Пифагоровы тройки

[RIP]

А откуда задача? Что предполагается известным?
Что касается случая $666^4+x^2=y^2$, то он тривиален и не требует никаких знаний.
Уравнение $x^2+y^2=666^4=2^4\cdot3^8\cdot37^4$ будет поинтереснее. Вообще, если $n=2^{\alpha_0}p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_s^{\alpha_s}\cdot q_1^{\beta_1}\cdot\ldots\cdot q_t^{\beta_t}$ --- разложение натурального числа $n$ на простые, где $p_j\equiv1\pmod4$, а $q_j\equiv3\pmod4$, то уравнение $x^2+y^2=n$ разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда все $\beta_j$ чётные, и в этом случае количество решений равно $N=4(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_s+1)$ (из них $\lfloor(N+4)/8\rfloor$ принципиально различных). Находятся они следующим образом. Если представить $p_j=a_j^2+b_j^2$, то все решения получаются по формуле

$$x+iy=\epsilon(1+i)^{\alpha_0}(a_1+ib_1)^{\nu_1}(a_1-ib_1)^{\alpha_1-\nu_1}\cdot\ldots\cdot(a_s+ib_s)^{\nu_s}(a_s-ib_s)^{\alpha_s-\nu_s}\cdot$$

$$\cdot q_1^{\beta_1/2}\cdot\ldots\cdot q_t^{\beta_t/2},$$

где $i$ --- мнимая единица, $\epsilon\in\{\pm1,\pm i\}$, $\nu_j\in\{0;1;\ldots;\alpha_j\}$. (Конечно, если интересуют принципиально различные решения, то можно брать $\epsilon=1$, $\nu_1\le\alpha_1/2$.)

[Somewhere far beyond]

С четвертой степенью вы переборщили, вычисления будут слишком громоздки, имелось ввиду слагаемое $666^2$.

Для случая, $666^2 + x^2 = y^2$, факторизация числа $666^2$ на четные составляющие даст все тройки, их $7$ штук.

Осталось рассмотреть более интересный случай: $x^2 + y^2= 666^2$, в котором одно решение, его уже здесь называли, нужно это доказать.

[Yu_K]

То Somewhere far beyond - есть и более интересные случаи - например такой

Цитата:

Найти целочисленный прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна квадрату целого числа, а сумма катетов равна квадрату другого целого числа.

- и главное трактовка постановки здесь полностью однозначна.

[Somewhere far beyond]

2 RIP
Общий метод понял, спасибо.... попробуем пошаманить для различных чисел, сам вывел лишь для двоек и троек.

2 Yu_K
Ну, если $x^2+y^2=a^2$ и $x+y=b^2$, то решение находится из факторизации числа $2(b^4+b^2-a^2)+1$

[Yu_K]

То Somewhere far beyond У меня задача сводится к поиску параметров $p,q$ при которых выражение

$p^4+4p^3q-6p^2q^2-4pq^3+q^4$

является полным квадратом.
Перебор на компьютере дает решения (наименьшие значения длин катетов и гипотенузы - 12-ти разрядные числа, гипотенуза является при этом квадратом простого числа), но мне не известно - каким образом П.Ферма получил решение этой, поставленной им, задачи без компьютера.

[Somewhere far beyond]

$2(b^4 + b^2 - a^2) + 1 = (2x + 1)(2y + 1)$
Разложив на все попарные множители это число, находим все возможные пары $(x,y)$, осталось их проверить, подставив в уравнение $x+y=b^2$
И получим все решения.

[Yu_K]

То Somewhere far beyond
Можете найти хотя бы одно решение?

[RIP]

Задача Ферма обсуждалась здесь.

[Yu_K]

Спасибо RIP - интересная дисскуссия.
И еще ссылки по теме и там некоторые другие задачи
http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html формулы (41)-(42)
http://neves.suncloud.ru/task/fermat18.htm
http://neves.suncloud.ru/task/fermat.htm

[Sandor]

Нахождение пифагоровых троек, содержащих число 666
(не квадрат или биквадрат числа, ибо это разные задачи)

Ттройки генерирует уравнение Пифагора:

$${x^2} + {y^2} - {z^2} = 0,$$

где $ $x,y,z \in N.$$

Анализ и разложение уравнения:

Уравнение инмонолитное (составное), однородное, определённое. Вводом явной чётности переменных оно разлагается на четыре субуравнения:

$$a.{\left( {2{x_1}} \right)^2} + {\left( {2{y_1} + 1} \right)^2} - {\left( {2{z_1} + 1} \right)^2} = 0,b.{\left( {2{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {2{y_1}} \right)^2} - {\left( {2{z_1} + 1} \right)^2} = 0,$$

$$c.{\left( {2{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {2{y_1} + 1} \right)^2} - {\left( {2{z_1}} \right)^2} = 0,d.{\left( {2{x_1}} \right)^2} + {\left( {2{y_1}} \right)^2} - {\left( {2{z_1}} \right)^2} = 0.$$

Первые два субуравнения, кроме обозначений, совпадают. Четвёртое субуравнение, после сокращения, приводит к одному из первых трёх. Поэтому достаточно исследовать первое и третье субуравнение. Третье субуравнение не имеет неоднородных, однородных и партикулярно-однородных решений (партикулярно-однородные решения исключены при равных степенях):

\$[{(2{z_1})^2} = {\left( {{\text{2}}{{\text{x}}_{\text{1}}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}}} + {\left( {{\text{2}}{{\text{y}}_{\text{1}}} + {\text{1}}} \right)^{\text{2}}},z_1^2 = x_1^2 + {x_1} + y_1^2 + {y_1} + 1/2.\]$

Перепишем субуравнение, запишем вариант и формулы решения:

$ \[{\left( {2{x_1}} \right)^2} = {\left( {2{{\text{z}}_{\text{1}}} + 1} \right)^2} - {\left( {2{{\text{y}}_{\text{1}}} + 1} \right)^2},{\text{x}}_{\text{1}}^2 = \left( {{{\text{z}}_{\text{1}}} - {{\text{y}}_1}} \right)\left( {{{\text{z}}_{\text{1}}} + {{\text{y}}_1} + 1} \right) = {\text{ V}}_{\text{1}}^2{\text{V}}_{\text{2}}^2{\text{ }}{\text{, }}\]$

$\[ \pm \left\{ \begin{gathered} {{\text{z}}_{\text{1}}} - {{\text{y}}_{\text{1}}} = {\text{V}}_{\text{1}}^2 \hfill \\ {{\text{z}}_{\text{1}}} + {{\text{y}}_{\text{1}}} = {\text{V}}_2^2 - 1{\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} \right.,\]$

$ \[{{\text{x}}_{\text{1}}} = {{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}}{\text{, }}{{\text{y}}_{\text{1}}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^2 - {\text{V}}_{\text{1}}^2 - {\text{1}}} \right){\text{/2}}{\text{, }}{{\text{z}}_{\text{1}}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^2 + {\text{V}}_{\text{1}}^2 - {\text{1}}} \right){\text{/2}}\]$,

$\[{\text{x}} = {\text{2}}{{\text{x}}_{\text{1}}} = {\text{2}}{{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}}{\text{ }}{\text{, y}} = 2{y_1} + 1 = {\text{V}}_{\text{2}}^2 - {\text{V}}_{\text{1}}^2{\text{, z}} = 2{z_1} + 1 = {\text{V}}_{\text{2}}^2 + {\text{V}}_{\text{1}}^2\]$,

где $\[{{\text{V}}_{\text{2}}} > {{\text{V}}_1} + 1,\left( {{{\text{V}}_{\text{1}}}{\text{,}}{{\text{V}}_{\text{2}}}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ различной чётности.

Перепишем уравнение согласно задаче:

$\[{{\text{x}}^2} = {666^2} = {z^2} - {y^2} = \left( {z - y} \right)\left( {z + y} \right) = {\left( {2{V_1}{V_2}} \right)^2}.\]$

Из уравнения имеем: $\[{V_1}{V_2} = 333.\]$

Для нахождения пифагоровых троек, содержащих число 666, необходимо факторизовать квадрат числа 333. Тактм образом получаем 15 вариантов решения, из которых девять вариантов разные, шесть кратные при трёх вариантах:

\$[{666^2} = {1110^2} - {888^2},\left( {{4^*}} \right){,666^2} = {3034^2} - {2960^2},\left( {{2^*}} \right){,666^2} = {1110^2} - {888^2},\left( {{4^*}} \right),\]$

$\[{666^2} = {12330^2} - {12312^2},\left( {{3^*}} \right){,666^2} = {36966^2} - {36960^2}{,666^2} = {12330^2} - {12312^2},\left( {{3^*}} \right),\]$

$\[{666^2} = {4134^2} - {4080^2}{,666^2} = {1110^2} - {888^2},\left( {{4^*}} \right){,666^2} = {110890^2} - {110888^2},\]$

$\[{666^2} = {3034^2} - {2960^2},\left( {{2^*}} \right){,666^2} = {1450^2} - {1288^2}{,666^2} = {1110^2} - {888^2},\left( {{4^*})} \right.,\]$

$ \[{666^2} = {36966^2} - {36960^2}{,666^2} = {12330^2} - {12312^2},\left( {{3^*}} \right){,666^2} = {4134^2} - {4080^2},\]$

где * – кратность варианта.

Полученный набор пифагоровых троек, содержащих число 666, не полный. Подобные пифагоровые тройки получаем также из первого субуравнения, используя удовлетворяющие условию $\[\Pi = z = V_2^2 + V_1^2\]$ произведения части простых омножителей числа 666. Полученные таким образом решения субуравнения умножаются на произведение $\[d\]$ не использованных простых множителей числа 666. Факторизацией числа 666 имеем: $ \[666 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37\]$. Из полученных простых сомножителей условию удовлетворяет только произведение:

$\[\Pi = 1 \cdot 37 = z = V_2^2 + V_1^2 = {6^2} + {1^2} = 37,{V_1} = 1,{V_2} = 6.\]$


Определим значения $ \[x,y:\]$

$\[x = 2{V_1}{V_2} = 2 \cdot 1 \cdot 6 = 12,y = V_2^2 - V_1^2 = {6^2} - {1^2} = 35.\]$

Запишем полученное неоднородное уравнение:

$\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,12^2} = {37^2} - {35^2}.\]$

Умножив уравнение на квадрат произведени $\[{d^2} = {\left( {2 \cdot 3 \cdot 3} \right)^2} = {18^2}\]$я не использованных простых множителей, получаем однородное уравнение:

$\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,12^2} = {37^2} - {35^2}{,216^2} = {666^2} - {630^2}.\]$


Итак, имеется шестнадцать уравнений, содержащих пифагоровы тройки с числом из них десять разные варианты, шесть кратные, при трёх вариантах!

[Sandor]

В предыдущем сообщении я не указал – наряду с неоднородным уравнением $\[{12^2} = {37^2} - {35^2}\]$ – ещё три однородных уравнения, приводящих тоже к урывнению $\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,630^2} = {666^2} - {216^2}.\]$ Они следующие:

$\[1. \Pi = 2 \cdot 37 = 74 = z = V_2^2 + V_1^2 = {7^2} + {5^2} = 74,{V_1} = 5,{V_2} = 7,\]$
$\[x = 2{V_1}{V_2} = 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70,y = V_2^2 - V_1^2 = {7^2} - {5^2} = 24,\]$
$\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,70^2} = {74^2} - {24^2},{d^2} = {\left( {3 \cdot 3} \right)^2} = {9^2},\]$

$\[2. \Pi = 9 \cdot 37 = 333 = z = V_2^2 + V_1^2 = {18^2} + {3^2} = 333,{V_1} = 3,{V_2} = 18,\]$
$\[x = 2{V_1}{V_2} = 2 \cdot 3 \cdot 18 = 108,y = V_2^2 - V_1^2 = {18^2} - {3^2} = 315,\]$
$\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,108^2} = {333^2} - {315^2},{d^2} = {\left( 2 \right)^2},\]$

$\[3. \Pi = 1 \cdot 666 = z = V_2^2 + V_1^2 = {21^2} + {15^2} = 666,{V_1} = 15,{V_2} = 21.\]$
$\[x = 2{V_1}{V_2} = 2 \cdot 15 \cdot 21 = 630,y = V_2^2 - V_1^2 = {21^2} - {15^2} = 216.\$]
$\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,216^2} = {666^2} - {630^2},{d^2} = {\left( 1 \right)^2}.\]$

Всего имеется девятнадцать уравнений, содержащих пифагоровы тройки с числом 666, из них десять разные, девять кратные, при четырёх вариантах!

***

Нахождение пифагоровых троек, содержащих квадрат числа 666:


Любые пифагоровы тройки генерирует исключительно уравнение Пифагора:

$\[{x^2} = {z^2} - {y^2} = \left( {z - y} \right)\left( {z + y} \right) = V_1^2V_2^2.\]$

Следовательно, биквдратные или любые другие уравнения высших степеней их не генерируют! (Например, уравнения $\[{x^4} = {z^2} - {y^2} = \left( {z - y} \right)\left( {z + y} \right) = V_1^4V_2^4,{x^2} = {z^4} - {y^2},{x^2} = {z^2} - {y^4}\]$ их не генерируют, но могут их результировать). Поэтому перепишем первое уравнение предыдущего сообщения согласно поставленной задаче:

$\[{\left( {2{x_1}} \right)^2} = {\left( {{{666}^2}} \right)^2} = {\left( {443556} \right)^2} = {\left( {2{{\text{z}}_{\text{1}}} + 1} \right)^2} - {\left( {2{{\text{y}}_{\text{1}}} + 1} \right)^2} = {\left( {2{V_1}{V_2}} \right)^2}.\]$

Из уравнения имеем: $ \[{V_1}{V_2} = 221778.\]$

Для нахождения пифагоровых троек, содержащих кварат числа 666, (число 443556) необхоимо факторизовать квадрат числа 221778. Число решений сравнительно большое и опрелеляется значением исследуемого числа пифагоровой тройки. Решения могут быть однократными или многократными.

Получаемый при этом набор троек, содержащих квадрат числа 666, не полный. Подобные тройки получаем также из первого субуравнения, используя удовлетворяющие условию $\[\Pi = z = V_2^2 + V_1^2\]$ произведения части простых сомножителей числа 443556. Получаемые таким образом решения субуравнения умножаются на произведение $\[d\]$ не использованных простых множителей числа 443556. Решения могут быть однократными или многократными.