Twin prime

[juna]

Нашел следующее утверждение. Однако не вижу, как его доказать:
Докажите, что близнецов бесконечно много, если и только если существует бесконечно много чисел, которые не могут быть записаны в какой-либо из форм:
$6mn+m+n$
$6mn+m-n$
$6mn-m+n$
$6mn-m-n$
где $m$,$n$ - натуральные (нулю не равны).

[AndAll]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Нашел следующее утверждение. Однако не вижу, как его доказать:
Докажите, что близнецов бесконечно много, если и только если существует бесконечно много чисел, которые не могут быть записаны в какой-либо из форм:
$6mn+m+n$
$6mn+m-n$
$6mn-m+n$
$6mn-m-n$

Именно с этого начиналось моё исследование проблемы близнецов.
Вторая и третья формы эквивалентны и представляют (при некоторых условиях) все составные числа вида $6n - 1$, первая и четвертая - все составные вида $6n + 1$, но эти формы не эквивалентны.
Умножив вторую (третью) форму на 6 и отняв единицу получим число составное.
То же самое с первой и четвертой, но единицу надо прибавить.
Эти условия необходимы, но не достаточны.
Отсюда вытекает существование бесконечного множества простых как одного вида, так и другого.

[juna]

Меня пока интересует только доказательство самого этого утверждения, а не его следствия. В первоисточнике утверждается, что его выдвинул (а может и доказал) польский математик С. Голомб.

[AndAll]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Меня пока интересует только доказательство самого этого утверждения, а не его следствия. В первоисточнике утверждается, что его выдвинул (а может и доказал) польский математик С. Голомб.

Не знаю как С. Голомб, но у меня такое доказательство есть. Точнее, у меня есть доказательство бесконечного числа таких чисел.
Несколько неправильно прочел Ваше сообщение. Это условие является, конечно, и достаточным.
Если число $a$ не представимо ни одной из этих форм, то $6a \pm 1$ оба простые.

[juna]

AndAll писал(а):

Если число $a$ не представимо ни одной из этих форм, то $6a \pm 1$ оба простые.

Экспериментально это понятно: $a=1,2,3,7$ - не представимы этими четырьмя формами. Для них имеем: $6*1\pm1=7(5)$, $6*2\pm1=13(11)$, $6*3\pm1=19(17)$, $6*7\pm1=43(41)$. Но доказать то это как? Ясно, что любое простое представимо в виде $6a\pm1$, но почему ограничениями на $a$ должны быть именно эти формы?

[Руст]

Умножай на 6 эти формы и добавь или отними 1. Если они не разлагаются то не существует одной формы. Всё элементарно.

[juna]

Понял, что торможу.
Итак, любое простое имеет форму $6a\pm1$. Значит имеются только следующие формы составных:
$(6m+1)(6n+1)=6(6mn+m+n)+1$
$(6m+1)(6n-1)=6(6mn+m-n)-1$
$(6m-1)(6n-1)=6(6mn-m-n)+1$
Ясно, что если $a$ не представимо ни одной из этих форм, не делится на 2, 3, то $6a\pm1$ - простые.
Кстати, по аналогии если число $a$ не представимо ни в одной из форм: $4mn+m+n$, $4mn+n-m$, $4mn-n-m$ не делится на 2, то числа $4a\pm1$ тоже простые, и этими двумя видами форм описываются все близнецы.

[vbn]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Понял, что торможу.
Итак, любое простое имеет форму $6a\pm1$. Значит имеются только следующие формы составных:
$(6m+1)(6n+1)=6(6mn+m+n)+1$
$(6m+1)(6n-1)=6(6mn+m-n)-1$
$(6m-1)(6n-1)=6(6mn-m-n)+1$
Ясно, что если $a$ не представимо ни одной из этих форм, то $6a\pm1$ - простые.

А вот число 68, например, не имеет такой формы.

[juna]

Вы меня опередили (опять) . Я дополнил предыдущий пост. Любое простое представимо $6a\pm1$, кроме 2, 3.

[hurtsy]

juna в сообщении #25891 писал(а):

Любое простое представимо $6a\pm1$, кроме 2, 3.

Такая задача есть в сборнике задач для поступающих в высшие учебные заведения. В.А Вышенский,М.О.Перестюк,А.М.Самойленко Конкурсни задачи з математики. (язык украинский) 2001 Киев, Выща школа. С уважением,

[juna]

Это настолько тривиальная вещь, что даже сложно назвать это упражнением. Поэтому не понял смысл вашего замечания.

[hurtsy]

juna в сообщении #285014 писал(а):

Поэтому не понял смысл вашего замечания.

Прошу прощения. Я хотел проверить, есть ли кто "живой", в этой прекрасной теме. 4 года без сообщений. Теперь буду собираться с духом для достойного поста(как получится). С уважением,