Параметризация пересечения конусов.

[Yu_K]

Megarovaken в сообщении #256386 писал(а):

Огромное спасибо все за советы, отдельное спасибо vvvv за рисунок...
Но вот до конца во всем разобраться я еще не совсем могу
Как я понимаю, параметризаций косинусов будет:
$\begin{cases} x = r \cos{t} \\ y = r \sin{t} \\ z = z \end{cases}$ - первый
Хотя мне кажется, что-то я не правильно понимаю...

Да что-то неправильно понимаете... параметризация линии в пространстве может быть задана например в виде
$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$

хотя можно задать кривую и как пересечение параметрически заданных поверхностей, но только параметры при этом разные у каждой поверхности и надо будет исключить лишние

$\begin{cases} x = r_1 \cos{t_1} \\ y = r_1 \sin{t_1} \\ z = r_1 \end{cases}$
$\begin{cases} x = r_2 \cos{t_2} \\ y = r_2 \\ z = r_2\ sin{t_2}+5 \end{cases}$

[Someone]

Megarovaken в сообщении #256386 писал(а):

Огромное спасибо все за советы, отдельное спасибо vvvv за рисунок...
Но вот до конца во всем разобраться я еще не совсем могу
Как я понимаю, параметризаций косинусов будет:
$\begin{cases} x = r \cos{t} \\ y = r \sin{t} \\ z = z \end{cases}$ - первый
$\begin{cases} x = r \cos{t} \\ y = y \\ z = r \sin{t} + 5 \end{cases}$ - второй...
Хотя мне кажется, что-то я не правильно понимаю...

Параметры в уравнениях конусов нужно обозначить по-разному (впрочем, Вам это уже написали). Но параметрические уравнения второго конуса не соответствуют уравнению второго конуса, указанному в первом сообщении:

Цитата:

Уравнение первого конуса: $\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}$. Второго: $\dfrac{(y+5)^{2}}{c^{2}}=\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{a^{2}}$

(я помню, что $a=c$).

[vvvv]

Смотрю я - не сделаете Вы задание.Нарушая правила (да простят меня модераторы) решил выложить решение.
Параллельно продемостировано - как здорво помогает матпакет. (Правда не все это понимают).

[_v_l]

vvvv в сообщении #256491 писал(а):

Смотрю я - не сделаете Вы задание.Нарушая правила (да простят меня модераторы) решил выложить решение.
Параллельно продемостировано - как здорво помогает матпакет. (Правда не все это понимают).

Жуть.

1. Кривая будет одна, никаких ветвей. По условию задачи есть два вполне определённых конуса и их взаимное расположение.
2. Естественно, что уравнение кривой будет зависеть от того, в каком виде вы выберите уравнения конусов (Ксатит сказать, я выбрал распложение конусов отличное от автора топика, получил параметрическое уравнение).
3. Использовать параметрическое уравнение конуса или нет --- вопрос выбора автора топика. Если ему известно такое уравнение (параметрическое) и он умеет с ним работать, пожалуйства. Если нет, тогда зачем ему это советовать?

Если признаться, не знаю, зачем нужны сложности с параметрическим уравнением конуса и параметрическим уравнением линии пересечения, содержащее $\sin$ и $\cos$, но это вопрос вкуса.

Здесь уже достаточно написали формул, так что мои не будут самыми страшными.

1. Пусть ось $Oz$ будет осью симметрии первого конуса, его уравнение
$x^{2}+y^{2}=z^{2}$
2. Пусть ось второго конуса пересекает ось $Oz$ в точке $O'(0,0,5)$ и сонаправлена с осью $Oy$, уравнение второго конуса
$x^{2}+(z-5)^{2}=y^{2}$.

3. Множество точек пересечения --- линия, однопараметрическое множество точек.
Далее, как хотите, как умеете.
3.1 Вычтем одно уравнение из другого.
3.2 Выразим $y$ через $z$.
3.3 Примем за параметр $z$
4. Запишем систему уравнений --- линию пересечения.

Результат: простое уравнение, без $\sin$ и $\cos$.

P.S. Задача красивая, если изменить угол между осями конусов получаются другие кривые: замкнутые или неограниченные.

P.P.S. 2vvvv

Цитата:

Параллельно продемостировано - как здорво помогает матпакет. (Правда не все это понимают).

Возьмите обычную "блондику" (прошу прощения у прекрасной половины человечества, читающих этот форум в особенности), покажите ей ваше "... продемостировано - как здорво ..." и дайте задание, поменяв немного условия. Хорошо подумайте над результатом, матпакет не понадобится, уверяю.

Математика учит думать людей, для этого её и дают в вузе (не мат. специальности). После окончания вуза, вы можете наплевать на математику, подметать улицы, если захотите. Но можете проводить инженерные работы или научные исследования. Вот здесь вам и пригодится матпакет, чтобы упростить и автоматизировать действия, которые вы знаете и умеете делать и без матпакета.
Прошу прощения за оффтоп у автора и остальных форумчан.

[ewert]

_v_l в сообщении #256563 писал(а):

1. Кривая будет одна, никаких ветвей. По условию задачи есть два вполне определённых конуса и их взаимное расположение.

На картинке -- конусы полные; соответственно, и ветвей тоже будет две. Они расположены на противоположных склонах некоторого параболического цилиндра так, что их проекции на плоскость симметрии того цилиндра дадут одну и ту же ветвь некоторой гиперболы.

Между прочим, в исходном условии нигде не сказано, что от каждого конуса надо брать только одну половинку.

[Yu_K]

_v_l в сообщении #256563 писал(а):

Жуть.

1. Кривая будет одна, никаких ветвей. По условию задачи есть два вполне определённых конуса и их взаимное расположение.
2. Естественно, что уравнение кривой будет зависеть от того, в каком виде вы выберите уравнения конусов (Ксатит сказать, я выбрал распложение конусов отличное от автора топика, получил параметрическое уравнение).
3. Использовать параметрическое уравнение конуса или нет --- вопрос выбора автора топика. Если ему известно такое уравнение (параметрическое) и он умеет с ним работать, пожалуйства. Если нет, тогда зачем ему это советовать?

1. Квадраты в уравнениях вас не смущают. Что такое конус? Как Вы представляете себе пов-ть уравнение которой пишите?
2. Это что результат какой-то существенный?
3. Когда автор написал, что-то похожее на систему параметрических уравнений пов-ти конуса - его немного поправили - никто ему ничего не советовал.

[Батороев]

vvvv
Мне Ваши картинки всегда нравятся, но в этот раз несколько смущает линия пересечения конусов. На мой взгляд, должна получаться не плоская, а как бы несколько "седловидная" линия (т.е. изгибающаяся в двух плоскостях).

[ewert]

Батороев в сообщении #256597 писал(а):

На мой взгляд, должна получаться не плоская, а как бы несколько "седловидная" линия

А она у него и загнута, просто кусок маленький, потому и плохо видно. А вот на предыдущей картинке видно как раз прилично. Это общая проблема применения математической графики: когда мы набрасываем эскиз от руки -- характерные особенности мы утрируем, и в сравнении с этим точные картинки выглядят не особенно выразительными.

[Батороев]

Насколько я понимаю, предыдущая картинка - эта:

vvvv в сообщении #256221 писал(а):

Если быть точным, то картинка будет такая и кривая имеет две ветви. (на картинке изображена одна ветвь)

Наверное Вы, ewert, правы, но наполовину, т.к. верхняя часть линии пересечения на правой картинке где-то похожа, а нижняя часть почему-то идет по образующей одного из конусов.

[ewert]

Между прочим, не ровно по образующей: если внимательно присмотреться к правой картинке, то видно, что нижняя линия хоть и очень слабо, но заметно изогнута. И, кстати, верхняя линия тоже весьма решительно выруливает именно на образующую. Наверное, это не случайно?

Это, между прочим, ещё одно проявление недостатков компьютерной графики -- важные нюансы она зачастую маскирует.

[Батороев]

ewert в сообщении #256617 писал(а):

И, кстати, верхняя линия тоже весьма решительно выруливает именно на образующую. Наверное, это не случайно?

А вот как раз-то не должна выруливать. Потому, что продли мы конусы по высоте, линия должна была бы превратиться в замкнутую.

-- Пт окт 30, 2009 17:19:28 --

Нет-нет, что-то я уже про углы конусов забыл.
Наверное, выйдет на образующие.
Ладно, сдаюсь. Пошел отдыхать.

-- Пт окт 30, 2009 17:30:13 --

А ведь точно, что линия пересечения выйдет на образующие конусов!
Т.к. углы конуса - по 90 град., то при высоте конусов, стремящейся к бесконечности длина линии пересечения бесконечна, а такое стремление всегда что-нибудь, да спрямляет. А прямые в конусах - только образующие.