Постоянное ускорение в СТО

[ShMaxG]

Это задача из ЛЛ-2 после §7 главы 1. Проблема только в "раскрытии выражения " $\[{w^i}{w_i}\]$. Вот что у меня получается:

$\[\begin{gathered} {w^i} = \frac{{d{u^i}}} {{ds}} = \frac{{dt}} {{ds}}\frac{{d{u^i}}} {{dt}} = \frac{1} {{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^i}}} {{dt}} \hfill \\ {u^0} = \frac{1} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }};{u^1} = \frac{v} {c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} \hfill \\ {w ^i}{w _i} = {\left( {\frac{{d{u^0}}} {{ds}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{d{u^1}}} {{ds}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1} {{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^0}}} {{dt}}} \right)^2} - {\left( {\frac{1} {{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^1}}} {{dt}}} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Подставляю и получаю:

$\[{\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{1} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{v} {c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} = - \frac{{{w ^2}}} {{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)\]$

Не понятно, как такое выражение преобразовать к виду из книжки.

[Тут был бред]

[Александр Т.]

ShMaxG в сообщении #253618 писал(а):

Это задача из ЛЛ-2 после §7 главы 1. Проблема только в "раскрытии выражения " $\[{\omega ^i}{\omega _i}\]$. Вот что у меня получается:

$\[\begin{gathered} {\omega ^i} = \frac{{d{u^i}}} {{ds}} = \frac{{dt}} {{ds}}\frac{{d{u^i}}} {{dt}} = \frac{1} {{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^i}}} {{dt}} \hfill \\ {u^0} = \frac{1} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }};{u^1} = \frac{v} {c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} \hfill \\ {\omega ^i}{\omega _i} = {\left( {\frac{{d{u^0}}} {{ds}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{d{u^1}}} {{ds}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1} {{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^0}}} {{dt}}} \right)^2} - {\left( {\frac{1} {{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^1}}} {{dt}}} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \]$

$$ {w^i}{w_i} = \dfrac{1}{c^2\left(1-v^2/c^2\right)} \left[ \[{\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{1} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{v} {c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} \right] $$

Цитата:

Подставляю и получаю:

$\[{\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{1} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{v} {c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} = - \frac{{{\omega ^2}}} {{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)\]$

Не понятно, как такое выражение преобразовать к виду из книжки

$$ {w^i}{w_i} = \dfrac{1}{c^2\left(1-v^2/c^2\right)} \left[ - \frac{{{w^2}}} {{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right) \right] = - \dfrac{w^2}{c^4} $$

Цитата:

Подскажите пожалуйста, где ошибка?

Вместо $\omega$ нужно писать $w$.

[ShMaxG]

Александр Т.
Вы меня не поняли.

$\[{\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{1} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{v} {c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} = - \frac{{{w^2}}} {{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)\]$

Это следует из инвариантного условия равноускоренности (из книги), это я расписал левую часть. А в книге приходят к

$\[\frac{d} {{dt}}\frac{v} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} = w\]$

И я не понимаю как получить такую простую левую часть из моей такой сложной...

-- Чт окт 22, 2009 00:53:29 --

Вообще, я правильно понимаю, что 4-скорость в системе отсчета, в которой $v=0$ $u^i = (1,0,0,0)$ ? Или я вообще ничего не понимаю?

[Александр Т.]

ShMaxG в сообщении #253769 писал(а):

Александр Т.
Вы меня не поняли.

Вы приложили к этому максимум усилий.

Цитата:

$\[{\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{1} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{v} {c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} = - \frac{{{w^2}}} {{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)\]$

Это следует из инвариантного условия равноускоренности (из книги), это я расписал левую часть.

А я-то думал, что Вы просто честно продифференцировали и упростили.

Оказывается, что если честно продифференцировать и упростить, то получится

$$ \[{\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{1} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d} {{dt}}\frac{v} {c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} = - \dfrac{w^2/c^2}{\left(1-v^2/c^2\right)^2} $$

и, соответственно,

$$ w^i w_i = - \dfrac{w^2/c^4}{\left(1-v^2/c^2\right)^3} . $$

Но посмотрите, что написано в ЛЛ2 перед формулой

$$ w^i w_i = - \dfrac{w^2}{c^4} . $$

Там говорится о значении инварианта $w^{i}w_{i}$ в собственной системе отсчета, т.е. там, где $v=0$. В этой системе отсчета, как показывает эта формула, инвариант $w^{i}w_{i}$ так просто выражается через значение обычного ускорения в тот момент, когда $v=0$. Это значение принимается за константу, характеризующую релятивистское равноускоренное движение, и поэтому я бы обозначил ее какой-нибудь другой буквой, например $a$:

$$ w^i w_i = - \dfrac{a^2}{c^4} . $$

Если движение равноускоренное (в релятивистском смысле), то инвариант $w^{i}w_{i}$ должен быть постоянным. (В случае же произвольного движения он зависит от инвариантного параметра $s=с\int_0^t\sqrt{1-v^2(t')/c^2}\,\mathrm{d}t'$.) Поэтому

$$ - \dfrac{w^2/c^4}{\left(1-v^2/c^2\right)^3} = - \dfrac{a^2}{c^4} , $$

где

$$ w = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} . $$

Таким образом,

$$ \left(1-v^2/c^2\right)^{-3/2} \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a . $$

Это уравнение может быть записано в виде (в котором оно приведено в ЛЛ2)

$$ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = a . $$

[ShMaxG]

Александр Т. в сообщении #253794 писал(а):

$ - \dfrac{w^2/c^4}{\left(1-v^2/c^2\right)^3} = - \dfrac{a^2}{c^4} ,$
где $w=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.$

Т.е. значение $a$ зависит от системы отсчета, относительно которой мы вычисляем 4-ускорения $w^i$? Мне-то показалось, что $w^iw_i$ - это инвариант не зависящий от системы отсчета.
Но тогда в неподвижной с.о. $\[a \ne w\]$. Как это сочетается с $\[\frac{d} {{dt}}\frac{v} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} = w\] $ по книге и $\[\frac{d} {{dt}}\frac{v} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} = a\] $, как получилось у Вас?

[Александр Т.]

ShMaxG в сообщении #253835 писал(а):

Т.е. значение $a$ зависит от системы отсчета, относительно которой мы вычисляем 4-ускорения $w^i$? Мне-то показалось, что $w^iw_i$ - это инвариант не зависящий от системы отсчета.

Знвчение $w^iw_i$ не зависит от системы отсчета для релятивистского равноускоренного движения (РРД). Это — определение последнего. Обычное же ускорение

$$ w = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} $$

в любой системе отсчета зависит от времени (для РРД). Но в любой системе отсчета в тот момент, когда $v=0$, значение обычного ускорения равно одному и тому же числу (опять таки — это только для РРД). Я обозначил это число буквой $a$. Повторяю, что это число — константа и не зависит от системы отсчета.

[ShMaxG]

Александр Т.
А, я понял все. Спасибо большое!

[Александр Т.]

Александр Т. неправильно в сообщении #253944 писал(а):

Знвчение $w^iw_i$ не зависит от системы отсчета для релятивистского равноускоренного движения (РРД). Это — определение последнего.

Во-первых, не "Знвчение", а "Значение". В-третьих, $w^iw_i$ для любого движения не зависит от системы отсчета (т.к. является скалярным инвариантом), но может быть не константой. А во-вторых, то, что $w^iw_i$ является константой для релятивистского равноускоренного движения (РРД), является не определением РРД, а следствием из этого определения. Существуют движения, которые не являются РРД, но для которых $w^iw_i$ является константой.

Есть еще опечатки в моих сообщениях в этой теме. Жалко, что сейчас редактировать свои сообщения (спустя определенное время) нельзя.

Кстати, ShMaxG, Вам каким-то образом удалось отредактировать свое первое сообщение спустя почти 11 часов после его появления и после появления моего (первого) ответа. Вы для этого что-то специально предприняли, или у Вас просто в то время кнопка "правка" стояла под Вашим сообщением?

[peregoudov]

ShMaxG в сообщении #253769 писал(а):

И я не понимаю как получить такую простую левую часть из моей такой сложной...

Есть такое секретное равенство

$$ \frac d{dt}\frac1{\sqrt{1-v^2}}=v\frac d{dt}\frac v{\sqrt{1-v^2}}. $$

(Это на самом деле $dE=v\,dp$.) Применяете его к первому слагаемому в левой части и сразу получаете то, что нужно.

[ShMaxG]

peregoudov
Хм, как-то не замечал

Действительно, продифференцируем $\[{E^2} - {\left( {pc} \right)^2} = {\left( {m{c^2}} \right)^2}\]$, учтем, что $\[E = \frac{{m{c^2}}} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }},p = \frac{{mv}} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\] $ и придем к формуле

$\[\frac{d} {{dt}}\frac{1} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} = \frac{v} {{{c^2}}}\frac{d} {{dt}}\frac{v} {{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\]$

[Someone]

А можно просто вычислить $\displaystyle{\frac d{dt}\frac 1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$ и $\displaystyle{\frac v{c^2}\frac d{dt}\frac v{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$ и убедиться, что они равны.

[ShMaxG]

Someone
И правда. Мне почему-то показалось, что это не математическое тождество, а следствие уравнений динамики.