разностная схема

[g-a-m-m-a]

Дана следующая разностная схема $u_{m+1}=3u_m-2u_{m-1},\,u_0=1,\,u_1=3.$ я составил характеристическое уравнение для этой схемы, $\lambda=2$ его корень. Как дальше получить, что $u_m=2^{m+1}-1?$

[ewert]

Непонятно, почему это "схема", но ладно; наверное, кому-то так нравится. Второй-то корень -- чему равен? и как выглядит (для начала) общее решение этого уравнения?...

[Shtirlic]

g-a-m-m-a
Не знаю, что это за схемы и что за корни у нее. Но она не плохо решается через понежение порядка. То есть $u_{m+1}=3u_m-2u_{m-1}->u_{m+1}=7u_m-6u_{m-1}$, и так далее понижаем до $u_1 и u_0$. Если вместо коэффициентов подставить буквы и произвести одно понижение, можно понять вид коэффициентов, а дальше все просто.

[g-a-m-m-a]

Shtirlic в сообщении #258893 писал(а):

$u_{m+1}=3u_m-2u_{m-1}->u_{m+1}=7u_m-6u_{m-1}$

это как?

[ewert]

Shtirlic в сообщении #258893 писал(а):

Но она не плохо решается через понежение порядка. То есть $u_{m+1}=3u_m-2u_{m-1}->u_{m+1}=7u_m-6u_{m-1}$, и так далее понижаем до $u_1 и u_0$.

Плохо она так решается (тем более что Вы на единичку в индексах сбились), и никто так не решает. Попробуйте-ка решить так уравнение $u_{m+1}=u_m+u_{m-1}$ с начальными условиями $u_0=1,\ u_1=1$.

[Shtirlic]

g-a-m-m-a
Это следствие.ewert
В индексах действительно ошибся, там на один меньше. Решают не решают про это не знаю. Я привел способ который первый пришел в голову, с этой темой не знаком, но я так ее решил и получил нужный ответ.

[ewert]

Shtirlic в сообщении #258911 писал(а):

но я так ее решил и получил нужный ответ.

Это потому, что Вы этот ответ знали. Но тогда и изобретать ничего не нужно -- просто подставил и проверил. А как такой ответ вывести?

[Shtirlic]

Так я его вывел а не значения подставил. И не зная вывел бы. Могу предоставить решение. А в вашем примере действительно такое не проходит, соотношение для коэффициентов приводит к исходной последовательности.

[ewert]

А в моём примере есть хорошо известная формула типа

$$u_m={\sqrt5+1\over2\sqrt5}\cdot\left({1+\sqrt5\over2}\right)^m+{\sqrt5-1\over2\sqrt5}\cdot\left({1-\sqrt5\over2}\right)^m.$$

Вот.

[Shtirlic]

ewert
Это хорошо, когда знаешь такие формулы. Но я, как уже говорил, к сожалению, не знаком с данной темой, поэтому пользовался теми знаниями что есть. А в общем виде можно формулу???

-- Пт ноя 06, 2009 21:07:33 --

ewert
Это хорошо, когда знаешь такие формулы. Но я, как уже говорил, к сожалению, не знаком с данной темой, поэтому пользовался теми знаниями что есть. А в общем виде можно формулу???

-- Пт ноя 06, 2009 21:14:23 --

Хотя и в примере темы, последовательность для первого коэфициента совпала с искомой последовательностью.

[ewert]

Shtirlic в сообщении #258936 писал(а):

А в общем виде можно формулу???

Нельзя, тем более что никаких таких формул я не знаю, я их просто вывожу по мере необходимости. Можно только общую схему, она проста.

1). Составляем характеристическое уравнение (подставляя в исходное геометрическую прогрессию с неизвестным знаменателем) и находим его корни.

2). Выписываем по найденным корням общее решение исходного уравнения (пользуясь его линейностью и однородностью).

3). Подгоняем произвольные постоянные в общем решении под начальные условия. Всё.

Ну и там есть ещё плюс к этому стандартные нюансы, связанные с тем, что корни могут оказаться комплексными или кратными.

[ShMaxG]

g-a-m-m-a
Для решения рекуррентных уравнений я бы советовал почитать следующее: http://www.cs.uiuc.edu/class/fa06/cs473/lectures/x00-recurrences.pdf. Написано на английском, но довольно просто во всем разобраться. Там написаны общие методы решения таких уравнений как ваше и по-сложнее.