Решение уравнения от двух переменных в целых числах

[Алекс77]

Пожалуйста помогите с решением уравнения следующего вида в целых числах:

$ax^2+bxy+cx+dy+e=0$

a,b,c,d,e <> 0

Заранее спасибо

[Хорхе]

Рекомендую почитать Ж.П. Серр Курс арифметики.

[Алекс77]

Спасибо за ссылку
А есть что-нибудь конкретнее?
Я в книжках Гельфанда нашел несколько примеров для решения уравнений $x^2-Ay^2=C$, но вот как привести к данному представлению не знаю
Может есть какие-нибудь стандартизированные методы/подходы? Просто всю книгу читать - по времени не уложусь к экзамену.
Заранее спасибо за помощь.

[RIP]

После деления уравнения на $a$ можно выделить полные квадраты с рациональными коэффициентами. После избавления от знаменателей уравнение примет вид
$X^2-Y^2=C$,
где $X=\alpha x+\beta y+\gamma$, $Y=\beta y+\delta$ с некоторыми коэффициентами.
Так что в данном случае всё тривиально.

-- Пт 30.10.2009 14:39:15 --

Это был общий метод. Поскольку коэффициент при $y^2$ нулевой, можно и по-другому. Достаточно заметить, что уравнение можно привести к виду
$a(x+b/ay+?)(x+d/b)+?=0$.

[Алекс77]

RIP, спасибо за ответ, действительно многое прояснилось...
А как во втором случае продолжать решение?

[RIP]

Алекс77 в сообщении #256657 писал(а):

А как во втором случае продолжать решение?

После замены переменных уравнение принимает вид
$XY=C$,
где $X$, $Y$ --- неизвестные, а $C$ --- постоянная. Как решать в целых числах такое уравнение, думаю, объяснять не надо.

[Хорхе]

Извиняюсь, не заметил, что там нет члена с $y^2$. Но книжку все равно рекомендую почитать

[Алекс77]

Хорхе: Почитать - обязательно почитаю, просто на досуге - сейчас конкретную задачу решать надо

RIP - спасибо прямая дорога в рай помогает вроде получается - если что, еще раз напишу

Всем огромное спасибо!
Если есть еще соображения - буду очень рад и премного благодарен!