Преобразования Фурье.

[nakshi]

Здравствуйте.

При переходе от ряда к интегралу Фурье появляется еще одна переменная.
Т.е. если формулы ряда и коэффициентов этого ряда использовали переменную х, то при переходе в формуле коэффициентов фигурирует уже некая t.
Что это за t?

В принципе, в разных книгах могут упоминаться не х и t, а какие нибудь x и u, но суть таже.

Спасибо.

[gris]

В рядах была переменная $n$. Вот она неким образом превратилась в $t$.

[nakshi]

Простите, но n - это номера гармоник ряда и t появляется когда n еще есть!
Т.е. коэффициенты ряда (в которых фигурирует t) вставляются в формулу ряда где под знаком суммы указано n.

[ewert]

nakshi в сообщении #254464 писал(а):

Простите, но n - это номера гармоник ряда и t появляется когда n еще есть!

$t$ -- это, грубо говоря, само $n$ и есть. С точностью до пересчёта. Пафос там просто в том, что при определённых оговорках ту сумму можно интерпретировать как интегральную.

[nakshi]

На 420 странице книги Колмогорова (например) есть следующее:
$f(x) = \frac {1} {2L}\int_{-L}^{L}{f(t)dt}+\frac {1} {\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac {\pi} {L}\int_{-L}^{L}{f(t)cos(\frac {k\pi} {L}) (t-x)dt}$

Как видите, здесь присутствуют все трое: n, t, x. И кто есть кто?

Кстати, у некоторых авторов, например у Привалова, всю троицу можно наблюдать еще в рассуждениях по ряду, т.е. без всяких переходов к интегралу.

[gris]

Как говорил один профессор - это разные $t$.
Суть же не в наименовании букв, а в том смысле, который они несут в формуле.


постойте, кажется дошло.
При вычислении коэффициентов ряда Фурье используется обычное интегрирование. Переменная интегрирования, естественно, отличается от независимой переменной в самой функции. Но интеграл Фурье тут не при чём.
.

[RIP]

x --- точка, в которой рассматриваем значение функции (и её ряда Фурье), n (в Вашей формуле k) --- номер слагаемого в ряде Фурье, t --- просто переменная интегрирования в формулах для коэффициентов Фурье $a_n=\frac1L\int_{-L}^L\ldots dt$, $b_n=\ldots$.

[nakshi]

Т.е. я понимаю так.
Изначально мы вычисляем коэффициенты из самой формулы ряда (где присутствует х) путем интегрирования обеих частей этой формулы по периоду (ну и используя ортогональность).
Так вот, в процессе этого интегрирования x, как бы "зажимаемый" в пределах интегрирования, превращается в t.
Правильно?

[gris]

$x$ не превращается в $t$.
$x$ заменяют на другую букву для более корректной записи формулы и для избежания недоразумений.
Формaльно можно определить функцию $f(x)=\int\limits^x_0 2xdx$
И при определении значения функции при $x=5$ здравомыслящий студент сделает подстановку
$f(5)=\int\limits^5_0 2xdx$,
а не $f(5)=\int\limits^5_0 25d5$.
А ехидный студент пожалуй может трактовать интеграл как $f(x)=\int\limits^x_0 2xdt$.

Вот чтобы избежать такой путаницы, правильнее будет писать $f(x)=\int\limits^x_0 2tdt$

то же самое и с рядами Фурье. При определении коэффициентов лучше вместо $x$ писать $t$. От греха подальше. Хотя всем вроде бы должно быть ясно, что к чему.

Но изначально у Вас был вопрос про интеграл Фурье. Вот там натуральное $n$ действительно неким образом "превращается" в действительную переменную $t$, извините за каламбур.

[nakshi]

В том то и вопрос - на основании чего я интегрирую формулу ряда по dt?
Ведь если имеется, например, формула y=2x и мне надо найти площадь фигуры под ее графиком на отрезке 0-5, то я ставлю интеграл на этом отрезке и пишу 2xdx.
А для перехода на t (где бы он не был) нужна какая то логика и я ее как раз то и не вижу. Разве что так: х - любая переменная по оси Х (а оно так и есть когда идет построение гармоник в дальнейшем), но так как интегрирование идет лишь в пределах некого периода (т.е. части оси Х), то вводится эта злополучная t.

[RIP]

Эта злополучная $t$ вводится тупо потому, что буква $x$ уже занята и её использовать нельзя. Вместо буквы $t$ можете использовать, что хотите (только не занятое), хоть домик нарисовать.

[ANTEFURIE]

Всем привет! Nakshi при переходе от ряда к интегралу Фурье t не является новой переменной.
Допустим, что t новая переменная, тогда коэффициенты Фурье вычисленные по переменной интегрирования t получаются из интегрирования почленно тригонометрического ряда содержащего переменную t. Значит мы имеем два тригонометрических ряда отличающихся только переменной интегрирования: в первом случае это t; во втором случае это x. Переменная t определена на всем множестве от минус бесконечности до плюс бесконечности. Переменная x определена на всем множестве от минус бесконечности до плюс бесконечности. Так как область определения у них одинакова, то мы пришли к выводу,что существует две разные переменные с одинаковой областью определния. Но на данной области определения t и x "ведут" себя одинаково, а значит они равны.

P.S. Сочувствую RIP, gris. Ветераны, Вы бьетесь пытаясь донести знание до Nakshi! ЧЕСТЬ И ХВАЛА ВАМ!!!

[gris]

ANTEFURIE, и Вы туда же.
Где Вы увидели тут интеграл Фурье? Или Вы так называете интерал для вычисления коэффициентов?
Впрочем, я так же как и nakshi уже всё понял, но прикидываюсь

Зачотная фраза: t и x "ведут" себя одинаково, а значит они равны.
Но не зачётная.

[ewert]

Какие-то сплошь загадки. Стандартный подход:

берём финитную функцию (т.е. равную нулю вне некоторого отрезка). Раскладываем её в ряд Фурье на любом достаточно большом промежутке $[-L,L]$:

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i{\pi n\over L}x},\qquad c_n={1\over2L}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i{\pi n\over L}x}dx$$

(интеграл можно формально выписывать именно по всей оси, т.к. функция всё равно финитна). Т.е., переобозначая ${\pi n\over L}\equiv t_n$, $\Delta t_n\equiv t_{n+1}-t_n={\pi\over L}$, $c_n\equiv {1\over2L}\,g(t_n)$:

$$f(x)={1\over2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}g(t_n)e^{i{t_n}x}\cdot\Delta t_n,\qquad g(t_n)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i{t_n}x}dx.$$

При $L\to+\infty$ сумма превращается в соответствующий интеграл по всей оси; вот, собственно, и вся теория. Она формально корректна только для финитных и достаточно гладких $f(x)$, но коль уж скоро результат получен -- по непрерывности он распространяется и на более широкие классы функций.

[nakshi]

Цитата:

P.S. Сочувствую RIP, gris. Ветераны, Вы бьетесь пытаясь донести знание до Nakshi! ЧЕСТЬ И ХВАЛА ВАМ!!!

Вау! Какая помпа!
Тем не менее, г-н ANTEFURIE, если t равно х, то и интегрируйте по dx.

Цитата:

Какие-то сплошь загадки.

А никаких загадок, ewert, нет.
Выше приводился момент с площадью. Так вот, никому же в голову не приходит говорить там о том, что переменная х уже занята, а потому рисуем домик (тобишь t)!
Отсюда то и шел вопрос - зачем идет замена х на t при выводе коэффициентов? Ваше логическое обоснование? То, что Вы написали - это математика и не более!
Авторы пляшут как хотят!
Если Привалов вводит понятие t еще в рядах, то таже Бари - только в разговоре об интеграле! Так это и есть истинные ветераны, которые хоть что-то объясняли! О современном авторе я вообще молчу!

Прошу прощения за повышенный тон.