится очевидная для всех, кроме меня, ошибка. И потому вот моя дополнительная оценка доказательства первого случая.
Вычисление третьей цифры труда не составляет. Ловушка может находиться только при вычислении второй цифры числа $a+b-c$ (и, следовательно, третьей цифры числа $n^2(a_1^{n-1}a^*+b_1^{n-1}a^*-c_1^{n-1}a^*)$), оканчивающегося на два нуля и в котором число $b$ оканчивается на 01. И здесь, как ни крути, вторая цифра в сумме равна НУЛЮ. Поэтому третья цифра в левой части суммарного равенства Ферма есть $(n-1)/2$, а НЕ ноль.

Со вторым случаем дело обстоит сложнее. Пока легко доказывается лишь подслучай, когда при данном $n$ существуют три разные положительные цифры, у которых сумма степеней оканчивается на ноль. А вот как быть с другими подслучаями, мне пока не ясно.
Поэтому приглашаю напарников.
Однако доказательство первого случая убедительно говорит о том, что элементарное доказательство второго случае существует.

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Опять, как и когда-то, в течение продолжительного времени никто из читателей не высказал своего мнения на примитивнейший текст – то ли потому, что они в затруднении с ответом, то ли потому, что в моем тексте содержится очевидная для всех, кроме меня, ошибка.

Причин, я думаю, две. Первая состоит в том, что никто не может понять, что Вы делаете, а вторая - в том, что уже всем это наскучило.

Вам же много раз советовали: проверяйте на численных примерах. Вот и проверьте.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Опять, как и когда-то, в течение продолжительного времени никто из читателей не высказал своего мнения на примитивнейший текст – то ли потому, что они в затруднении с ответом, то ли потому, что в моем тексте содержится очевидная для всех, кроме меня, ошибка.

Причин, я думаю, две. Первая состоит в том, что никто не может понять, что Вы делаете, а вторая - в том, что уже всем это наскучило.

Вам же много раз советовали: проверяйте на численных примерах. Вот и проверьте.

++++++++++++++

Числовые примеры? – Пожалуйста!
$n=3$, $b=1…$.
Начальное равенство и умножение на $1^3$:
$1…^3+1…^3=2…^3$.
Умножение на $2^3$:
$2…^3+2…^3=1…^3$.
Сложение равенств:
(1…^3+2…^3)+(1…^3+2…^3)=(2…^3+1…^3)$,
где трехзначное окончание для каждого числа равно:
$1…^3+2…^3=001$, т.е. $(n-1)/2$, а НЕ ноль.

$n=5$, $b=1…$.
Начальное равенство (например):
$3…^5+1…^5=4…^5$.
После умножения на $1^5, 2^5, 3^5, 4^5, $
трехзначное окончание для каждого числа будет:
$1^5+(5-1)^5+2^5, (5-2)^5=001+001=002$, т.е. $(n-1)/2$, а НЕ ноль.

И т.д.

(Полагаю, что проверять на числах малую теорему Ферма не требуется.)

Конечно, мои поиски и ошибки надоели, но ведь это ПОЛДЕЛА – доказана невозможность одного (а частично и второго) из двух равенств Ферма!

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

где трехзначное окончание для каждого числа равно:
$1…^3+2…^3=001$, т.е. $(n-1)/2$, а НЕ ноль.

Из Ваших вычислений этого не видно.

Возьмите числа из моего примера и проверьте.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

где трехзначное окончание для каждого числа равно:
$1…^3+2…^3=001$, т.е. $(n-1)/2$, а НЕ ноль.

Из Ваших вычислений этого не видно.

Возьмите числа из моего примера и проверьте.

(Прежде всего, по недоразумению многоточия оказались ЗА последней цифрой. Следует поменять их местами.)

Почему же? В 10-тичной системе $…1^3+…2^3=...9$, или ...100 в троичной.
И иначе: $…1^3+…(3-1)^3=...100$.

Конечно, Ваш числовой пример в семиричной системе замечателен. Но для проверки моего доказательства достаточно оставить в числах лишь последние цифры.
И опять: $…1^7+…2^7+…3^7+…4^7+…5^7+…6^7=...300$.
Ну а тот факт, что при умножении ненулевой цифры на полный набор цифр от 1 до $n-1$, последние цифры в произведениях также бдут составлять ПОЛНЫЙ набор позитивных цифр, хорошо известен. Вот, например, последние цифры при умножении цифры 3 на 1, 2, 3, 4, 5, 6:
3х1=3, 3х2=6, 3х3=...2, 3х4=...5, 3х5=...1, 3х6=...4. Как видим, последние цифры составляют полный набор.

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Конечно, Ваш числовой пример в семиричной системе замечателен. Но для проверки моего доказательства достаточно оставить в числах лишь последние цифры.
И опять: $…1^7+…2^7+…3^7+…4^7+…5^7+…6^7=...300$.

Этот?

Недостаточно. Потому что (в семиричной системе счисления)

$$\dots 01^7+\dots 02^7+\dots 03^7+\dots 04^7+\dots 05^7+\dots 06^7=\dots 300$$

, а

$$\dots 11^7+\dots 12^7+\dots 13^7+\dots 14^7+\dots 15^7+\dots 16^7=\dots 200$$

.

А у Вас ещё вдобавок вторые цифры не обязаны быть одинаковыми.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Конечно, Ваш числовой пример в семиричной системе замечателен. Но для проверки моего доказательства достаточно оставить в числах лишь последние цифры.
И опять: $…1^7+…2^7+…3^7+…4^7+…5^7+…6^7=...300$.

Этот?

Недостаточно. Потому что (в семиричной системе счисления)

$$\dots 01^7+\dots 02^7+\dots 03^7+\dots 04^7+\dots 05^7+\dots 06^7=\dots 300$$

, а

$$\dots 11^7+\dots 12^7+\dots 13^7+\dots 14^7+\dots 15^7+\dots 16^7=\dots 200$$

.

А у Вас ещё вдобавок вторые цифры не обязаны быть одинаковыми.

Достаточно! Потому что сумма вторых цифр у чисел-оснований равна нулю (это свойство всех уравнений Ферма) и в общей сумме $n-1$ равенств после разложения всех биномов Ньютона [вида $(a_1+na_2+n^2P)^n$] эта сумма [чисел вида $n^2a_2(a_1)^{n-1}$], на третью цифру итогового равенства НИКАК не влияет, так как после умножения каждой из этих цифр [вида $a_2$] на 1 она (сумма)остается равной НУЛЮ.

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Достаточно! Потому что сумма вторых цифр у чисел-оснований равна нулю (это свойство всех уравнений Ферма) и в общей сумме $n-1$ равенств после разложения всех биномов Ньютона [вида $(a_1+na_2+n^2P)^n$] эта сумма [чисел вида $n^2a_2(a_1)^{n-1}$], на третью цифру итогового равенства НИКАК не влияет, так как после умножения каждой из этих цифр [вида $a_2$] на 1 она (сумма)остается равной НУЛЮ.

Я всё равно не понимаю, что Вы делаете. Похоже, что речь идёт об умножении равенства $a^n+b^n=c^n$ на $\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^n$. Я Вам гарантирую, что, если Вы в моём примере для седьмой степени аккуратно проделаете все вычисления, то все цифры, которые должны быть равны, и на самом деле будут равны. А неравенство у Вас возникает только из-за того, что Вы, вместо того, чтобы подробно и аккуратно сделать вычисления, по своему обычаю пускаете своё воображение в свободный полёт, откуда и притаскиваете всякие глупости. У меня нет ни малейшего желания отыскивать Вашу арифметическую ошибку, а потом две недели убеждать Вас, что она действительно есть. Числа для проверки у Вас есть, проверяйте сами. В конце концов, возьмите пакет компьютерной математики (например, Mathematica) и с его помощью всё проверьте. Пока не проверите, даже и не заикайтесь о доказательстве.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Я всё равно не понимаю, что Вы делаете. Похоже, что речь идёт об умножении равенства $a^n+b^n=c^n$ на $\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^n$.

А вот это НЕ ОДНО И ТО ЖЕ. Это будет одно и то же только в случае перемножения целых чисел, а не их окончаний (возможно, именно это и удивило П.Ферма). То есть это будет одно и то же в случае существования целочисленного решения уравнения Ферма первого вида.
О проверке на числовом примере. Я еще раз повторяю, что нет никакой необходимости в проверке ни бинома Ньютона для простой степени, ни малой теоремы Ферма, ни леммы о неповторимости последних цифр в таблице умножения ненулевой цифры на разные позитивные цифры, - это все равно, что проверять на числах формулу 1а=а. Неужели Вы допускаете, что третьи и последующие цифры основания влияют на третью цифру простой степени? Или полагаете, что сумма $n-1$ нулей (это сумма третьих цифр В КАЖДОМ из $n-1$ эквивалентных уравнений, или вторая цифра в числе $a+b-c$) может дать ненулевой результат? Полноте!..
Пора бы признать и отправить в архив первый случай уравнения Ферма и перейти к исследованию второго случая. И интересная гипотеза здесь состоит в следующем: из равенства Ферма (второй случай) как будто следует, что для данного $n$ существует равенство $a^*^n+b^*^n-c^*^n=0$ по вторым числам для для некоторых цифр $a^*, b^*, c^*$. И тогда невозможность второго случая доказывается так же, как и первого.

Someone писал(а):

Я Вам гарантирую, что, если Вы в моём примере для седьмой степени аккуратно проделаете все вычисления, то все цифры, которые должны быть равны, и на самом деле будут равны.

А я гарантирую, что в сумме $n-1$ эквивалентных уравнений (с нулем в правой части) третья цифра левой части не равна нулю.
Пусть нас рассудят читатели.

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Someone писал(а):

Я всё равно не понимаю, что Вы делаете. Похоже, что речь идёт об умножении равенства $a^n+b^n=c^n$ на $\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^n$.

А вот это НЕ ОДНО И ТО ЖЕ. Это будет одно и то же только в случае перемножения целых чисел, а не их окончаний (возможно, именно это и удивило П.Ферма). То есть это будет одно и то же в случае существования целочисленного решения уравнения Ферма первого вида.

Абсолютно одно и то же. И совершенно независимо ни от какой теоремы Ферма.

Сорокин Виктор писал(а):

О проверке на числовом примере. Я еще раз повторяю, что нет никакой необходимости в проверке ни бинома Ньютона для простой степени, ни малой теоремы Ферма, ни леммы о неповторимости последних цифр в таблице умножения ненулевой цифры на разные позитивные цифры, - это все равно, что проверять на числах формулу 1а=а.

Разумеется, проверять надо не равенство $1\cdot a=a$, а Ваши рассуждения. В своё время я Вам показывал, как это делается.

Сорокин Виктор писал(а):

Неужели Вы допускаете, что третьи и последующие цифры основания влияют на третью цифру простой степени?

Третьи, может быть, и не влияют (зависит от конкретных вычислений), а вот вторые влияют совершенно точно. Я Вам это на числовых примерах показывал.

Сорокин Виктор писал(а):

Или полагаете, что сумма $n-1$ нулей (это сумма третьих цифр В КАЖДОМ из $n-1$ эквивалентных уравнений, или вторая цифра в числе $a+b-c$) может дать ненулевой результат? Полноте!..

Вот и проверьте, действительно ли там нули и действительно ли сумма равна нулю.

Сорокин Виктор писал(а):

Пора бы признать и отправить в архив первый случай уравнения Ферма и перейти к исследованию второго случая.

Насколько я помню, Вам удалось доказать первый случай только для третьей степени.

Сорокин Виктор писал(а):

Someone писал(а):

Я Вам гарантирую, что, если Вы в моём примере для седьмой степени аккуратно проделаете все вычисления, то все цифры, которые должны быть равны, и на самом деле будут равны.

А я гарантирую, что в сумме $n-1$ эквивалентных уравнений (с нулем в правой части) третья цифра левой части не равна нулю.
Пусть нас рассудят читатели.

Не сваливайте на читателей свою работу. Взялись доказывать - проверяйте сами. Я это за Вас делать устал.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Или полагаете, что сумма $n-1$ нулей (это сумма третьих цифр В КАЖДОМ из $n-1$ эквивалентных уравнений, или вторая цифра в числе $a+b-c$) может дать ненулевой результат? Полноте!..

Вот и проверьте, действительно ли там нули и действительно ли сумма равна нулю.

Имеет смысл ответить только на этот пункт.
Итак, мы имеем сумму трех чисел,
а) из которых первое оканчивается на 01,
б) из остальных двух ни одно не оканчивается на 0,
в) и сумма оканчивается на два нуля, т.е. на 00.
Например:
...01+...34-...35=...00.
Могу поспорить с кем угодно, что сумма вторых цифр, а именно 0+3-3, равна НУЛЮ. И мой компьютер дает тождественный результат: НОЛЬ. А если Ваш дает иной результат, то...
Сумма вторых цифр может быть иной только в случае, если сумма первых цифр будет равна основанию счисления. Но максимум суммы первых двух цифр равен основанию, а вот третье слагаемое нулем не является. И потому сумма последних цифр в любом случае будет меньше основания, т.е. нулём.
Думаю, однако, что для разрешения поставленной Вами проблемы нет нужды обращаться к компьютеру - задача о сумме предпоследних цифр относится к первоначальным азам аирифметики.

[cepesh]

Я вам скажу честно, Виктор, не как админ, а как простой человек, давно следящий за происходящим, следующее:
Вы со своими потугами доказательства теоремы Ферма уже давно никому не интересны. Кроме Someone, который нашел у вас несметное число ошибок, причем последних оказалось больше, чем попыток доказательства. Так вот никто, кроме Someone сейчас не следит за происходящим, ибо людям жалко тратить время на такого генератора ошибок, который не уважает стараний единственного оппонента.
Бессмысленно что-то отдавать на суд читателям, ибо он -- единственный Ваш читатель.

Когда закончится диалог в стиле:
-- У вас вон там ошибка, посмотрите мой комментарий и подставьте числа
-- Это я комментировать не буду, а вот это, пожалуй, прокомментирую: Совершенно понятно, что 2*1=2, отсюда следует великая лемма, которая является завершающим этапом в великолепном элементарном доказательстве теоремы ферма
-- Ладно, вот смотрите, я за вас все подставил и посчитал, вот ошибка здесь...
-- Ой, это я чуть-чуть ошибся, я имел в виду, что 4*1=4, конечно же. Отсюда все и видно. А вообще я бьюсь об заклад, что 2*2=4!!! Это еще раз доказывает мою правоту.

Вас не смущает тот факт, что вы писали здесь о том, что закончили попытки доказательства? У Вас мания? Может, нужна консультация медика? Пожалейте Someone, у него и без Вас полно забот. Время, потраченное на Вас, он мог посвятить зарабатыванию денег или, например, помогая более вменяемым участникам форума.

Еще раз напишу, что это ИМХО человека, но не админа форума. Так сказать, лирическое отступление...

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Someone писал(а):

Я всё равно не понимаю, что Вы делаете. Похоже, что речь идёт об умножении равенства $a^n+b^n=c^n$ на $\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^n$.

А вот это НЕ ОДНО И ТО ЖЕ. Это будет одно и то же только в случае перемножения целых чисел, а не их окончаний (возможно, именно это и удивило П.Ферма). То есть это будет одно и то же в случае существования целочисленного решения уравнения Ферма первого вида.

Абсолютно одно и то же. И совершенно независимо ни от какой теоремы Ферма.

Кажется, Вы правы.
Я исчерпал все идеи.
На этом можно мою тему закрыть.
Благодарю моих собеседников за обсуждение.
Счастливо оставаться.

[cepesh]

Аминь.
Занавес.