О сумме двух кубов

[tolstopuz]

ljubarcev в сообщении #249622 писал(а):

Но из этого доказательства не очевидно, что решений нет и при $x$, делящемся на $3^2$. Я позволил себе, и модереторы сочли это допустимым, привести его и в этой моей теме в посте 243563. А сыр бор разгорелся вокруг моих полыток доказательства для случая $x=3^2mx_1$ при $m;x_1$ не делящихся на $3$. Я убеждён, что такое доказательство должно существовать, так как числа $x$ делящиеся на $3^2$ являются элементами множества $x$ делящихся на $3$.

Известно, что кубинские щелезубы живут на Кубе, но неочевидно, что это справедливо для гаитянских щелезубов. Я убежден, что гаитянские щелезубы тоже живут на Кубе, так как гаитянские щелезубы являются элементами множества щелезубов.

[ljubarcev]

shwedka в сообщении #249631 писал(а):

ljubarcev в сообщении #249622 писал(а):

Но из этого доказательства не очевидно, что решений нет и при $x$, делящемся на $3^2$

Точнее, это доказательство не охватывает случай $x$, делящегося на $3^2$

Уважаемая Shwedka ! Прошу прощения, но посмотрите такое рассуждение.
Мы с Вами доказали:
1. Если выполняется равенство $X^3+Y^3=Z^3$ при произвольных $X;Y;Z;$ то оно должно выполняться и при попарно взаимно простых $x;y;z;$.
2. Чтобы равенство $x^3+y^3=z^3;$ выполнялось одно и только одно из чисел $x;y;z;$ должно делиться на $3^1$.
3. Предположив, что на $3^1$ делится $x$ доказали, что решений нет. Это значит, что равенствy $x_1^3=\frac{z^3-y^3}{3^3}$ не удовлетворяет ни одна пара взаимно простых не делящихся на $3$ натуральных чисел $z;y$ из ВСЕГО бесконечного их числа.
4. Вцелом доказано, что число

$$\frac{z^3-y^3}{3^3}$$

не может быть целым при любых $z;y$.
5. Теперь при $x$ делящемся на $3^2$.
При $x$ делящемся на $3^2$ должно выполняться равенство $x_1^3=\frac{z^3-y^3}{3^6}$. Ясно, что оно выполняться то же не может, так как среди ВСЕХ пар чисел $z;y;$ нет такой пары разность кубов которых делится даже на $3^3$, а тем более на $3^6$. Получается, что должна существовать такая пара чисел $z;y;$ разность кубов которых делится на $3^6$ в тоже время как ни одна из таких разностей не делится на $3^3$. Но ведь так не бывает.
Дед.

[Someone]

ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

Предположив, что на $3^1$ делится $x$ доказали, что решений нет.

Насколько я помню, доказали не это. Доказали следующее: если число $x$ делится на $3^1$, но не делится на $3^2$, то решений нет. Поэтому случай, когда $x$ делится на $3^2$, нужно рассматривать отдельно, причём, предыдущее доказательство не проходит. И, более того, существует контрпример к доказательствам, использующим только делимость на степени тройки.

ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

При $x$ делящемся на $3^2$ должно выполняться равенство $x_1^3=\frac{z^3-y^3}{3^6}$. Ясно, что оно выполняться то же не может, так как среди ВСЕХ пар чисел $z;y;$ нет такой пары разность кубов которых делится даже на $3^3$, а тем более на $3^6$.

Неправда. Например,

$$5923^3-1792^3=(5923-1792)(5923^2+5923\cdot 1792+1792^2)=4131\cdot 48907209=17\cdot 3^5\cdot 3\cdot 16302403=3^6\cdot 277140851\text{.}$$

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

Это значит, что равенствy $x_1^3=\frac{z^3-y^3}{3^3}$ не удовлетворяет ни одна пара взаимно простых не делящихся на $3$ натуральных чисел $z;y$ из ВСЕГО бесконечного их числа.

Неправда. Это доказано только для $x_1$, не делящихся на 3.

ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

среди ВСЕХ пар чисел $z;y;$ нет такой пары разность кубов которых делится даже на $3^3$, а тем более на $3^6$.

Вот это Вы и докажите!

[ljubarcev]

Someone в сообщении #251480"

[quote="ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

При $x$ делящемся на $3^2$ должно выполняться равенство $x_1^3=\frac{z^3-y^3}{3^6}$. Ясно, что оно выполняться то же не может, так как среди ВСЕХ пар чисел $z;y;$ нет такой пары разность кубов которых делится даже на $3^3$, а тем более на $3^6$.

Цитата:

Неправда. Например,

$$5923^3-1792^3=(5923-1792)(5923^2+5923\cdot 1792+1792^2)=4131\cdot 48907209=17\cdot 3^5\cdot 3\cdot 16302403=3^6\cdot 277140851\text{.}$$

Уважаемый Someone ! Я поражаюсь Вашей способностью находить такие сложные контрпримеры. К сожалению в рассматриваемом случае Ваш контрпример не годится. Вы не обратили внимание на левую часть равенсва

$$x_1^3=\frac{z^3-y^3}{3^6}$$

из которого очевидно, что после деления разности кубов на $3^6$ должен получаться куб. В Вашем же примере получается число $17\cdot 16302403$, которое кубом не является.
Дед.

[shwedka]

повторяю

shwedka в сообщении #251497 писал(а):

ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

Это значит, что равенствy $x_1^3=\frac{z^3-y^3}{3^3}$ не удовлетворяет ни одна пара взаимно простых не делящихся на $3$ натуральных чисел $z;y$ из ВСЕГО бесконечного их числа.

Неправда. Это доказано только для $x_1$, не делящихся на 3.

ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

среди ВСЕХ пар чисел $z;y;$ нет такой пары разность кубов которых делится даже на $3^3$, а тем более на $3^6$.

Вот это Вы и докажите!

[Someone]

ljubarcev в сообщении #251664 писал(а):

К сожалению в рассматриваемом случае Ваш контрпример не годится. Вы не обратили внимание на левую часть равенсва

$$x_1^3=\frac{z^3-y^3}{3^6}$$

из которого очевидно, что после деления разности кубов на $3^6$ должен получаться куб.

Извините, Вы не поняли. Это контрпример к утверждению, сформулированному Вами в виде отдельного предложения:

ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

Ясно, что оно выполняться то же не может, так как среди ВСЕХ пар чисел $z;y;$ нет такой пары разность кубов которых делится даже на $3^3$, а тем более на $3^6$.

Здесь ничего не говорится про то, что частное должно быть кубом.
Если же Вы теперь дополнительно требуете, чтобы частное было кубом, то это утверждение становится равносильным теореме Ферма для показателя $3$, то есть, Вы ссылаетесь на то самое утверждение, которое должны доказать. Получается так называемый "порочный круг", который делает доказательство несуществующим.

Но Вы хотя бы поняли, что случай $x$, делящегося на $3^2$, нужно рассматривать отдельно?

[Виктор Ширшов]

ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

2. Чтобы равенство $x^3+y^3=z^3;$ выполнялось одно и только одно из чисел $x; y; z;$ должно делиться на$3^1$.

ljubarcev. Может пойти другим путём? Равенство вида $x^3+y^3=z^3$ делить на $z$. Мне представляется, здесь больше перспектив. В самом деле, если каждое из слагаемых суммы $x^3+y^3$ делится на $z$, то должны получить либо $x^2+y^2=z^2$, либо $x^2+y^2$$\ne$$z^2$. Первое невозможно, так как $x<z>y$

[ljubarcev]

Цитата:

Someone в сообщении #251709
Но Вы хотя бы поняли, что случай $x$, делящегося на $3^2$, нужно рассматривать отдельно?

Уважаемый Someone ! Давайте рассмотрим. Вы ведь согласны, что доказано: равенство $x^3+y^3=z^3$ при $x=3x_1$ не выполняется. Из этого следует, что $\frac{z-y}{3^3}\neq x_1^3$, то есть $\frac{z-y}{3^3}$ не може быть кубом никакого числа $x_1$.

Теперь возьмем случай $x_1=3x_2$ и получим $\frac{z-y}{3^3}\neq x_1^3=3^3x_2^3$ , тогда должно выполняться
$\frac{z-y}{3^3}\neq 3^3x_2^3$ и $\frac{z-y}{3^6}\neq x_2^3$. Откуда видно, что $\frac{z-y}{3^6}$ так же не может быть кубом ни при каком натуральном $x_2$. Вывод: так как нет числа $x_1$, удовлетворяющего равенству $x^3+y^3=z^3$, то нет и числа $x_2$, удовлетворяющего такому равенству.
Дед.

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #251920 писал(а):

доказано: равенство $x^3+y^3=z^3$ при $x=3x_1$ не выполняется.

Неправда. Это не доказано.

[Someone]

ljubarcev в сообщении #251920 писал(а):

Вы ведь согласны, что доказано: равенство $x^3+y^3=z^3$ при $x=3x_1$ не выполняется.

Нет, не согласен. Доказано утверждение с другими условиями: если $x=3x_1$, и при этом $x_1\neq 3x_2$, то равенство $x^3+y^3=z^3$ (с натуральными $x,y,z,\text{ а также }x_1,x_2$) не выполняется.

Вообще, Ваша невменяемость в этом пункте меня уже утомила. Найдите, пожалуйста, своё доказательство этого случая - то, которое было признано верным, и процитируйте его здесь. Вот и посмотрим, что там доказывалось.

[shwedka]

Присоединяюсь. ljubarcev, вы многократно повторяли, что

ljubarcev в сообщении #251920 писал(а):

доказано: равенство $x^3+y^3=z^3$ при $x=3x_1$ не выполняется.

Приведите доказательство. Не далекой ссылкой, а цитатой.

[Гаджимурат]

shwedka в сообщении #251957 писал(а):

Неправда. Это не доказано.

Правда. Это доказано! И это справедливо для любой степени $n$,если $n$ число простое. Это справедливо и для $n=2$,т.как 2 -число простое.
Если Вы найдете хоть одно решение для второй степени,где $y$ делится на 2 и не больше,то я брошу курить,что не могу сделать вот уже 54 года.
И еще.Если Ур-ние Ф. имеет решение в целых числах и $xyz$ являются его решением,то обязательно $xyz$ делятся на $n^2,3,5,7$.Если на 7 не делятся ,то
$y-x$ разделится на 7, а для второй степени,если и $y-x$ не делится на 7,то
$y+x$ разделится на 7. Проверьте все на второй степени.

[shwedka]

Гаджимурат в сообщении #252207 писал(а):

Правда,правда. Это доказано!

Приведите доказательsтво, принадлежащее Любарцеву..

[ljubarcev]

shwedka в сообщении #252209 писал(а):

Гаджимурат в сообщении #252207 писал(а):

Правда,правда. Это доказано!

Приведите доказательsтво, принадлежащее Любарцеву..

Уважаемая Shwedka ! Не совсем понятно, что Вы хотите. Ведь уже более года как мы с вами в моей теме «О «последнем» утверждении Ферма» доказали, что равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных числах при $x$ делящемся на $3$, то есть при $x=3x_1$. Для удобства публики я уже цитировал это доказательство в этой теме. Конечно, если привести полное доказательство, начиная с произвольных $x;y;z$ - уложиться в 20000 знаков, я думаю, вполне возможно, но я опасаюсь неблагоприятной реакции модераторов. Уточните, пожалуйста, что именно Вы хотите.
Дед.