Преобразования Фурье.

[gris]

nakshi писал(а):

Прошу прощения за повышенный тон

Интересно рассмотреть феномен повышения тона с точки зрения физики. Ведь говорящим эти слова предполагается, что увеличивается громкость. Однако, если понимать фразу буквально, то увеличивается высота звука, то есть частота. Но для увеличения громкости при сохранении частоты звука необходимо затрачивать больше энергии, чем для достижении той же громкости (амплитуды) при одновременном увеличении частоты звуковых колебаний. Интересно, что дальнейшее поднятие тона превращает нормальную речь в визг, потом в писк, а потом в некоторую ультразвуковую симфонию, слышимую лишь детям и собакам.
Впрочем, это оффтопик. Пардон.
А на самом деле интересно по стандартным математическим понятиям собрать подборку, как они вводятся и трактуются у разных авторов, начиная с глубокой древности и до современных учебников. Насчёт коэффициентов ряда Фурье: например, у Кудрявцева нет никакого $t$.

[ewert]

nakshi в сообщении #256193 писал(а):

Отсюда то и шел вопрос - зачем идет замена х на t при выводе коэффициентов?

Во-первых, нет никакой замены. Во-вторых, не нравится Вам $t$ -- ну замените на мягкий знак, ради бога.

[Someone]

nakshi в сообщении #254328 писал(а):

При переходе от ряда к интегралу Фурье появляется еще одна переменная.
Т.е. если формулы ряда и коэффициентов этого ряда использовали переменную х, то при переходе в формуле коэффициентов фигурирует уже некая t.
Что это за t?

В принципе, в разных книгах могут упоминаться не х и t, а какие нибудь x и u, но суть таже.

Я очень советую Вам не заменять $x$ на $t$. Возьмите вот эту формулу, которую Вы цитировали, и верните вместо $t$ старое обозначение $x$.

nakshi в сообщении #254876 писал(а):

На 420 странице книги Колмогорова (например) есть следующее:
$f(x) = \frac {1} {2L}\int_{-L}^{L}{f(t)dt}+\frac {1} {\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac {\pi} {L}\int_{-L}^{L}{f(t)cos(\frac {k\pi} {L}) (t-x)dt}$

И порадуйтесь тому, что получится.

nakshi в сообщении #254876 писал(а):

Как видите, здесь присутствуют все трое: n, t, x.

Как ни приглядывался, никакого $n$ не разглядел. У меня что-то с глазами?

[Dementor]

Наверное имелось ввиду что в последней формуле k гомоморфна n.
У меня вопрос в другом. По сути мы берем один фрагмент и размножаем его на ч.п., тогда наверное это уже можно считать функционалом?

[nakshi]

Цитата:

И порадуйтесь тому, что получится.

Подобные фразы мне уже доводилось слышать. Тем не менее, это абсолютно не оправдывает появления t, логику наличия которого мне никто так и не объяснил! Именно ЛОГИКУ! Не надо говорить о том, что и так ясно - переменная интегрирования, другая буква, домик и т.д! Обоснование интегрирования по dt - вот, что требуется.

Цитата:

Насчёт коэффициентов ряда Фурье: например, у Кудрявцева нет никакого t.

Оно у него есть. И появляется первый раз при рассмотрении интеграла Дирихле. Вопрос тот же - обоснование?

Цитата:

Какие-то сплошь загадки. Стандартный подход:

Подобные выкладки, ewert, частое явление в книгах о ЦОС. Но если Вы посмотрите стандартный переход от ряда к интегралу (например у Колмогорова, Кудрявцева, Титчмарша и многих др.), то Вы увидите то, что я имею в виду. Выше приведенная формула из перехода от ряда к интегралу как раз содержит и t, и х. Снова тот же вопрос - обоснование t.

Приведу единственное приемлемое обоснование как то слышанное мною. "В самом ряде Фурье идет речь о точке (та которая сходимости), а при выводе коэффициентов имеется в виду вся числовая ось абсцисс. Отсюда разница обозначений, а потому и введение t помимо х. Пока же идет речь только о ряде, львиная доля авторов не акцентируется на этом. Когда же наступает черед перехода t магическим образом всплывает, внося ту самую путаницу."

В заключении приведу фразу не раз слышанную мною: "80% ВМ - это шарлатанство."
Не из-за таких ли подходов (аля t, x) бытует оное? А ведь ВМ - далеко не самая трудная вещь в мире, тем не менее по отношению к другим ипостасям подобных изречений не встречалось.

[gris]

"Демосфен, я узнаю тебя по камешку, который ты скрываешь в своих золотых устах!"(С)

nakshi, Вы попросту ошиблись разделом.
Вы пытаетсь на ровном месте замутить какую-то философоподобную дискуссию, но её место в именно дискуссионных темах. Там обсуждают теорему Пифагора в пространстве звуков, возводят ноль в нулевую степень, творят новые способы исчисления бесконечно малых. Большинство тем действительно имеют весьма глубокое и нетривиальное содержание, некоторые представляют смелые гипотезы. Вам туда надобно.
Здесь люди ищут ответа на конкретные, как правило, практические вопросы. Наивная восьмиклассница вопрошает, можно ли при вычислении коэффициентов ряда Фурье пользоваться иксом в качестве переменной интегрирования. Ответ - пожалуйста. Всё равно эта переменная исчезнет, оставив на своём месте число - конкретный коэффициент, не зависящий ни от какой переменной.
Студент спрашивает про преобразование Фурье экспоненты с чисто мнимой степенью, и тоже получает ответ.
Пенсионера интересуют обобщения сабжа, ортогональные системы, операционное исчисление.

У Вас с самого начала был обыкновенный школьный вопрос, на который Вам дали адекватный ответ. Если мальчик спросит Вас сколько будет дважды два, Вы же не станете ему растолковывать теорию чисел. Хотя может быть этот мальчик интересуется вопросом гораздо более глубоко, чем кажется. Опять же в дискуссионных темах обсуждается вопрос о логическом обосновании натуральных чисел и операций над ними.
Ваши рассуждения из той же серии. Возможно, что они затрагивают самые основы математики и достойны пристального внимания и яростного обсуждения. Но в этом разделе этим никто заниматься не будет.
Так что открывайте в дискуссиях новую тему, и там Вы скорее получите ответы на вопросы, которые не дают Вам спать по ночам.

[nakshi]

Цитата:

У Вас с самого начала был обыкновенный школьный вопрос, на который Вам дали адекватный ответ.

Что? Вы считаете, что тут прозвучал адекватный ответ (даже для школьного уровня)?! Вы тупо направили гипотетического школьника в противоположную сторону, а не ответили ему! И это самое страшное. В прочем, если этому школьнику надо просто решить некую задачку и завтра забыть о ней на всю жизнь, то Вы совершаете, бесспорно, "медвежью услугу".

Вы знаете, последнее время наблюдается тенденция к снижению общего уровня знаний в народе. Более того, 99% современной молодежи высмеивают знания! Среди них архиактуально быть "пухлостью" или "быком", иначе идет безаппеляционное причисление к племени "батанов" (причем с насмешкой). Так вот, не из-за таких ли "ответов" происходило отторжение, начиная с Привалова 30-х годов? Ну не хотим мы говорить "просто о сложном", ну не хотим! А может не умеем...

В прочем, я благодарна всем за участие.
Всего хорошего!