Проверить свойства пространства

[ShMaxG]

Дано пространство $\[E = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {x_n^2 < \infty } ,\rho \left( {x,y} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}}} } \right\}\]$

Требуется:

1) Проверить корректность введения метрики и аксиомы для метрики;

2) Выяснить, сепарабельно ли оно?

3) Выяснить, полно ли оно, и если не полно, построить пополнение.

У меня получился полностью п.1: $\[\rho \left( {x,y} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\]$ в силу неотрицательности общего члена ряда, $\[\rho \left( {x,y} \right) = \rho \left( {y,x} \right)\]$ - без комментариев, $\[\rho \left( {x,z} \right) \leqslant \rho \left( {x,y} \right) + \rho \left( {y,z} \right)\]$ выполняется в силу того, что$ \[{\left| {{x_n} - {z_n}} \right|^{1/5}} \leqslant {\left| {{x_n} - {y_n}} \right|^{1/5}} + {\left| {{y_n} - {z_n}} \right|^{1/5}} \Leftarrow \left| {{x_n} - {z_n}} \right| \leqslant \left| {{x_n} - {y_n}} \right| + \left| {{y_n} - {z_n}} \right|\]$
И последнее, почему так заданная метрика корректна. Пусть
$\[x \in E,y \in E \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {x_n^2 < \infty } ,\sum\limits_{n = 1}^\infty {y_n^2 < \infty } \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_n} \to 0,n \to \infty \hfill \\ {y_n} \to 0,n \to \infty \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$. Таким образом, $ \[\exists N \in \mathbb{N}{\text{ }}\forall n \geqslant N{\text{ }}\left| {{x_n} - {y_n}} \right| < 1 \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}}} < \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1} {{{n^2}}}} \] $, а ряд справа сходится, значит сходится и исходный.

Пункты 2 и 3 пока не осилил, но есть предположение, что оно все-таки не полно.
Помогите пожалуйста с идеями.

[RIP]

2) Вспомните, как доказывается сепарабельность $l^2$.

3) Пополнение очень легко угадывается. Просто вспомните, как связаны условия на принадлежность пространству $l^p$ и метрика в пространстве $l^p$ (плюс доказательство полноты $l^p$). Вот тут ровно то же самое.

[ewert]

Ну всё же не ровно то же. Пространств $l_p$ при $p<1$ всё же не существует.

[RIP]

ewert в сообщении #251888 писал(а):

Пространств $l_p$ при $p<1$ всё же не существует.

Вообще-то существуют, но не суть. На идейном уровне всё то же самое.

[ewert]

ну я имел в виду, что они -- не нормированные

[ShMaxG]

Так, насчет сепарабельности.

Всюду плотное счетное множество - совокупность последовательностей, в каждой из которых все члены рациональны и лишь конечное их количество - отлично от нуля. Пусть $\[\left( {{x_k}} \right)\]$ - произвольный элемент пространства $E$. Запишем расстояние от него до элемента интересующего нас множества. При фиксированном $n$ существует номер члена "рациональной-финитной" последовательности $K$, после которого $\[y_k^n = 0\]$. Таким образом:

$\[{\rho _n} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_k} - y_k^n} \right|}^{1/5}}}} {{{k^2}}}} = \sum\limits_{k = 1}^{K\left( n \right)} {\frac{{{{\left| {{x_k} - y_k^n} \right|}^{1/5}}}} {{{k^2}}}} + \sum\limits_{k = K\left( n \right)}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_k}} \right|}^{1/5}}}} {{{k^2}}}} \]$

Мы будем брать такие $\[{y_k^n}\]$, чтобы $\[\forall k \leqslant K{\text{ }}{\left| {{x_k} - y_k^n} \right|^{1/5}} < \frac{1} {{{2^K}}}\]$

Тогда $\[{\rho _{n\left( K \right)}} \leqslant \frac{{K\left( n \right)}} {{{2^{K\left( n \right)}}}} + \sum\limits_{k = K\left( n \right)}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_k}} \right|}^{1/5}}}} {{{k^2}}}} \]$.

Причем, в общем случае $\[K\left( n \right) \to \infty ,{\text{ }}n \to \infty \]$.
Т.к. $\[{x_k} \to 0,{\text{ }}k \to \infty \]$, то понятно, что ряд $\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_k}} \right|}^{1/5}}}} {{{k^2}}}} \] $ сходится. Но тогда $\[\sum\limits_{k = K\left( n \right)}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_k}} \right|}^{1/5}}}} {{{k^2}}}} \to 0,{\text{ }}n \to \infty \]$, $\[\frac{{K\left( n \right)}} {{{2^{K\left( n \right)}}}} \to 0,{\text{ }}n \to \infty \]$.

[RIP]

В принципе всё верно (вот только Вы сумму разбиваете неправильно: $\sum_1^\infty=\sum_1^K+\sum_K^\infty$). Для простоты можно было взять $K(n)=n$, ведь выбор $y^n$ целиком в Ваших руках.

[ShMaxG]

Так, насчет полноты и пополнения.

Берем произвольную фундаментальную последовательность $\[{\left( {{x_n}} \right)^m}\]$. Это значит, что

$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists M{\text{ }}\forall m,l > M:{\text{ }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {x_n^m - x_n^l} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}}} < \varepsilon \]$

Отсюда следует, что при любом $\[n \in \mathbb{N}\]$ справедливо $\[\frac{{{{\left| {x_n^m - x_n^l} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}} < \varepsilon \Leftrightarrow \left| {\widetilde{x_n^m} - \widetilde{x_n^l}} \right| < \varepsilon '\]$, т.е. при каждом $n$ последовательность действительных чисел $\[\left\{ {\widetilde{x_n^m}} \right\}\]$ фундаментальна и потому сходится. Положим $\[\widetilde{{x_n}} = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \widetilde{x_n^m}\]$. Но тогда $\[\widetilde{{x_n}} = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \widetilde{x_n^m} \Leftrightarrow \frac{{{x_n}}} {{{n^{10}}}} = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \frac{{x_n^m}} {{{n^{10}}}} \Leftrightarrow {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } x_n^m\]$ для некоторого $\[{x_n}\]$. Причем легко показать, что $\[\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \rho \left( {{x^{\left( m \right)}},x} \right) = 0\] $.

Теперь применим такую магию: $\[\left| {\widetilde{x_n^m} - \widetilde{{x_n}}} \right| < \varepsilon ' \Leftrightarrow {\left| {\widetilde{x_n^m} - \widetilde{{x_n}}} \right|^2} < \varepsilon ''\]$ и, воспользовавшись замечательным неравенством $\[{\left( {a + b} \right)^2} \leqslant 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\] $, получим $\[{\left| {\widetilde{{x_n}}} \right|^2} \leqslant 2\left( {{{\left| {\widetilde{x_n^m} - \widetilde{{x_n}}} \right|}^2} + {{\left| {\widetilde{x_n^m}} \right|}^2}} \right)\] $.
Это прямо значит, что $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left| {\widetilde{{x_n}}} \right|}^2}} < \infty \]$.

Значит, пополнение - это следующее пространство

$\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left| {\frac{{{x_n}}} {{{n^{10}}}}} \right|}^2}} < \infty ,{\text{ }}\rho \left( {x,y} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}}} } \right\}\]$

То, что это пространство полно, я фактически до этого и проверил.

[RIP]

ShMaxG в сообщении #252262 писал(а):

Значит, пополнение - это следующее пространство

$\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left| {\frac{{{x_n}}} {{{n^{10}}}}} \right|}^2}} < \infty ,{\text{ }}\rho \left( {x,y} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}}} } \right\}\]$

Не угадали. Чему, кстати, равно $\rho((n^5),(0))$? Попробуйте ещё раз (Вы слегка перемудрили, будьте проще). С $F'$ тоже не угадали. Тут, кстати, даже на $F$ метрика не определена корректно (либо, как я подозреваю, определение $F$ неверно).
И зачем Вы пишете определение метрики внутри определения множеств ($E$--$F'$)? Это ведь не условия на принадлежность пространству.

[ShMaxG]

С пространством $F$ - там возможно неправильно условия я переписал. Ну да ладно с ним.

Что касается $E$. Напишем просто $\[\left| {\widetilde{{x_n}}} \right| \leqslant \left| {\widetilde{{x_n}} - \widetilde{x_n^m}} \right| + \left| {\widetilde{x_n^m}} \right|\]$. Ряд правой части сходится, значит ряд левой части сходится. Тогда принадлежность пополнению $E'$ определим сходимостью ряда $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {\frac{{{x_n}}} {{{n^{10}}}}} \right|} \] $. Ну а метрику оставляем той же.

[RIP]

ShMaxG в сообщении #252344 писал(а):

Тогда принадлежность пополнению $E'$ определим сходимостью ряда $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {\frac{{{x_n}}} {{{n^{10}}}}} \right|} \] $.

Тогда тот же вопрос про расстояние от $(n^5)$ до нуля в этом $E'$. Попробуйте так подобрать $E'$, чтобы метрика на нём была определена корректно, --- с большой вероятностью это и будет правильный ответ.

[ShMaxG]

А, во, еще же жесче можно: $\[{\left| {\widetilde{{x_n}}} \right|^{1/5}} \leqslant {\left| {\widetilde{{x_n}} - \widetilde{x_n^m}} \right|^{1/5}} + {\left| {\widetilde{x_n^m}} \right|^{1/5}}\]$.

Тогда принадлежность пополнению: $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n}} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}}} < \infty \] $

[RIP]

А по поводу $F$: думаю, там неявно предполагалась ограниченность функции (на бесконечности-то ограниченность следует из условия, а при небольших $x$, наверное, зевнули; или там непрерывность какая-нибудь предполагается, может быть).

-- Сб 17.10.2009 00:35:29 --

ShMaxG в сообщении #252346 писал(а):

Тогда принадлежность пополнению: $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n}} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}}} < \infty \] $

Вот теперь правильно. Но Вы ещё не доказали, что это пополнение (проверена только полнота).

-- Сб 17.10.2009 00:40:34 --

Ну, и для подстраховки. Распишите вот это место поподробнее

ShMaxG в сообщении #252262 писал(а):

Причем легко показать, что $\[\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \rho \left( {{x^{\left( m \right)}},x} \right) = 0\] $.

[ShMaxG]

RIP в сообщении #252348 писал(а):

Ну, и для подстраховки. Распишите вот это место поподробнее

ShMaxG в сообщении #252262 писал(а):

Причем легко показать, что $\[\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \rho \left( {{x^{\left( m \right)}},x} \right) = 0\] $.

$\[\forall M \in \mathbb{N}\]$ $\[\sum\limits_{n = 1}^M {\frac{{{{\left| {x_n^{\left( l \right)} - x_n^{\left( m \right)}} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}}} < \varepsilon \] $ Устремим $\[l \to \infty \]$ и получим $\[\sum\limits_{n = 1}^M {\frac{{{{\left| {x_n^{\left( m \right)} - {x_n}} \right|}^{1/5}}}} {{{n^2}}}} \leqslant \varepsilon \] $ - выполняется $\[\forall M \in \mathbb{N}\]$. Остается перейти к пределу по $M$ и получим требуемое.

[RIP]

Лады, с этим разобрались. Осталось

RIP в сообщении #252348 писал(а):

Но Вы ещё не доказали, что это пополнение (проверена только полнота).

Конечно, осталось одну строчку написать, но проформы ради.