Функция Грина для уравнения стокса

[oleg_galtsev]

Всем доброго времени суток. Требуется помощь... Требуется построить функцию Грина для уравнения стокса:$\nabla \overrightarrow{u} - \triangle{p} = \overrightarrow{f}$, где $div \overrightarrow{u} = 0$ и $\overrightarrow{u}|_S = 0$. И, соответственно, граничные условия $S=(x=0,|y|<\infty)\bigcup (x=1,|y|<\infty)$.Для общего случая нашел матрицу функции Грина, а для данного случая нет.
Может у кого есть ссылка на ресурс, где будет изложена более простая задача(например построение функции Грина для круга или полосы).

[oleg_galtsev]

Нигде не могу найти даже на англоязычных сайтах сам принцып построения функции грина.У ладыженской вкратце приведена функция грина в общем виде. Мне необходимо конкретно знать как пошагово она строится? Может в учебнике каком изложено...
Построение для круга я нашел.

[AKalinin]

Рассмотрим дифференциальное уравнение $L u(x) = f(x)$, где $L$ - дифференциальный оператор, $u(x)$ - неизвестная функция, $f(x)$ -известная функция. Решение уравнения будем искать в виде $u(x) = \int G(x, y) f(y) \,dy$, где $G(x, y)$ - функция Грина. Применим теперь к обеим частям оператор $L$:
$L u(x) = \int L G(x, y) f(y) \,dy$. Получим $f(x) = \int L G(x, y) f(y) \,dy$. Последнее выражение будет выполненно, если

$$L G(x, y) = \delta(x - y),$$

где $\delta(x - y)$ - дельта функция Дирака. Собственно функция Грина это есть решение последнего уравнения.

[nestoklon]

oleg_galtsev в сообщении #251231 писал(а):

Может в учебнике каком изложено...

Владимиров В. С. Уравнения математической физики. ?

Самый стандартный метод (если даже не работает, с него стоит начать) -- сделать преобразование Фурье/Лапласа, производные превратятся в умножение, после чего образ ФГ пишется с использованием школьной математики.

[oleg_galtsev]

спасибо большое.ща посмотрим...

[ewert]

nestoklon в сообщении #251534 писал(а):

Самый стандартный метод (если даже не работает, с него стоит начать) -- сделать преобразование Фурье/Лапласа,

Начать-то можно, но вот как кончить? Где экс таз? Т.е. какой может быть Фурье, когда оператор -- в ограниченной области?...

[nestoklon]

ewert в сообщении #251730 писал(а):

Т.е. какой может быть Фурье, когда оператор -- в ограниченной области?...

Самый обычный. Хотите -- ставьте периодические граничные условия. Не хотите -- делайте что-нибудь другое. Я ж неспроста написал

nestoklon в сообщении #251534 писал(а):

с него стоит начать

Вы бы лучше привели ссылку, где этот вопрос разбирается, чем интеллектом давить.

[ewert]

nestoklon в сообщении #251745 писал(а):

, чем интеллектом давить.

Даже и не пытаюсь. Я искренне не понимаю, какой может быть смысл в преобразовании Фурье, когда исходный оператор действует на функции, заданные не на всём пространстве. Нет, ну можно, конечно, их икусственно срезать на ту область. Но ведь информация о граничных-то условиях при этом -- всяко потеряется.

[V.V.]

nestoklon, В http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/pde/pde.pdf на стр. 49-52 вывод решения для задачи в круге с помощью ТФКП.

Полоса в круг переводится конформным преобразованием.

[nestoklon]

ewert в сообщении #251755 писал(а):

Даже и не пытаюсь. Я искренне не понимаю, какой может быть смысл в преобразовании Фурье, когда исходный оператор действует на функции, заданные не на всём пространстве. Нет, ну можно, конечно, их икусственно срезать на ту область. Но ведь информация о граничных-то условиях при этом -- всяко потеряется.

Я уравнения не решал, но по его виду мне моя чисто физическая интуиция подсказывает, что в данном конкретном случае можно руками собрать решение из решений "без гранусловий". Может, тут интуиция меня подводит. В любом случае, главным в том комментарии была ссылка на книжку. А ты часть комментария, на которую вы обратили внимание -- так, для затравки в какую сторону копать.

V.V. в сообщении #251756 писал(а):

Полоса в круг переводится конформным преобразованием.

Была такая мысль. Мне тем не менее кажется (см. выше), что решение должно быть попроще..

[ewert]

V.V. в сообщении #251756 писал(а):

вывод решения для задачи в круге с помощью ТФКП.

Круг -- штука простая. Там можно и ТФКПами, и просто методом отражений (что предпочтительнее, поскольку универсальнее по размерности). А в мало-мальски произвольной области -- вигвам. Можно лишь или численно, или разве что формально д-ть, что та Ф.Г. существует.

[V.V.]

ewert в сообщении #251765 писал(а):

Круг -- штука простая. Там можно и ТФКПами, и просто методом отражений (что предпочтительнее, поскольку универсальнее по размерности). А в мало-мальски произвольной области -- вигвам. Можно лишь или численно, или разве что формально д-ть, что та Ф.Г. существует.

На плоскости кроме круга просто еще то, что в него переводится конформным преобразованием.

[oleg_galtsev]

Извините. Комфорное отображение единичной полосы на единичный круг находится как $w = (e^{i{\pi}z}-1-i)/(e^{i{\pi}z}-1+i)$ путем поворота $w_1=(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})z = iz$, преобразования подобия $w_2=\pi{w_1}$, отображения $w_3 = e^{w_2}$ и доробно-линейного преобразования $w=w(w_3)$, отображающего граничные точки $0, \infty, 1$, которое находится из уравнения $\frac{w-1}{w-i}*\frac{-1-i}{-1-1} = \frac{w_3-\infty}{w_3-0 }*\frac{1-0}{1-\infty}$

А что с обратным преобразованием?(круга в полосу...)

[nestoklon]

oleg_galtsev в сообщении #252111 писал(а):

А что с обратным преобразованием?(круга в полосу...)

Найдите обратные функции и подействуйте в обратной последовательности. Обратной к дробнолинейной будет дробнолинейная. К экспоненте -- логарифм.
Думаю, в Лаврентьеве Шабате этот пример разобран.

[oleg_galtsev]

Че то совсем не въеду в ваши мысли. Допустим преобразовали круг в полосу (комфорно).
Имеем: $w = \frac{H}{i\pi} ln \frac{1+iz}{1-iz}$, H-ширина полосы.
Разъясните пожалуйста, а то не могу сдвинуться с места.
Что теперь необходимо сделать с этим, чтобы получить функцию грина.
Функция грина будет иметь вид $G = \frac{1}{2\pi}ln \frac{1}{r}$, r - расстояние между точками