Почему парадокс Рассела - корректная формулировка?

[ewert]

epros в сообщении #241173 писал(а):

Книга библиотеки может содержать ссылку на себя.

А вот это уж -- откровенное жульничество (не Ваше лично, конечно, но от этого лучше не становется). Католог всех каталогов, как бы ни был он всемогущ -- есть не более чем множество ссылок, а вовсе не каталогов. Несолидно.

[georg38]

Парадокс разрешается элементарно.путем представления бесконечного множества итерационных включений..!

[epros]

ewert в сообщении #241291 писал(а):

epros в сообщении #241173 писал(а):

Книга библиотеки может содержать ссылку на себя.

А вот это уж -- откровенное жульничество (не Ваше лично, конечно, но от этого лучше не становется). Католог всех каталогов, как бы ни был он всемогущ -- есть не более чем множество ссылок, а вовсе не каталогов. Несолидно.

Во-первых, речь была о парадоксе Рассела, а не о парадоксе Кантора. Ещё раз: в формуле
$\forall y ~ y \notin y \leftrightarrow y \in x$
смысл значка $\in$ не имеет никакого значения. Имеет значение только то, что такого $x$ не существует, что доказывается совершенно формально, независимо от интерпретации. Поэтому все интерпретации равноправны: по Расселу (про множества), про брадобрея, про библиотеку.

Во-вторых, если Вы всё же хотите поговорить про парадокс Кантора, то в интерпретации библиотеки он просто не возникнет, и всё. В библиотеке может существовать каталог всех книг библиотеки, он будет книгой и будет содержать ссылку на себя. Парадокс Кантора возникает только при введении бесконечных кардинальных чисел. Библиотека же вполне может быть конечной.

[Lyosha]

Парадокс РАССЕЛА таковым не является.ИЗ того что это множество не является своим элементом следует что оно является своим собственным элементом.Но из того что оно является своим собственным элементом обратного не следует,т.к. для этого нужно постулировать еще одно свойство:ни каких других множеств оно не содержит(ни в одной фор-ке этого нет)

[AD]

Lyosha в сообщении #253792 писал(а):

ИЗ того что это множество не является своим элементом следует что оно является своим собственным элементом.

Ну вот это - уже противоречие.

[Lyosha]

Это противоречие лишь доказывает что это множ.является своим собственным элементом.Причем свойство содержать не определяет какое-то одно единств.множ.Хочу отметить,что недостаточо указать элементы множества,надо добавить то,что они являются единственными.Например,св-во:множ.всех натур.чисел,но множ.всех рац.чисел удовл.этому свойству.

[PAV]

Lyosha: правила форума запрещают существенные грамматические искажения, затрудняющие восприятие текста. Пишите слова полностью, без сокращений.

[AD]

Lyosha, для любого свойства $\phi(x)$ обозначение $\{x\in A: \phi(x)\}$ трактуется вполне однозначно - как множество тех и только тех $x\in A$, для которых выполнено свойство $\phi(x)$. Фраза "множество всех натуральных чисел" тоже однозначно трактуется как $\mathbb{N}$. Боюсь, еще никто, кроме Вас, не обзывал $\mathbb{Q}$ множеством всех натуральных чисел. Вы готовы привести пруфлинки в своё оправдание?

[Lyosha]

Я не обзывал множество рациональных чисел множеством натуральных!Ведь относительно фразы "множество всех натуральных чисел" я не утверждал,что она - характеристическое свойство.
Что касается характеристического свойства "множество тех множеств которые не являются элементами самих себя",то это на самом деле это - 2 свойства,а не одно.Давайте считать:
1.Множество содержит все множества,не являющиися элементами самих себя(из него следует,при условии что множество несамосодержащее,что оно самодержащее).
2.Все элементы множества суть несамосодержащие множества(из него следует,при условии что множество самосодержащее,что оно несамосодержащее).
Существование такого множества принимается без доказательства,т.е. свойства этого множества являются аксиомами,задающими это множество.Убирая одну из этих аксиом,противоречия не получается.Поэтому рассуждение в парадоксе РАССЕЛА говорит о противоречивости аксиом и о несуществовании такого множества.Значит парадокс не ставит никаких новых проблем,а остается старая -противоречивость или непротиворечивость системы аксиом.
Считая вышесказанное достаточным для прояснения сути парадокса РАССЕЛА,сделаю следующее замечание.Хотя понятие множества относится к первичным,неопределяемым понятиям,оно,по-видимому,ассоциируется с самими объектами с заданными свойствами.Но множество - это новый объект,находящийся в отношении "содержать" со своими элементами.Приминительно к парадоксу РАССЕЛА это означает,что не доказано несуществование всех несамосодержащих множеств(подчеркну,что это - не характеристическое свойство),а доказано лишь то,что не существует множества,находящегося в отношении "содержать в качестве элемента" с каждым из таких множеств.
P.S.Что такое пруфлинки?

[Someone]

Lyosha в сообщении #254043 писал(а):

Хочу отметить,что недостаточо указать элементы множества,надо добавить то,что они являются единственными.Например,св-во:множ.всех натур.чисел,но множ.всех рац.чисел удовл.этому свойству.

Вы заблуждаетесь. Общепринятое употребление этой терминологии таково: "множество всех натуральных чисел" никаких других элементов, кроме натуральных чисел, не содержит. Поэтому "множество всех рациональных чисел" этому "свойству" не удовлетворяет.

В частности, "множество всех множеств, которые не являются своими элементами", не может содержать множеств, которые, напротив, являются своими элементами.

Если Вы будете настаивать на своём понимании, то останетесь при своём мнении, и только. Никого убедить Вы не сможете.

Вообще, это очень забавно наблюдать: является некто и заявляет, что все математики в течение последних ста с лишним лет были полными идиотами, не понимающими собственной терминологии, и не смогли разглядеть совершенно элементарную ошибку. Вам не кажется, что Вы несколько самонадеянны?

[RIP]

Lyosha в сообщении #255034 писал(а):

P.S.Что такое пруфлинки?

Это ссылки, подтверждающие Ваши слова. Например, http://prooflink.ru/ (шучу)

[Lyosha]

Someone в сообщении #255038 писал(а):

Вы заблуждаетесь. Общепринятое употребление этой терминологии таково: "множество всех натуральных чисел" никаких других элементов, кроме натуральных чисел, не содержит. Поэтому "множество всех рациональных чисел" этому "свойству" не удовлетворяет.

В частности, "множество всех множеств, которые не являются своими элементами", не может содержать множеств, которые, напротив, являются своими элементами.

Но дело совсем не в терминологии.От пониманния терминов изменится лишь форма ответа.Я и не настаивал на таких терминах.Очевидно,что такие термины не позволят избежать парадокса Рассела(путем добавления свойства:R не содержит ничего кроме несамосодержащих множеств он возникает).Этим я лишь хотел показать,что множество не задается одним единственным свойством.Более подробное изложение в моем предыдущем сообщении,на которое мне по сути так никто и не ответил!

[rishelie]

Lyosha в сообщении #256513 писал(а):

множество не задается одним единственным свойством

еще как задается, например, пустое
более того, Вы сами же не сможете определить что такое "одно свойство"
парадокс Расселла лишь говорит о том, что не всякое свойство задает множество, ввиду чего и были введены конструктивные (и не очень) свойства, определяющие построение множеств.
и, заметьте, за прошедшие 100 лет они не дали сбоя в смысле логической совместимости
и даже аксиома регулярности никому жизнь не испортила

[Someone]

Lyosha в сообщении #256513 писал(а):

Но дело совсем не в терминологии.

Ну, Вы попались на неправильном понимании общепринятой терминологии.

Lyosha в сообщении #256513 писал(а):

Этим я лишь хотел показать,что множество не задается одним единственным свойством.

Что такое "одно единственное свойство"? Я знаю просто свойство: высказывание с одной свободной переменной.

Lyosha в сообщении #256513 писал(а):

Очевидно,что такие термины не позволят избежать парадокса Рассела(путем добавления свойства:R не содержит ничего кроме несамосодержащих множеств он возникает).

Причина парадокса, однако, не в том, что свойства "совокупность включает все множества, не содержащие себя в качестве элемента" и "совокупность не включает ни одного множества, содержащего себя в качестве элемента" противоречат друг другу. Нисколько они друг другу не противоречат. Мы имеем полное право рассмотреть совокупность всех множеств, которые не являются своими элементами (и, в соответствии с общепринятым соглашением, не включающую никаких лишних элементов). Никаких противоречий при этом не возникнет, пока нам не взбредёт в голову идея предположить, что данная совокупность является множеством. Так что причина парадокса состоит именно в том, что данное свойство ("множество не является своим элементом") определяет совокупность, которую нельзя рассматривать как множество. Точно так же никто не запрещает рассматривать совокупность всех множеств, но эта совокупность также не является множеством.

Lyosha в сообщении #256513 писал(а):

Более подробное изложение в моем предыдущем сообщении,на которое мне по сути так никто и не ответил!

Не вижу, на что там надо отвечать. Оно, по-моему, не содержит ничего нового по сравнению с более ранними сообщениями. Просто более подробное. Или я что-то пропустил?

[Lyosha]

Someone в сообщении #258312 писал(а):

Причина парадокса, однако, не в том, что свойства "совокупность включает все множества, не содержащие себя в качестве элемента" и "совокупность не включает ни одного множества, содержащего себя в качестве элемента" противоречат друг другу. Нисколько они друг другу не противоречат.

А это и не оспариволось.Речь шла о двух высказываниях "множество,содержащее все несамосодержащие множества" и "множество не содержащее самосодержащие множества",которые в силу того,что речь идет об одном и том же множестве и того,что любое множество "содержит" или "не содержит" какой-либо объект,противоречат друг другу.

rishelie в сообщении #258243 писал(а):

Lyosha в сообщении #256513 писал(а):

множество не задается одним единственным свойством

еще как задается, например, пустое
более того, Вы сами же не сможете определить что такое "одно свойство"

С пустым множеством каюсь,не заметил.Но это,наверное, исключительный случай.Что касается определения "одного свойства",то под этим я понимаю простое(несоставное,без пропозициональных связок) высказывание о множестве.Само же характеристическое свойство является конъюнкцией двух высказываний.

Someone в сообщении #258312 писал(а):

Lyosha в сообщении #256513 писал(а):

Более подробное изложение в моем предыдущем сообщении,на которое мне по сути так никто и не ответил!

Не вижу, на что там надо отвечать. Оно, по-моему, не содержит ничего нового по сравнению с более ранними сообщениями. Просто более подробное. Или я что-то пропустил?

Я полагаю,что если бы Вы внимательнее его читали,то не стали бы мне излагать свою позицию о причине парадокса,т.к.в моем сообщении содержится изложение по сути той же позиции.Но тогда я хочу задать вопрс:"А в чем Вы видете здесь парадокс?".Например,в статье "Антиномии"(БЭС,"Математика") говорится о свойстве такого множества и,по-видимому,удивление вызывает то,что из одного свойства вывели два противоречащих друг другу высказывания.Но характеристическое свойство есть конъюнкция двух высказываий.К тому же делать выводы из названия определяемого термина в высшей степени странно.Там же спрашивается:"Какие свойства определяют множества,а какие нет?".Но эта проблема не является новой(по сути - это вопрос о непротиворечивости).Быть может удивление вызывает рассоглосование с интуицией,но то,как может подводить нас интуиция видно на примере истории с геометрией Лобачевского.