О сумме двух кубов

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #252212 писал(а):

Ведь уже более года как мы с вами в моей теме «О «последнем» утверждении Ферма» доказали, что равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных числах при $x$ делящемся на $3$, то есть при $x=3x_1$.

Неправда! Такое не было доказано!
Приведите 'окончательный вариант', и разберемся, что, в действительности, доказано.
это же так просто. Найдите 'доказательство', скопируйте и вклейте сюда.

Напоминаю правила Форума

Цитата:

3.3. Не допускаются аргументы типа: "Я уже отвечал на этот вопрос, а если вы мой ответ не поняли - это не мое дело". Ответить на вопрос так, чтобы его поняли и приняли, является заботой автора темы. Не допускаются отписки вида: "Перечитайте внимательно мой текст, там есть ответ на ваш вопрос". Если вопрос задан, то это значит, что участник не видит ответа на него. Автор темы обязан либо ответить на вопрос, либо процитировать свой ответ, если полагает, что он уже был дан раньше.

[Someone]

Нашёл: http://dxdy.ru/post243563.html#p243563.

Цитата:

.
.
.
Утверждение 3. Должно выполняться, например, $z-y=9m^3$:
$z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
Для любых чисел $x;y;z$ справедливо равенство $(x+y-z)^3= y^3+x^3-z^3+3(x+y)(z-x)(z-y)$. Так как в нашем случае $x+y-z=3t$; а
$ y^3+x^3-z^3 =0$, то должно быть $t^3=((x+y)(z-x)(z-y)/3^2$.
Очевидно, что при взаимно простых $(x+y);(z-x);(z-y)$ одно и только одно из них должно делится на $3^2$. Действительно, так как слева мы имеем $t^3$, куб, то число справа должно быть целым кубом, а это возможно только если два из чисел $(x+y);(z-x);(z-y)$ являются кубами, а одно равно девяти кубам, то есть должно быть, например,
$z-y=9m^3$: $z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
.
.
.
Утверждение 5. Должно быть $x=3mx_1$.
Положив $z-y=9m^3$, мы тем самым определили, что из тройки $x;y;z$ именно число $x$ должно делиться на 3. Действительно. Из $x^3+y^3=z^3$ следует $x^3/(9m^3)=z^2+zy+y^2$, откуда видно, что $x$ должно делиться на $3m$, то есть должно быть $x=3mx_1$.
.
.
.
Утверждение 8. Равенство $x^3+y^3=z^3$ не выполняется в натуральных числах при $x$ делящемся на $3$. Доказательство.
Любая тройка натуральных чисел $x;y;z$ удовлетворяет тождеству $2(x+y-z)=(x+y)-(z-x)-(z-y)$. Доказано, что в нашем случае должно быть $x+y-z=3mgk$; $x+y=g^3$; $z-x=k^3$; $z-y=9m^3$. После подстановки видно, что должно быть: $6mgk=g^3-k^3-9m^3$.
$6mgk+9m^3=g^3-k^3$ и после деления всего равенства на $9$ получим: $(2mgk)/3=(g^3-k^3)/9$ В этом равенстве число справа будет целым, так как при числах $g$ и $k$ не делящихся на 3 (ведь это множители чисел $z;y$), число $g^3-k^3$ всегда делится на $9$. Действительно. При числах $g$ и $k$ не делящихся на 3 должно быть $g=3g_1+1$; $k=3k_1+1$. Тогда $g^3-k^3=27(g_1^3-k_1^3)+27(g^2-k^2)+9(g_1-k_1)$. $(g^3-k^3)/9=3(g_1^3-k_1^3)+3(g_1^2-k_1^2)+(g_1-k_1)$ и , очевидно, что число справа целое, как сумма целых чисел, следовательно и число $(g^3-k^3/9$ целое. Таким образом, в равенстве $(2mgk)/3=(g^3-k^3)/9$ число справ – целое. В то же время число слева $(2mgk)/3$ при взаимно простых $g;k;m$ не делящихся в нашем случае на $3$ натуральных числах, очевидно, целым быть не может. Следовательно, равенство $(2mgk)/3=(g^3-k^3)/9$ не может выполняться в натуральных числах. А ведь должно ! Это противоречие доказывает, что все выше приведенные равенства, эквивалентные последнему (все они могут быть получены из него путём обратных преобразований), в том числе и исходное предположение
$x^3+y^3=z^3$ выполняться не могут. Чтд.

Известно, что если $x$ делится на $3^p$, $p>0$, и не делится на $3^{p+1}$, то $z-y$ делится на $3^{3p-1}$, а $z^2+yz+y^2$ делится на $3$ и не делится на $9$. Тогда $m$, как оно определено в Утверждении 3, должно делиться на $3^{p-1}$ и не делиться на $3^p$.
В Утверждении 5 показано, что при сделанных предположениях $x=3mx_1$, а в выделенной фразе (в доказательстве утверждения 8) явно сказано, что $m$ не делится на $3$, поэтому неявно предполагается, что $p=1$, то есть, рассматривается случай, когда $x$ делится на $3$, но не делится на $3^2$.

Поэтому случай, когда $x$ делится на $3^2$[/b], требует отдельного доказательства, так как в этом случае число $(2mgk)/3$, очевидно, целое, и противоречия не получается.

[grisania]

Someone в сообщении #252247 писал(а):

Поэтому случай, когда $x$ делится на $3^2$[/b], требует отдельного доказательства, так как в этом случае число $(2mgk)/3$, очевидно, целое, и противоречия не получается.

Можно доказать, что если $x$ делится на $3$, то также делится на $3^2$. То есть деление на $3$ не отдельный случай, а общий, поскольку из 1-ого случая теоремы Ферма для тройки следует, что одно из чисел $x, y, z $ всегда делится $3$. Если, например, $z$ делится на $3$, то можно доказать, что $x-y$ делится на $3^5$.

[shwedka]

grisania в сообщении #252278 писал(а):

Можно доказать, что если $x$ делится на $3$, то также делится на $3^2$

Не спорю. И что это вам дает? вы же хотите доказать, что такое невозможно!

[Someone]

grisania в сообщении #252278 писал(а):

Можно доказать, что если $x$ делится на $3$, то также делится на $3^2$. То есть деление на $3$ не отдельный случай, а общий, поскольку из 1-ого случая теоремы Ферма для тройки следует, что одно из чисел $x, y, z $ всегда делится $3$. Если, например, $z$ делится на $3$, то можно доказать, что $x-y$ делится на $3^5$.

Вы не поняли происходящего. То, что изложил ljubarcev, фактически и есть доказательство того, что число $x$ (или $y$, или $z$) делится на $3^2$. Но теперь ljubarcev отказывается рассматривать случай, когда $x$ делится на $3^2$, ссылаясь на то, что если $x$ делится на $3^2$, то $x$ делится и на $3$.

[Виктор Ширшов]

ljubarcev в сообщении #251475 писал(а):

2. Чтобы равенство $x^3+y^3=z^3$ выполнялось одно и только одно из чисел $x; y; z;$ должно делиться на $3$.

Известный пример: $3^3+4^3\ne5^3$
Убийственный пример: $6^3+12^3\ne 18^3$

[grisania]

shwedka в сообщении #252293 писал(а):

grisania в сообщении #252278 писал(а):

Можно доказать, что если $x$ делится на $3$, то также делится на $3^2$

Не спорю. И что это вам дает? вы же хотите доказать, что такое невозможно!

Это не я хочу доказать, а хотят другие. Я наоборот указываю, что это невозможно. То есть, если в равенстве $x^3+y^3=z^3$ хотя бы одно из чисел делится на $3$, то оно делится на $3^2$. А то, что хотя бы одно из чисел делится на $3$, выполняется всегда, если равенство $x^3+y^3=z^3$ верно. Это называется 1-ый случай ВТФ для тройки

[Гаджимурат]

grisania в сообщении #252278 писал(а):

Если, например,$z$ делится на$3$ , то можно доказать, что $x-y$ делится на $3^5$.

grisania! Если то,что Вы написали правда,Вы доказали ,что ур-ние Ф. для 3 степени не имеет решения в целых числах для случая,когда $z$ делится на $3$.Почему?.В данном случае $x+y=\frac{c^3}3$ и т.как $c$ делится на 9,то $x+y$ делится на $3^5$. Если это так,то $x-y+x+y$ делится на $3^5$ и
$2x$ делится на $3^5$. Я думаю,что Вы просто перепутали знаки.
Для любой степени $n$ справедливо: $z$ делится на $n^k$ ,то $x+y$ делится на $n^{kn-1}$.

[grisania]

Гаджимурат в сообщении #252488 писал(а):

grisania в сообщении #252278 писал(а):

Если, например,$z$ делится на$3$ , то можно доказать, что $x-y$ делится на $3^5$.

grisania! Если то,что Вы написали правда,Вы доказали ,что ур-ние Ф. для 3 степени не имеет решения в целых числах для случая,когда $z$ делится на $3$.Почему?.В данном случае $x+y=\frac{c^3}3$ и т.как $c$ делится на 9,то $x+y$ делится на $3^5$. Если это так,то $x-y+x+y$ делится на $3^5$ и
$2x$ делится на $3^5$. Я думаю,что Вы просто перепутали знаки.
Для любой степени $n$ справедливо: $z$ делится на $n^k$ ,то $x+y$ делится на $n^{kn-1}$.

Наверно перепутал, но вот про деление на ${{3}^{2}}$.
Уравнение Ферма для третьей степени имеет вид
${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$.
Удобно записать это уравнение в симметричном виде, положив $z\equiv -z$, тогда
${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=0$
Из известной формулы ${{\left( x+y+z \right)}^{3}}={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+3\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( y+z \right)$ (ljubarcev в каком-то посте её приводил) имеем
${{\left( x+y+z \right)}^{3}}=3\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( y+z \right)$
Отсюда $x+y+z$ делится на $3$, а тогда число
$3\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( y+z \right)$
делится на ${{3}^{3}}$, но тогда $\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( y+z \right)$ делится на ${{3}^{2}}$. Откуда следует, что одно из чисел $x+y$, $x+z$, $y+z$ делится на ${{3}^{2}}$ в силу взаимной простоты чисел $x+y$, $x+z$, $y+z$. Пусть это будет $x+y$, тогда из того, что $x+y+z$ делится на $3$ имеем, что $z$ делится на $3$.
Следовательно, доказан 1-ый случай теоремы Ферма, который гласит, что если числа удовлетворяют равенству ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=0$, то одно из этих чисел обязательно делится на $3$.
Идем дальше. Мы предположили, что $x+y$ делится на $3$ и при этом очевидно, что числа $x+y$, $x+z$, $y+z$ взаимно просты. Тогда в равенстве
${{\left( x+y+z \right)}^{3}}=3\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( y+z \right)$
числа $3\left( x+y \right)$ и $\left( x+z \right)\left( y+z \right)$ взаимно просты. Поэтому существуют такие $u$ и $v$, что
${{v}^{3}}=3\left( x+y \right)$
${{u}^{3}}=\left( x+z \right)\left( y+z \right)$
Так как числа $x+z$, $y+z$ взаимно просты, то существуют такие $s$ и $t$, что
${{s}^{3}}=x+z$
${{t}^{3}}=y+z$
Откуда ${{t}^{3}}+{{s}^{3}}=x+y+2z$, где $x+y$ и $z$ делится на $3$, а тогда ${{t}^{3}}+{{s}^{3}}$ делится на $3$. Используя трюк, описанный на ветке post252507.html#p252507 доказываем, что в этом случае ${{t}^{3}}+{{s}^{3}}$ делится на ${{3}^{2}}$. Но поскольку раньше было доказано, что $x+y$ делится на ${{3}^{2}}$, то из равенства ${{t}^{3}}+{{s}^{3}}=x+y+2z$ следует, что $z$ делится на ${{3}^{2}}$.
Все, но из этого никак не получить ВТФ для тройки. Все арифметические операции типа четно, нечетно, делится на данное число не помогут.

[ljubarcev]

grisania в сообщении #252278 писал(а):

Можно доказать, что если $x$ делится на $3$, то также делится на $3^2$. То есть деление на $3$ не отдельный случай, а общий, поскольку из 1-ого случая теоремы Ферма для тройки следует, что одно из чисел $x, y, z $ всегда делится $3$. Если, например, $z$ делится на $3$, то можно доказать, что $x-y$ делится на $3^5$.

Увыжаемый grisania ! Возможно Вы и правы в том, что если $x$ делится на $3$, то также делится на $3^2$. Но дело в том, что доказано: равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений при $x$ делящемся на $3^1$. Someone выше процитировал это моё доказательство почти полностью, за что большое ему СПАСИБО !. Так что нет $x$, делящихся на $3^1$ , удовлетворяющих исходному равенству и поэтому уже Ваше исжоное предположение " если $x$ делится на $3$" не верно !!!
Ваше "Если, например, $z$ делится на $3$, то можно доказать, что $x-y$ делится на $3^5$. тоже не верно. Из равенства $z_1^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)/3^3$ следует, что $x+y$ делится на $3^2$, а оно взаимно простое с $x-y$.
По моему Вы упускаете из виду существенную истину. Так как мы только предполагаем выполнение равенства (доказать то мы хотим обратное) то все получаемые из этого предположения равенства ДОЛЖНЫ выполняться и не более, то есть они в нашем случае НИЧЕГО не доказывают, так как нет очевидного противоречия. Именно поэтому я и настаиваю на том, что если равенство не выполняется при $x$ не делящемся на $3$, то оно не может выполняться и при $x$ делящемся на $3^i$ при любом натуральном $i$.
Дед.

[grisania]

ljubarcev в сообщении #252586 писал(а):

Увыжаемый grisania ! Возможно Вы и правы в том, что если $x$ делится на $3$, то также делится на $3^2$. Но дело в том, что доказано: равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений при $x$ делящемся на $3^1$. Someone выше процитировал это моё доказательство почти полностью, за что большое ему СПАСИБО !. Так что нет $x$, делящихся на $3^1$ , удовлетворяющих исходному равенству и поэтому уже Ваше исжоное предположение " если $x$ делится на $3$" не верно !!!
Ваше "Если, например, $z$ делится на $3$, то можно доказать, что $x-y$ делится на $3^5$. тоже не верно. Из равенства $z_1^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)/3^3$ следует, что $x+y$ делится на $3^2$, а оно взаимно простое с $x-y$.
По моему Вы упускаете из виду существенную истину. Так как мы только предполагаем выполнение равенства (доказать то мы хотим обратное) то все получаемые из этого предположения равенства ДОЛЖНЫ выполняться и не более, то есть они в нашем случае НИЧЕГО не доказывают, так как нет очевидного противоречия. Именно поэтому я и настаиваю на том, что если равенство не выполняется при $x$ не делящемся на $3$, то оно не может выполняться и при $x$ делящемся на $3^i$ при любом натуральном $i$.
Дед.

Так я и доказал, что если выполняется равенство $x^3+x^3+z^3$=0, то одно из чисел $x,y,z$ обязательно делится $3$. Если не одно не делится, то равенство $x^3+x^3+z^3$=0 невозможно.
Другими словами, из равенства $x^3+x^3+z^3$=0 следует, что из одно чисел $x,y,z$ делится на $3$. А если из одно чисел $x,y,z$ делится на $3$, то я доказал, что тогда оно делится на $3^2.
Все остальное словоблудие

[shwedka]

ljubarcev в сообщении #252586 писал(а):

Но дело в том, что доказано: равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений при $x$ делящемся на $3^1$. Someone выше процитировал это моё доказательство почти полностью, за что большое ему СПАСИБО !.

Знаете, вы и меня этим доводите.
Давайте по-другому. В приведенном рассуждении доказано, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений при ВСЕХ $x$ делящихся на $3^1$? Или не при всех?

[ljubarcev]

shwedka в сообщении #252602 писал(а):

ljubarcev в сообщении #252586 писал(а):

Но дело в том, что доказано: равенство $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений при $x$ делящемся на $3^1$. Someone выше процитировал это моё доказательство почти полностью, за что большое ему СПАСИБО !.

Знаете, вы и меня этим доводите.
Давайте по-другому. В приведенном рассуждении доказано, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений при ВСЕХ $x$ делящихся на $3^1$? Или не при всех?

Уважаемая Shwedka ! Я Вас не узнаю. Положив $x$ делящемся на $3^1$ мы ведь не накладывали никаких других ограничений на свойства числа $x$ и доказали, что решений нет. И не напоминайте мне о случае $x$ делящемся на $3^2$.
Рассмотрим его.
Ведь доказано, что равенство $(z^3-y^3)/3^3=x_1^3$ не выполняется ни при каком $x_1$, то есть $(z^3-y^3)/3^3\neq x_1^3$ и ясно, что при любом $x_1=3^ix_2$ , будет $(z^3-y^3)/3^3\neq x_1^3=3^{3i}x_2^3$. Тогда $(z^3-y^3)/3^{3(i+1)\neq x_2^3$. Очевидно - равенство не выполняется ни при каких натуральных $x_2$ и$i$.
Дед.

[shwedka]

Повторяю вопрос.
В приведенном рассуждении , http://dxdy.ru/post252247.html#p252247 доказано, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений при ВСЕХ $x$ делящихся на $3^1$? Или не при всех?

[Someone]

ljubarcev в сообщении #252608 писал(а):

Положив $x$ делящемся на $3^1$ мы ведь не накладывали никаких других ограничений на свойства числа $x$ и доказали, что решений нет.

Нагло врёте.

ljubarcev в сообщении #243563 писал(а):

В то же время число слева $(2mgk)/3$ при взаимно простых $g;k;m$ не делящихся в нашем случае на $3$ натуральных числах, очевидно, целым быть не может.

Если $m$ не делится на $3$, то $x=3mx_1$ не делится на $3^2$, потому что $x_1$ не делится на $3$: $x_1^3=\frac 13(z^2+yz+y^2)$, а $z^2+yz+y^2$ ни в коем случае не делится на $3^2$ при Ваших предположениях.