голоморфная в ед. шаре функция с плотным множ. нулей на гран

[Таня Тайс]

Прошу помощи в такой задаче:
Задайте голоморфную в единичном шаре функцию, нули которой плотно лежат на границе шара.

(Прошу прощения за корявый перевод, но думаю, смысл понятен - у функции должно быть бесконечно много нулей на границе шара)

Мои соображения: можно использовать произведение Бляшке $\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\bar{a}_k}{|a_k|} \frac{a_k-z}{1-\bar{a}_kz}$, но вот беда - я никак не могу выписать себе эту последовательность точек $a_1, a_2, ... , a_k...$, где функция должна обращатся в нуль. Граница $e^{2\pi ix}$, а нули должны быть предельным множеством... Подскажите, пожалуйста, в каком направлении искать?

[Someone]

Что-то я не пойму. У Вас $|a_k|=1$? Тогда $\bar a_ka_k=1$ и $\frac{\bar a_k}{|a_k|}\frac{a_k-z}{1-\bar a_kz}=\frac{1-\bar a_kz}{1-\bar a_kz}=1$.

[Таня Тайс]

Someone в сообщении #255371 писал(а):

У Вас $|a_k|=1$? Тогда $\bar a_ka_k=1$ и $\frac{\bar a_k}{|a_k|}\frac{a_k-z}{1-\bar a_kz}=\frac{1-\bar a_kz}{1-\bar a_kz}=1$.

Хм... Нет, должно быть $|a_k| \to1$ и $\prod \frac{\bar a_k}{|a_k|}\frac{a_k-z}{1-\bar a_kz} < \infty$
Наверное, я неправильно поняла задание - правильно будет наверное так : каждая точка границы круга является предельной для множества нулей искомой функции.

-- Пн окт 26, 2009 22:58:33 --

Чтобы сделать хотя бы одну точку границы предельной, можно взять разложение экспоненты в ряд и рассмотреть последовательность частных сумм. Так, что ли?

[Someone]

Ну, например, возьмите в качестве $a_k$ числа вида

$$\frac 1{\sqrt[2^n]{2}}e^{\frac{2\pi m}{2^n}i}\text{, }0\leqslant m<2^n\text{,}$$

или что-нибудь ещё в этом роде. Вдруг что-нибудь хорошее получится.

[RIP]

Тогда уж лучше $2^{-2^{-k}}e^{ik}$, чтоб обеспечить абсолютную и равномерную внутри круга сходимость произведения.

[Таня Тайс]

Спасибо
Ещё такой вопрос: если известно, что $0<a_k<1$ и $\lim_{k\to \infty}a_k=0$ ,
а также что $\sum_k |a_k|^p<\infty$ для некоторого $p$,
то откуда следует, что $\sum_{k=1}^{\infty}a_k^le^{2\pi i\frac{kl}{p}} < \infty$ для $l=1,2,...p-1$

[ewert]

Рассмотрим частный случай. Пусть $\sum_ka_k^2<\infty$. Действительно ли $\sum_ka_k\cdot(-1)^k<\infty$?

[Таня Тайс]

ewert в сообщении #255420 писал(а):

Пусть $\sum_ka_k^2<\infty$. Действительно ли $\sum_ka_k\cdot(-1)^k<\infty$?

Да, так как $\sum_k (-1)^k a_k= \sum_{n=1; k=2n}^{\infty}(a_k-a_{k-1})$, а про последовательность $(a_k)$ нам известно, что она сходится.

Но для $p>2$ получаются корни из единицы. Надо действовать также и пытаться рассмотреть $p-$членов последовательности?
Собственно, я уже пыталась, но ни к чему не пришла, кроме того, что я в эту формулу верю.

[ewert]

Таня Тайс в сообщении #255617 писал(а):

, а про последовательность $(a_k)$ нам известно, что она сходится.

Так ведь в том-то и пафос, что неизвестно. Известно лишь, что сходится ряд из квадратов. Что существенно мягче.

[Таня Тайс]

ewert

Таня Тайс в сообщении #255418 писал(а):

если известно, что $0<a_k<1$ и $\lim_{k\to \infty}a_k=0$ ,

Ещё известно, что эта последовательность монотонно убывает.

Что-то я подзабыла уже, полезу в учебники! Спасибо!

[ewert]

Таня Тайс в сообщении #255635 писал(а):

Ещё известно, что эта последовательность монотонно убывает.

А так нечестно, про монотонность ни слова не было. Тогда тривиально, тогда скорость убывания не имеет значения, тогда просто признак Дирихле.

[Таня Тайс]

ewert в сообщении #255640 писал(а):

А так нечестно, про монотонность ни слова не было.

Прошу прощения

А с $p>2$-то как быть? Тоже признак Дирихле, видимо.

[ewert]

Тоже. Не имеет значения "пэ". Просто сумма комплексных экспонент -- это сумма геометрической прогрессии, и она ограниченна (в силу периодичности).

[Таня Тайс]

ewert
Здорово! Спасибо.

P.S. О том, что этот признак называется признаком Дирихле, я узнала из русской Википедии.

[ewert]

я, кстати, тоже. Всю жизнь инстинктивно считал его по безграмотности признаком Абеля (просто очень редко приходилось его упоминать).