Дано пространство
![$\[E = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {x_n^2 < \infty } ,\rho \left( {x,y} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}^{1/5}}}}
{{{n^2}}}} } \right\}\]$ $\[E = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {x_n^2 < \infty } ,\rho \left( {x,y} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}^{1/5}}}}
{{{n^2}}}} } \right\}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/c/bac8a994e3a646b9dce830ef5e7e835d82.png)
Требуется:
1) Проверить корректность введения метрики и аксиомы для метрики;
2) Выяснить, сепарабельно ли оно?
3) Выяснить, полно ли оно, и если не полно, построить пополнение.
У меня получился полностью п.1:
![$\[\rho \left( {x,y} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\]$ $\[\rho \left( {x,y} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/1/6c1a9955dec0ce54ffd3689f5c8ba72e82.png)
в силу неотрицательности общего члена ряда,
![$\[\rho \left( {x,y} \right) = \rho \left( {y,x} \right)\]$ $\[\rho \left( {x,y} \right) = \rho \left( {y,x} \right)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/0/24075dacf1315d9c60b29361601bdf9882.png)
- без комментариев,
![$\[\rho \left( {x,z} \right) \leqslant \rho \left( {x,y} \right) + \rho \left( {y,z} \right)\]$ $\[\rho \left( {x,z} \right) \leqslant \rho \left( {x,y} \right) + \rho \left( {y,z} \right)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/1/1e1da504f1c3edcc6c59364c4aa7459982.png)
выполняется в силу того, что
![$
\[{\left| {{x_n} - {z_n}} \right|^{1/5}} \leqslant {\left| {{x_n} - {y_n}} \right|^{1/5}} + {\left| {{y_n} - {z_n}} \right|^{1/5}} \Leftarrow \left| {{x_n} - {z_n}} \right| \leqslant \left| {{x_n} - {y_n}} \right| + \left| {{y_n} - {z_n}} \right|\]$ $
\[{\left| {{x_n} - {z_n}} \right|^{1/5}} \leqslant {\left| {{x_n} - {y_n}} \right|^{1/5}} + {\left| {{y_n} - {z_n}} \right|^{1/5}} \Leftarrow \left| {{x_n} - {z_n}} \right| \leqslant \left| {{x_n} - {y_n}} \right| + \left| {{y_n} - {z_n}} \right|\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/7/df71d0534a5378c8743e5d2709ba7c0e82.png)
И последнее, почему так заданная метрика корректна. Пусть
![$\[x \in E,y \in E \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {x_n^2 < \infty } ,\sum\limits_{n = 1}^\infty {y_n^2 < \infty } \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_n} \to 0,n \to \infty \hfill \\
{y_n} \to 0,n \to \infty \hfill \\
\end{gathered} \right.\]$ $\[x \in E,y \in E \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {x_n^2 < \infty } ,\sum\limits_{n = 1}^\infty {y_n^2 < \infty } \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_n} \to 0,n \to \infty \hfill \\
{y_n} \to 0,n \to \infty \hfill \\
\end{gathered} \right.\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/c/e7cec4fb415b2a33ea5bc6d17b909bc482.png)
. Таким образом,
![$
\[\exists N \in \mathbb{N}{\text{ }}\forall n \geqslant N{\text{ }}\left| {{x_n} - {y_n}} \right| < 1 \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}^{1/5}}}}
{{{n^2}}}} < \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}
{{{n^2}}}} \]
$ $
\[\exists N \in \mathbb{N}{\text{ }}\forall n \geqslant N{\text{ }}\left| {{x_n} - {y_n}} \right| < 1 \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}^{1/5}}}}
{{{n^2}}}} < \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}
{{{n^2}}}} \]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/c/82c60f12fefd933e6f0b248386b47abe82.png)
, а ряд справа сходится, значит сходится и исходный.
Пункты 2 и 3 пока не осилил, но есть предположение, что оно все-таки не полно.
Помогите пожалуйста с идеями.