Решение уравнений четвертой степени

[Mitrius_Math]

VAL в сообщении #257402 писал(а):

Если можно, то тогда, конечно незачем! Но только, если можно. А можно редко. Выше я уже писал, когда.

VAL, я знаю эту теорему и понимаю, что редко.

[AKM]

ewert в сообщении #257383 писал(а):

И Вы решаете их именно по карданам-феррарям?!... "Не верю!" $\copyright$

Ну, может, профессионализму не хватает, но вот, например, решив мартовское уравнение

$$ x^3\tan\dfrac{\sigma}2+ 3x\tan\dfrac{\sigma}2+1{-}\tan^2\dfrac{\sigma}2=0$$

именно этими методами, увидел-понял, что при подстановке $w=\sqrt[3]{\tan\dfrac{\sigma}2}$ получится

$$ \left(wx +1{-}w^2\right)% \left[w^2x^2+w(w^2-1)x+ w^4{+}w^2{+}1 \right]=0.$$

В таком виде и представил решение в соотв. статейке. Повторю, я в этой Вашей математике не особо, и может спец бы и так допёр. А я сделал вид, что я такой уммный.

Mitrius_Math в сообщении #257398 писал(а):

Только непонятно, зачем мучаться, ...

Ну, может пройти процедуру на примере уравнения, легко решаемого по-другому, будет полезно. Сам не попробовал.

[VAL]

Mitrius_Math в сообщении #257404 писал(а):

VAL в сообщении #257402 писал(а):

Если можно, то тогда, конечно незачем! Но только, если можно. А можно редко. Выше я уже писал, когда.

VAL, я знаю эту теорему и понимаю, что редко.

То есть, я зря вас заподозрил?
Ну извините!

[math_lover]

За красный цвет извините...

А можно это уравнение как нибудь разложить на множители? (Способом группировки, вынесения общего множителя за скобки). Я думаю что можно...
С комплесными числами я ещё не знаком, но прейдется знакомиться, если другим удовлетворительным способом (для меня) не получится решить...
Деление многочлена на многочлен в этом случае для меня не удовлетворительно, потому что мне не нужно получить корни этого уравнения во что бы то ни стало - ведь я их и так уже знаю. Мне хочется решить это уравнение более логическим способом.

[VAL]

math_lover в сообщении #257438 писал(а):

За красный цвет извините...

А можно это уравнение как нибудь разложить на множители? (Способом группировки, вынесения общего множителя за скобки). Я думаю что можно...

Зная корни, можно и группировкой. Но только, зная корни (опять таки за исключением простых симметричных случаев)

Цитата:

Деление многочлена на многочлен в этом случае для меня не удовлетворительно, потому что мне не нужно получить корни этого уравнения во что бы то ни стало - ведь я их и так уже знаю. Мне хочется решить это уравнение более логическим способом.

Удобно совместить проверку делителей свободного члена на предмет принадлежности к корням и деление на двучлен. Почитайте (в книжках или инете) про схему Горнера.

[Батороев]

math_lover в сообщении #257269 писал(а):

Помогите (кто может) решить это уравнение:
$\[48{x^4} - 864{x^3} + 2941{x^2} + 8523x - 10648 = 0\]$

У меня вопрос.

Преобразовав:
$x(48x^3-864x^2+2941x+8523)=10648=1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11\cdot 11\cdot 11$
можно ли считать, что один из корней уравнения (или несколько) можно найти, рассмотрев различные сочетания делителей из правой части ($x_1=1$; $x_2=2\cdot 2\cdot 2=8$) или в общем случае - это не верно?

-- Пн ноя 02, 2009 15:53:06 --

По-видимому, в общем случае - неверно, а лишь только тогда, когда в уравнении есть целочисленные корни.

[Gal]

Точки пересечения двух эллипсов можно свести непосредственно к квадратному уравнению, как впрочем, и точки пересечений других конических сечений на R^2

[arqady]

math_lover в сообщении #257289 писал(а):

Да, меня интересуют только точные решения .Фомулы Кардано и Феррари я уже смотрел - но они какие-то еще сложные и не понятные для меня (потому что не видел примеров как ими пользоаться).

Дались Вам эти формулы! Идея метода Феррари очень проста: представить многочлен четвёртой степени в виде разности квадратов и таким образом разложить его на множители.
Вот Вам, как любителю решать уравнения, две задачи:
1) Решить уравнение: $x^4-4x^3+2=0$
2) Разложить на множители $x^4-2x^3+2$
Корни ищем действительные так же как и коэффициенты разложения.
Удачи!

[Yu_K]

arqady в сообщении #257819 писал(а):

2) Разложить на множители $x^4-2x^3+2$
Корни ищем действительные так же как и коэффициенты разложения.
Удачи!

Тут не будет удачи с действительными корнями.

[VAL]

Yu_K в сообщении #257824 писал(а):

arqady в сообщении #257819 писал(а):

2) Разложить на множители $x^4-2x^3+2$
Корни ищем действительные так же как и коэффициенты разложения.
Удачи!

Тут не будет удачи с действительными корнями.

Я тоже хотел так ответить. Но потом внимательнее перечитал условие и не стал.

А вообще-то arqady - садист!

PS: А я, разложивший второй полином, наверное, мазохист

[Yu_K]

Проблем нет с разложением и решением, особенно, если есть софт хороший под рукой - но это же не спортивно... такие вещи настоящие математики делают "в уме".

[tolya1]

$\[48{x^4} - 864{x^3} + 2941{x^2} + 8523x - 10648 = 0\]$
Решение здесь : http://www.dvaplustri.wallst.ru/

[nn910]

tolya1 в сообщении #257844 писал(а):

Решение здесь : http://www.dvaplustri.wallst.ru/

Я как раз почти решил оба уравнения arqady в общем виде $x^4+px^3+q$, но обновившись,увидел вашу ссылку.Оказалось, у меня даже обозначения, как у них. Но они отказались принять два нулевых коэффициента (выскочило окно с отказом) и пришлось доделать вручную.
У меня такой ответ: $t^3-4qt-p^2q=0$ решаем по Кардано (здесь радикалы не ушли);
$y^2-ty+q=0$ дает 2 корня-свободные члены сомножителей разложения b и d;
$a=\dfrac{pb}{b-d}$,$c=\dfrac{-pd}{b-d}$
и $x^4+px^3+q=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$
Marple сделал factor для уравнения топикстартера,но не смог для этих двух. У кого по- другому?

[VAL]

nn910 в сообщении #257849 писал(а):

Marple сделал factor для уравнения топикстартера,но не смог для этих двух. У кого по- другому?

У меня по-другому! Впрочем, оно и понятно, у Вас Marple, а у меня Maple!

factor(x^4-2*x^3+2,sqrt(sqrt(5)-2));
      2               1/2     1/2      1/2     1/2     1/2
  (2 x  - 2 x + 4 x (5    - 2)    + 2 5    x (5    - 2)    + 1

             1/2     1/2    1/2    1/2   1/2     1/2      2
         - (5    - 2)    + 5    - 5    (5    - 2)   ) (2 x  - 2 x

                 1/2     1/2      1/2     1/2     1/2
         - 4 x (5    - 2)    - 2 5    x (5    - 2)    + 1

             1/2     1/2    1/2    1/2   1/2     1/2
         + (5    - 2)    + 5    + 5    (5    - 2)   )/4

[tolya1]

$\[48{x^4} - 864{x^3} + 2941{x^2} + 8523x - 10648 = (x^2-9x+8)(48x^2-432x-1331)\]$

Подробное решение здесь : http://www.dvaplustri.wallst.ru/