2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Постоянное ускорение в СТО
Сообщение21.10.2009, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Это задача из ЛЛ-2 после §7 главы 1. Проблема только в "раскрытии выражения " $\[{w^i}{w_i}\]$. Вот что у меня получается:

$\[\begin{gathered}
  {w^i} = \frac{{d{u^i}}}
{{ds}} = \frac{{dt}}
{{ds}}\frac{{d{u^i}}}
{{dt}} = \frac{1}
{{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^i}}}
{{dt}} \hfill \\
  {u^0} = \frac{1}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }};{u^1} = \frac{v}
{c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} \hfill \\
  {w ^i}{w _i} = {\left( {\frac{{d{u^0}}}
{{ds}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{d{u^1}}}
{{ds}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}
{{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^0}}}
{{dt}}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}
{{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^1}}}
{{dt}}} \right)^2} \hfill \\ 
\end{gathered} \]$

Подставляю и получаю:

$\[{\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{1}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} =  - \frac{{{w ^2}}}
{{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)\]$

Не понятно, как такое выражение преобразовать к виду из книжки.

[Тут был бред]

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение21.10.2009, 22:12 


06/12/06
347
ShMaxG в сообщении #253618 писал(а):
Это задача из ЛЛ-2 после §7 главы 1. Проблема только в "раскрытии выражения " $\[{\omega ^i}{\omega _i}\]$. Вот что у меня получается:

$\[\begin{gathered}
  {\omega ^i} = \frac{{d{u^i}}}
{{ds}} = \frac{{dt}}
{{ds}}\frac{{d{u^i}}}
{{dt}} = \frac{1}
{{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^i}}}
{{dt}} \hfill \\
  {u^0} = \frac{1}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }};{u^1} = \frac{v}
{c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} \hfill \\
  {\omega ^i}{\omega _i} = {\left( {\frac{{d{u^0}}}
{{ds}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{d{u^1}}}
{{ds}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}
{{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^0}}}
{{dt}}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}
{{c\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\frac{{d{u^1}}}
{{dt}}} \right)^2} \hfill \\ 
\end{gathered} \]$

$$
{w^i}{w_i} 
=
\dfrac{1}{c^2\left(1-v^2/c^2\right)}
\left[
\[{\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{1}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} 
\right]
$$
Цитата:
Подставляю и получаю:

$\[{\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{1}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} =  - \frac{{{\omega ^2}}}
{{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)\]$

Не понятно, как такое выражение преобразовать к виду из книжки

$$
{w^i}{w_i} 
=
\dfrac{1}{c^2\left(1-v^2/c^2\right)}
\left[
- \frac{{{w^2}}}
{{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)
\right]
=
-
\dfrac{w^2}{c^4}
$$
Цитата:
Подскажите пожалуйста, где ошибка?

Вместо $\omega$ нужно писать $w$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение21.10.2009, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Александр Т.
Вы меня не поняли.

$\[{\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{1}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} =  - \frac{{{w^2}}}
{{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)\]$

Это следует из инвариантного условия равноускоренности (из книги), это я расписал левую часть. А в книге приходят к

$\[\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} = w\]$

И я не понимаю как получить такую простую левую часть из моей такой сложной...

-- Чт окт 22, 2009 00:53:29 --

Вообще, я правильно понимаю, что 4-скорость в системе отсчета, в которой $v=0$ $u^i = (1,0,0,0)$ ? Или я вообще ничего не понимаю? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение22.10.2009, 01:33 


06/12/06
347
ShMaxG в сообщении #253769 писал(а):
Александр Т.
Вы меня не поняли.
Вы приложили к этому максимум усилий.

Цитата:
$\[{\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{1}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} =  - \frac{{{w^2}}}
{{{c^2}}}\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)\]$

Это следует из инвариантного условия равноускоренности (из книги), это я расписал левую часть.
А я-то думал, что Вы просто честно продифференцировали и упростили.

Оказывается, что если честно продифференцировать и упростить, то получится
$$
\[{\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{1}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} - {\left( {\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{c{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}} \right)^2} 
=
-
\dfrac{w^2/c^2}{\left(1-v^2/c^2\right)^2}
$$
и, соответственно,
$$
w^i w_i
=
-
\dfrac{w^2/c^4}{\left(1-v^2/c^2\right)^3}
.
$$
Но посмотрите, что написано в ЛЛ2 перед формулой
$$
w^i w_i
=
-
\dfrac{w^2}{c^4}
.
$$
Там говорится о значении инварианта $w^{i}w_{i}$ в собственной системе отсчета, т.е. там, где $v=0$. В этой системе отсчета, как показывает эта формула, инвариант $w^{i}w_{i}$ так просто выражается через значение обычного ускорения в тот момент, когда $v=0$. Это значение принимается за константу, характеризующую релятивистское равноускоренное движение, и поэтому я бы обозначил ее какой-нибудь другой буквой, например $a$:
$$
w^i w_i
=
-
\dfrac{a^2}{c^4}
.
$$

Если движение равноускоренное (в релятивистском смысле), то инвариант $w^{i}w_{i}$ должен быть постоянным. (В случае же произвольного движения он зависит от инвариантного параметра $s=с\int_0^t\sqrt{1-v^2(t')/c^2}\,\mathrm{d}t'$.) Поэтому
$$
-
\dfrac{w^2/c^4}{\left(1-v^2/c^2\right)^3}
=
-
\dfrac{a^2}{c^4}
,
$$
где
$$
w
=
\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
.
$$
Таким образом,
$$
\left(1-v^2/c^2\right)^{-3/2}
\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
=
a
.
$$
Это уравнение может быть записано в виде (в котором оно приведено в ЛЛ2)
$$
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
\dfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
=
a
.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение22.10.2009, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Александр Т. в сообщении #253794 писал(а):
$
-
\dfrac{w^2/c^4}{\left(1-v^2/c^2\right)^3}
=
-
\dfrac{a^2}{c^4}
,$
где $w=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.$


Т.е. значение $a$ зависит от системы отсчета, относительно которой мы вычисляем 4-ускорения $w^i$? Мне-то показалось, что $w^iw_i$ - это инвариант не зависящий от системы отсчета.
Но тогда в неподвижной с.о. $\[a \ne w\]$. Как это сочетается с $\[\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} = w\]
$ по книге и $\[\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} = a\]
$, как получилось у Вас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение22.10.2009, 18:41 


06/12/06
347
ShMaxG в сообщении #253835 писал(а):
Т.е. значение $a$ зависит от системы отсчета, относительно которой мы вычисляем 4-ускорения $w^i$? Мне-то показалось, что $w^iw_i$ - это инвариант не зависящий от системы отсчета.

Знвчение $w^iw_i$ не зависит от системы отсчета для релятивистского равноускоренного движения (РРД). Это — определение последнего. Обычное же ускорение
$$
w
=
\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
$$
в любой системе отсчета зависит от времени (для РРД). Но в любой системе отсчета в тот момент, когда $v=0$, значение обычного ускорения равно одному и тому же числу (опять таки — это только для РРД). Я обозначил это число буквой $a$. Повторяю, что это число — константа и не зависит от системы отсчета.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение22.10.2009, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Александр Т.
А, я понял все. Спасибо большое! :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение23.10.2009, 02:30 


06/12/06
347
Александр Т. неправильно в сообщении #253944 писал(а):
Знвчение $w^iw_i$ не зависит от системы отсчета для релятивистского равноускоренного движения (РРД). Это — определение последнего.

Во-первых, не "Знвчение", а "Значение". В-третьих, $w^iw_i$ для любого движения не зависит от системы отсчета (т.к. является скалярным инвариантом), но может быть не константой. А во-вторых, то, что $w^iw_i$ является константой для релятивистского равноускоренного движения (РРД), является не определением РРД, а следствием из этого определения. Существуют движения, которые не являются РРД, но для которых $w^iw_i$ является константой.

Есть еще опечатки в моих сообщениях в этой теме. Жалко, что сейчас редактировать свои сообщения (спустя определенное время) нельзя.

Кстати, ShMaxG, Вам каким-то образом удалось отредактировать свое первое сообщение спустя почти 11 часов после его появления и после появления моего (первого) ответа. Вы для этого что-то специально предприняли, или у Вас просто в то время кнопка "правка" стояла под Вашим сообщением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение26.10.2009, 00:53 


10/03/07
480
Москва
ShMaxG в сообщении #253769 писал(а):
И я не понимаю как получить такую простую левую часть из моей такой сложной...
Есть такое секретное равенство :wink:
$$
\frac d{dt}\frac1{\sqrt{1-v^2}}=v\frac d{dt}\frac v{\sqrt{1-v^2}}.
$$
(Это на самом деле $dE=v\,dp$.) Применяете его к первому слагаемому в левой части и сразу получаете то, что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение26.10.2009, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
peregoudov
Хм, как-то не замечал :)

Действительно, продифференцируем $\[{E^2} - {\left( {pc} \right)^2} = {\left( {m{c^2}} \right)^2}\]$, учтем, что $\[E = \frac{{m{c^2}}}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }},p = \frac{{mv}}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\]
$ и придем к формуле

$\[\frac{d}
{{dt}}\frac{1}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }} = \frac{v}
{{{c^2}}}\frac{d}
{{dt}}\frac{v}
{{\sqrt {1 - {v^2}/{c^2}} }}\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение26.10.2009, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
А можно просто вычислить $\displaystyle{\frac d{dt}\frac 1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$ и $\displaystyle{\frac v{c^2}\frac d{dt}\frac v{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$ и убедиться, что они равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постоянное ускорение в СТО
Сообщение26.10.2009, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
Someone
И правда. Мне почему-то показалось, что это не математическое тождество, а следствие уравнений динамики.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group