2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 разностная схема
Сообщение06.11.2009, 11:03 
Дана следующая разностная схема $u_{m+1}=3u_m-2u_{m-1},\,u_0=1,\,u_1=3.$ я составил характеристическое уравнение для этой схемы, $\lambda=2$ его корень. Как дальше получить, что $u_m=2^{m+1}-1?$

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 11:18 
Непонятно, почему это "схема", но ладно; наверное, кому-то так нравится. Второй-то корень -- чему равен? и как выглядит (для начала) общее решение этого уравнения?...

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 11:56 
g-a-m-m-a
Не знаю, что это за схемы и что за корни у нее. Но она не плохо решается через понежение порядка. То есть $u_{m+1}=3u_m-2u_{m-1}->u_{m+1}=7u_m-6u_{m-1}$, и так далее понижаем до $u_1 и u_0$. Если вместо коэффициентов подставить буквы и произвести одно понижение, можно понять вид коэффициентов, а дальше все просто.

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 12:00 
Shtirlic в сообщении #258893 писал(а):
$u_{m+1}=3u_m-2u_{m-1}->u_{m+1}=7u_m-6u_{m-1}$

это как?

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 12:07 
Shtirlic в сообщении #258893 писал(а):
Но она не плохо решается через понежение порядка. То есть $u_{m+1}=3u_m-2u_{m-1}->u_{m+1}=7u_m-6u_{m-1}$, и так далее понижаем до $u_1 и u_0$.

Плохо она так решается (тем более что Вы на единичку в индексах сбились), и никто так не решает. Попробуйте-ка решить так уравнение $u_{m+1}=u_m+u_{m-1}$ с начальными условиями $u_0=1,\ u_1=1$.

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 12:38 
g-a-m-m-a
Это следствие.ewert
В индексах действительно ошибся, там на один меньше. Решают не решают про это не знаю. Я привел способ который первый пришел в голову, с этой темой не знаком, но я так ее решил и получил нужный ответ.

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 12:42 
Shtirlic в сообщении #258911 писал(а):
но я так ее решил и получил нужный ответ.

Это потому, что Вы этот ответ знали. Но тогда и изобретать ничего не нужно -- просто подставил и проверил. А как такой ответ вывести?

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 12:56 
Так я его вывел а не значения подставил. И не зная вывел бы. Могу предоставить решение. А в вашем примере действительно такое не проходит, соотношение для коэффициентов приводит к исходной последовательности.

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 13:02 
А в моём примере есть хорошо известная формула типа$$u_m={\sqrt5+1\over2\sqrt5}\cdot\left({1+\sqrt5\over2}\right)^m+{\sqrt5-1\over2\sqrt5}\cdot\left({1-\sqrt5\over2}\right)^m.$$Вот.

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 13:07 
ewert
Это хорошо, когда знаешь такие формулы. :D Но я, как уже говорил, к сожалению, не знаком с данной темой, поэтому пользовался теми знаниями что есть. А в общем виде можно формулу??? :)

-- Пт ноя 06, 2009 21:07:33 --

ewert
Это хорошо, когда знаешь такие формулы. :D Но я, как уже говорил, к сожалению, не знаком с данной темой, поэтому пользовался теми знаниями что есть. А в общем виде можно формулу??? :)

-- Пт ноя 06, 2009 21:14:23 --

Хотя и в примере темы, последовательность для первого коэфициента совпала с искомой последовательностью.

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 13:15 
Shtirlic в сообщении #258936 писал(а):
А в общем виде можно формулу???

Нельзя, тем более что никаких таких формул я не знаю, я их просто вывожу по мере необходимости. Можно только общую схему, она проста.

1). Составляем характеристическое уравнение (подставляя в исходное геометрическую прогрессию с неизвестным знаменателем) и находим его корни.

2). Выписываем по найденным корням общее решение исходного уравнения (пользуясь его линейностью и однородностью).

3). Подгоняем произвольные постоянные в общем решении под начальные условия. Всё.

Ну и там есть ещё плюс к этому стандартные нюансы, связанные с тем, что корни могут оказаться комплексными или кратными.

 
 
 
 Re: разностная схема
Сообщение06.11.2009, 13:25 
Аватара пользователя
g-a-m-m-a
Для решения рекуррентных уравнений я бы советовал почитать следующее: http://www.cs.uiuc.edu/class/fa06/cs473/lectures/x00-recurrences.pdf. Написано на английском, но довольно просто во всем разобраться. Там написаны общие методы решения таких уравнений как ваше и по-сложнее.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group