2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение06.10.2009, 12:21 


22/03/09
43
Всем доброго времени суток. Требуется помощь... Требуется построить функцию Грина для уравнения стокса:$\nabla \overrightarrow{u} - \triangle{p} = \overrightarrow{f}$, где $div \overrightarrow{u} = 0$ и $\overrightarrow{u}|_S = 0$. И, соответственно, граничные условия $S=(x=0,|y|<\infty)\bigcup (x=1,|y|<\infty)$.Для общего случая нашел матрицу функции Грина, а для данного случая нет.
Может у кого есть ссылка на ресурс, где будет изложена более простая задача(например построение функции Грина для круга или полосы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение13.10.2009, 10:08 


22/03/09
43
Нигде не могу найти даже на англоязычных сайтах сам принцып построения функции грина.У ладыженской вкратце приведена функция грина в общем виде. Мне необходимо конкретно знать как пошагово она строится? Может в учебнике каком изложено...
Построение для круга я нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение13.10.2009, 23:47 


14/08/07
14
Москва
Рассмотрим дифференциальное уравнение $L u(x) = f(x)$, где $L$ - дифференциальный оператор, $u(x)$ - неизвестная функция, $f(x)$ -известная функция. Решение уравнения будем искать в виде $u(x) = \int G(x, y) f(y) \,dy$, где $G(x, y)$ - функция Грина. Применим теперь к обеим частям оператор $L$:
$L u(x) =  \int L G(x, y) f(y) \,dy$. Получим $f(x) = \int L G(x, y) f(y) \,dy$. Последнее выражение будет выполненно, если $$L G(x, y) = \delta(x - y),$$ где $\delta(x - y)$ - дельта функция Дирака. Собственно функция Грина это есть решение последнего уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение14.10.2009, 08:19 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
oleg_galtsev в сообщении #251231 писал(а):
Может в учебнике каком изложено...

Владимиров В. С. Уравнения математической физики. ?

Самый стандартный метод (если даже не работает, с него стоит начать) -- сделать преобразование Фурье/Лапласа, производные превратятся в умножение, после чего образ ФГ пишется с использованием школьной математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение14.10.2009, 19:55 


22/03/09
43
спасибо большое.ща посмотрим...

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение14.10.2009, 21:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nestoklon в сообщении #251534 писал(а):
Самый стандартный метод (если даже не работает, с него стоит начать) -- сделать преобразование Фурье/Лапласа,

Начать-то можно, но вот как кончить? Где экс таз? Т.е. какой может быть Фурье, когда оператор -- в ограниченной области?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение14.10.2009, 22:03 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
ewert в сообщении #251730 писал(а):
Т.е. какой может быть Фурье, когда оператор -- в ограниченной области?...

Самый обычный. Хотите -- ставьте периодические граничные условия. Не хотите -- делайте что-нибудь другое. Я ж неспроста написал
nestoklon в сообщении #251534 писал(а):
с него стоит начать


Вы бы лучше привели ссылку, где этот вопрос разбирается, чем интеллектом давить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение14.10.2009, 22:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nestoklon в сообщении #251745 писал(а):
, чем интеллектом давить.

Даже и не пытаюсь. Я искренне не понимаю, какой может быть смысл в преобразовании Фурье, когда исходный оператор действует на функции, заданные не на всём пространстве. Нет, ну можно, конечно, их икусственно срезать на ту область. Но ведь информация о граничных-то условиях при этом -- всяко потеряется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение14.10.2009, 22:32 
Заслуженный участник


09/01/06
800
nestoklon, В http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/pde/pde.pdf на стр. 49-52 вывод решения для задачи в круге с помощью ТФКП.

Полоса в круг переводится конформным преобразованием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение14.10.2009, 22:42 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
ewert в сообщении #251755 писал(а):
Даже и не пытаюсь. Я искренне не понимаю, какой может быть смысл в преобразовании Фурье, когда исходный оператор действует на функции, заданные не на всём пространстве. Нет, ну можно, конечно, их икусственно срезать на ту область. Но ведь информация о граничных-то условиях при этом -- всяко потеряется.

Я уравнения не решал, но по его виду мне моя чисто физическая интуиция подсказывает, что в данном конкретном случае можно руками собрать решение из решений "без гранусловий". Может, тут интуиция меня подводит. В любом случае, главным в том комментарии была ссылка на книжку. А ты часть комментария, на которую вы обратили внимание -- так, для затравки в какую сторону копать.
V.V. в сообщении #251756 писал(а):
Полоса в круг переводится конформным преобразованием.
Была такая мысль. Мне тем не менее кажется (см. выше), что решение должно быть попроще..

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение14.10.2009, 22:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
V.V. в сообщении #251756 писал(а):
вывод решения для задачи в круге с помощью ТФКП.

Круг -- штука простая. Там можно и ТФКПами, и просто методом отражений (что предпочтительнее, поскольку универсальнее по размерности). А в мало-мальски произвольной области -- вигвам. Можно лишь или численно, или разве что формально д-ть, что та Ф.Г. существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение15.10.2009, 05:48 
Заслуженный участник


09/01/06
800
ewert в сообщении #251765 писал(а):
Круг -- штука простая. Там можно и ТФКПами, и просто методом отражений (что предпочтительнее, поскольку универсальнее по размерности). А в мало-мальски произвольной области -- вигвам. Можно лишь или численно, или разве что формально д-ть, что та Ф.Г. существует.


На плоскости кроме круга просто еще то, что в него переводится конформным преобразованием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение16.10.2009, 09:40 


22/03/09
43
Извините. Комфорное отображение единичной полосы на единичный круг находится как $w = (e^{i{\pi}z}-1-i)/(e^{i{\pi}z}-1+i)$ путем поворота $w_1=(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})z = iz$, преобразования подобия $w_2=\pi{w_1}$, отображения $w_3 = e^{w_2}$ и доробно-линейного преобразования $w=w(w_3)$, отображающего граничные точки $0, \infty, 1$, которое находится из уравнения $\frac{w-1}{w-i}*\frac{-1-i}{-1-1} = \frac{w_3-\infty}{w_3-0
}*\frac{1-0}{1-\infty}$

А что с обратным преобразованием?(круга в полосу...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение16.10.2009, 09:52 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
oleg_galtsev в сообщении #252111 писал(а):
А что с обратным преобразованием?(круга в полосу...)

Найдите обратные функции и подействуйте в обратной последовательности. Обратной к дробнолинейной будет дробнолинейная. К экспоненте -- логарифм.
Думаю, в Лаврентьеве Шабате этот пример разобран.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Грина для уравнения стокса
Сообщение19.10.2009, 11:07 


22/03/09
43
Че то совсем не въеду в ваши мысли. Допустим преобразовали круг в полосу (комфорно).
Имеем: $w = \frac{H}{i\pi} ln \frac{1+iz}{1-iz}$, H-ширина полосы.
Разъясните пожалуйста, а то не могу сдвинуться с места.
Что теперь необходимо сделать с этим, чтобы получить функцию грина.
Функция грина будет иметь вид $G = \frac{1}{2\pi}ln \frac{1}{r}$, r - расстояние между точками

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group