2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 голоморфная в ед. шаре функция с плотным множ. нулей на гран
Сообщение26.10.2009, 22:07 
Аватара пользователя
Прошу помощи в такой задаче:
Задайте голоморфную в единичном шаре функцию, нули которой плотно лежат на границе шара.

(Прошу прощения за корявый перевод, но думаю, смысл понятен - у функции должно быть бесконечно много нулей на границе шара)

Мои соображения: можно использовать произведение Бляшке $\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\bar{a}_k}{|a_k|} \frac{a_k-z}{1-\bar{a}_kz}$, но вот беда - я никак не могу выписать себе эту последовательность точек $a_1, a_2, ... , a_k...$, где функция должна обращатся в нуль. Граница $e^{2\pi ix}$, а нули должны быть предельным множеством... Подскажите, пожалуйста, в каком направлении искать? :?

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение26.10.2009, 23:08 
Аватара пользователя
Что-то я не пойму. У Вас $|a_k|=1$? Тогда $\bar a_ka_k=1$ и $\frac{\bar a_k}{|a_k|}\frac{a_k-z}{1-\bar a_kz}=\frac{1-\bar a_kz}{1-\bar a_kz}=1$.

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение26.10.2009, 23:46 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #255371 писал(а):
У Вас $|a_k|=1$? Тогда $\bar a_ka_k=1$ и $\frac{\bar a_k}{|a_k|}\frac{a_k-z}{1-\bar a_kz}=\frac{1-\bar a_kz}{1-\bar a_kz}=1$.

Хм... Нет, должно быть $|a_k| \to1$ и $\prod \frac{\bar a_k}{|a_k|}\frac{a_k-z}{1-\bar a_kz} < \infty$
Наверное, я неправильно поняла задание - правильно будет наверное так : каждая точка границы круга является предельной для множества нулей искомой функции.

-- Пн окт 26, 2009 22:58:33 --

Чтобы сделать хотя бы одну точку границы предельной, можно взять разложение экспоненты в ряд и рассмотреть последовательность частных сумм. Так, что ли?

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 00:00 
Аватара пользователя
Ну, например, возьмите в качестве $a_k$ числа вида
$$\frac 1{\sqrt[2^n]{2}}e^{\frac{2\pi m}{2^n}i}\text{, }0\leqslant m<2^n\text{,}$$
или что-нибудь ещё в этом роде. Вдруг что-нибудь хорошее получится.

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 03:01 
Аватара пользователя
Тогда уж лучше $2^{-2^{-k}}e^{ik}$, чтоб обеспечить абсолютную и равномерную внутри круга сходимость произведения.

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 08:17 
Аватара пользователя
Спасибо :)
Ещё такой вопрос: если известно, что $0<a_k<1$ и $\lim_{k\to \infty}a_k=0$ ,
а также что $\sum_k |a_k|^p<\infty$ для некоторого $p$,
то откуда следует, что $\sum_{k=1}^{\infty}a_k^le^{2\pi i\frac{kl}{p}} < \infty$ для $l=1,2,...p-1$

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 08:24 
Рассмотрим частный случай. Пусть $\sum_ka_k^2<\infty$. Действительно ли $\sum_ka_k\cdot(-1)^k<\infty$?

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 19:40 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #255420 писал(а):
Пусть $\sum_ka_k^2<\infty$. Действительно ли $\sum_ka_k\cdot(-1)^k<\infty$?

Да, так как $\sum_k  (-1)^k a_k= \sum_{n=1; k=2n}^{\infty}(a_k-a_{k-1})$, а про последовательность $(a_k)$ нам известно, что она сходится.

Но для $p>2$ получаются корни из единицы. Надо действовать также и пытаться рассмотреть $p-$членов последовательности?
Собственно, я уже пыталась, но ни к чему не пришла, кроме того, что я в эту формулу верю.

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 20:05 
Таня Тайс в сообщении #255617 писал(а):
, а про последовательность $(a_k)$ нам известно, что она сходится.

Так ведь в том-то и пафос, что неизвестно. Известно лишь, что сходится ряд из квадратов. Что существенно мягче.

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 20:16 
Аватара пользователя
ewert
Таня Тайс в сообщении #255418 писал(а):
если известно, что $0<a_k<1$ и $\lim_{k\to \infty}a_k=0$ ,

Ещё известно, что эта последовательность монотонно убывает.

Что-то я подзабыла уже, полезу в учебники! Спасибо!

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 20:38 
Таня Тайс в сообщении #255635 писал(а):
Ещё известно, что эта последовательность монотонно убывает.

А так нечестно, про монотонность ни слова не было. Тогда тривиально, тогда скорость убывания не имеет значения, тогда просто признак Дирихле.

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 20:42 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #255640 писал(а):
А так нечестно, про монотонность ни слова не было.

Прошу прощения :)

А с $p>2$-то как быть? :? Тоже признак Дирихле, видимо.

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 20:50 
Тоже. Не имеет значения "пэ". Просто сумма комплексных экспонент -- это сумма геометрической прогрессии, и она ограниченна (в силу периодичности).

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 20:52 
Аватара пользователя
ewert
Здорово! Спасибо.

P.S. О том, что этот признак называется признаком Дирихле, я узнала из русской Википедии. :D

 
 
 
 Re: компл. переменная (т. Вейерштрасса, бескон. произведение)
Сообщение27.10.2009, 20:54 
я, кстати, тоже. Всю жизнь инстинктивно считал его по безграмотности признаком Абеля (просто очень редко приходилось его упоминать).

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group