Нахождение пифагоровых троек, содержащих число 666
(не квадрат или биквадрат числа, ибо это разные задачи)
Ттройки генерирует уравнение Пифагора:

где

Анализ и разложение уравнения:
Уравнение инмонолитное (составное), однородное, определённое. Вводом явной чётности переменных оно разлагается на четыре субуравнения:

Первые два субуравнения, кроме обозначений, совпадают. Четвёртое субуравнение, после сокращения, приводит к одному из первых трёх. Поэтому достаточно исследовать первое и третье субуравнение. Третье субуравнение не имеет неоднородных, однородных и партикулярно-однородных решений (партикулярно-однородные решения исключены при равных степенях):
\
Перепишем субуравнение, запишем вариант и формулы решения:
![$ \[{\left( {2{x_1}} \right)^2} = {\left( {2{{\text{z}}_{\text{1}}} + 1} \right)^2} - {\left( {2{{\text{y}}_{\text{1}}} + 1} \right)^2},{\text{x}}_{\text{1}}^2 = \left( {{{\text{z}}_{\text{1}}} - {{\text{y}}_1}} \right)\left( {{{\text{z}}_{\text{1}}} + {{\text{y}}_1} + 1} \right) = {\text{ V}}_{\text{1}}^2{\text{V}}_{\text{2}}^2{\text{ }}{\text{, }}\]$ $ \[{\left( {2{x_1}} \right)^2} = {\left( {2{{\text{z}}_{\text{1}}} + 1} \right)^2} - {\left( {2{{\text{y}}_{\text{1}}} + 1} \right)^2},{\text{x}}_{\text{1}}^2 = \left( {{{\text{z}}_{\text{1}}} - {{\text{y}}_1}} \right)\left( {{{\text{z}}_{\text{1}}} + {{\text{y}}_1} + 1} \right) = {\text{ V}}_{\text{1}}^2{\text{V}}_{\text{2}}^2{\text{ }}{\text{, }}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/2/6d2325ed927aba7057c4b41c4d5967a982.png)
![$\[ \pm \left\{ \begin{gathered} {{\text{z}}_{\text{1}}} - {{\text{y}}_{\text{1}}} = {\text{V}}_{\text{1}}^2 \hfill \\ {{\text{z}}_{\text{1}}} + {{\text{y}}_{\text{1}}} = {\text{V}}_2^2 - 1{\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} \right.,\]$ $\[ \pm \left\{ \begin{gathered} {{\text{z}}_{\text{1}}} - {{\text{y}}_{\text{1}}} = {\text{V}}_{\text{1}}^2 \hfill \\ {{\text{z}}_{\text{1}}} + {{\text{y}}_{\text{1}}} = {\text{V}}_2^2 - 1{\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} \right.,\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/d/0dd915f971f228ead159332b7c5fa3d582.png)
![$ \[{{\text{x}}_{\text{1}}} = {{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}}{\text{, }}{{\text{y}}_{\text{1}}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^2 - {\text{V}}_{\text{1}}^2 - {\text{1}}} \right){\text{/2}}{\text{, }}{{\text{z}}_{\text{1}}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^2 + {\text{V}}_{\text{1}}^2 - {\text{1}}} \right){\text{/2}}\]$ $ \[{{\text{x}}_{\text{1}}} = {{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}}{\text{, }}{{\text{y}}_{\text{1}}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^2 - {\text{V}}_{\text{1}}^2 - {\text{1}}} \right){\text{/2}}{\text{, }}{{\text{z}}_{\text{1}}} = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^2 + {\text{V}}_{\text{1}}^2 - {\text{1}}} \right){\text{/2}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/5/0d5acbb313614139c87c873d5acfb86182.png)
,
![$\[{\text{x}} = {\text{2}}{{\text{x}}_{\text{1}}} = {\text{2}}{{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}}{\text{ }}{\text{, y}} = 2{y_1} + 1 = {\text{V}}_{\text{2}}^2 - {\text{V}}_{\text{1}}^2{\text{, z}} = 2{z_1} + 1 = {\text{V}}_{\text{2}}^2 + {\text{V}}_{\text{1}}^2\]$ $\[{\text{x}} = {\text{2}}{{\text{x}}_{\text{1}}} = {\text{2}}{{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}}{\text{ }}{\text{, y}} = 2{y_1} + 1 = {\text{V}}_{\text{2}}^2 - {\text{V}}_{\text{1}}^2{\text{, z}} = 2{z_1} + 1 = {\text{V}}_{\text{2}}^2 + {\text{V}}_{\text{1}}^2\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/3/453385a6855ac37cf96eaec786927f1c82.png)
,
где
![$\[{{\text{V}}_{\text{2}}} > {{\text{V}}_1} + 1,\left( {{{\text{V}}_{\text{1}}}{\text{,}}{{\text{V}}_{\text{2}}}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ $\[{{\text{V}}_{\text{2}}} > {{\text{V}}_1} + 1,\left( {{{\text{V}}_{\text{1}}}{\text{,}}{{\text{V}}_{\text{2}}}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/f/93fde4b85dca756ebe265b822fc4061b82.png)
различной чётности.
Перепишем уравнение согласно задаче:
Из уравнения имеем:
![$\[{V_1}{V_2} = 333.\]$ $\[{V_1}{V_2} = 333.\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/7/db779a25cc98ac887da56a39272a82b182.png)
Для нахождения пифагоровых троек, содержащих число 666, необходимо факторизовать квадрат числа 333. Тактм образом получаем 15 вариантов решения, из которых девять вариантов разные, шесть кратные при трёх вариантах:
\
![$[{666^2} = {1110^2} - {888^2},\left( {{4^*}} \right){,666^2} = {3034^2} - {2960^2},\left( {{2^*}} \right){,666^2} = {1110^2} - {888^2},\left( {{4^*}} \right),\]$ $[{666^2} = {1110^2} - {888^2},\left( {{4^*}} \right){,666^2} = {3034^2} - {2960^2},\left( {{2^*}} \right){,666^2} = {1110^2} - {888^2},\left( {{4^*}} \right),\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/3/e4319ba92142d6b429f2885f7949a63b82.png)
![$\[{666^2} = {12330^2} - {12312^2},\left( {{3^*}} \right){,666^2} = {36966^2} - {36960^2}{,666^2} = {12330^2} - {12312^2},\left( {{3^*}} \right),\]$ $\[{666^2} = {12330^2} - {12312^2},\left( {{3^*}} \right){,666^2} = {36966^2} - {36960^2}{,666^2} = {12330^2} - {12312^2},\left( {{3^*}} \right),\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/2/6927fd481c59535817e10a8f30e0698382.png)
где * – кратность варианта.
Полученный набор пифагоровых троек, содержащих число 666, не полный. Подобные пифагоровые тройки получаем также из первого субуравнения, используя удовлетворяющие условию
![$\[\Pi = z = V_2^2 + V_1^2\]$ $\[\Pi = z = V_2^2 + V_1^2\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/4/05408aa391325776c1d193b4b115e68a82.png)
произведения части простых омножителей числа 666. Полученные таким образом решения субуравнения умножаются на произведение
![$\[d\]$ $\[d\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/5/445f04e929d6fc4291d65cf6eb344a3782.png)
не использованных простых множителей числа 666. Факторизацией числа 666 имеем:
![$ \[666 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37\]$ $ \[666 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/a/6eae31b507c5b5476032adde7f3d040782.png)
. Из полученных простых сомножителей условию удовлетворяет только произведение:
Определим значения
![$ \[x,y:\]$ $ \[x,y:\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0fab8f57ab6e062f5afa95334d25861382.png)
![$\[x = 2{V_1}{V_2} = 2 \cdot 1 \cdot 6 = 12,y = V_2^2 - V_1^2 = {6^2} - {1^2} = 35.\]$ $\[x = 2{V_1}{V_2} = 2 \cdot 1 \cdot 6 = 12,y = V_2^2 - V_1^2 = {6^2} - {1^2} = 35.\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/e/d1e447f6ed6220c3a7364e7e99cdcdde82.png)
Запишем полученное неоднородное уравнение:
![$\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,12^2} = {37^2} - {35^2}.\]$ $\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,12^2} = {37^2} - {35^2}.\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/9/c89bf58e6632d840306c81de04c2c87f82.png)
Умножив уравнение на квадрат произведени
![$\[{d^2} = {\left( {2 \cdot 3 \cdot 3} \right)^2} = {18^2}\]$ $\[{d^2} = {\left( {2 \cdot 3 \cdot 3} \right)^2} = {18^2}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/4/dc4410d72d1839e30fb744cf523757ea82.png)
я не использованных простых множителей, получаем однородное уравнение:
![$\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,12^2} = {37^2} - {35^2}{,216^2} = {666^2} - {630^2}.\]$ $\[{x^2} = {z^2} - {y^2}{,12^2} = {37^2} - {35^2}{,216^2} = {666^2} - {630^2}.\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/b/7ab97db558e23f7bfabf66d8d033a3a382.png)
Итак, имеется шестнадцать уравнений, содержащих пифагоровы тройки с числом из них десять разные варианты, шесть кратные, при трёх вариантах!