О кривых 3-го и 4-го порядка (литература)

[Gal]

Не могли бы Вы подсказать литературу, где описывается:
1. Аналитическая формула угла поворота кубической формы.
2. Форма 4 степени. К сожалению не знаю ее названия.
3. Может быть существует литература по соотвествующим инвариантам?

[V.V.]

Если не ошибаюсь, у Манина была книга про кубические формы.

[gris]

V.V., наверное эта:
Манин Ю. И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика,— М.: Физматлит, 1972.

http://www.krelib.com/matematika/1445

[AKM]

Смогоржевский А.С., Столова Е.С.
Справочник по теории плоских кривых третьего порядка (М., Физматгиз, 1961)

[V.V.]

gris, наверное.

[Gal]

Спасибо всем откликнувшимся. А, все таки. существует ли литература по плоским кривым четвертого порядка? Исследовать эллипс проще, чем параболу.

Прошу Вас не использовать красный цвет (см. Правила). /АКМ

[Алексей К.]

"Общая теория кривых 4-го порядка и вопросы их классификации слабо развиты по сравнению с теорией кривых 3-го порядка.
Одна из ранних попыток классификации этих кривых связывается с именем Варинга (1792), который разделил их на 12 классов, объединяющих 84551 кривых частного вида."

-- 09 окт 2009, 13:45 --

Gal в сообщении #250353 писал(а):

Исследовать эллипс проще, чем параболу.

???

Кстати, Gal, ровно сейчас по телику показывают Ваши проблемы. Что Вам стоит через Каменскую выйти на её мужа Чистякова, который всё это знает?

[Попов А.В.]

Не скажу точную ссылку, но попадалась мне у Гильберта
такая литература. Причем как помню, там же указывались специальные названия для форм малых степеней (до 6 вроде-бы).

[ewert]

Алексей К. в сообщении #250365 писал(а):

???

Ну в смысле его проще нарисовать. Два гвоздика, верёвочка, карандашик...

[Shtirlic]

А вывести это формулу сложно??? Берем формулу поворота точки вокруг начала координат и подставляем.

[Gal]

Проблема не в том, чтобы найти численное значение угла интерполируемой функции, а аналитическую закономерность и вообще, что считать собственным углом наклона трансформированной кривой более сложной, чем коническое сечение.
А у Каменской надо спросить. Кто же дал им эту задачу.

[Алексей К.]

Gal в сообщении #250028 писал(а):

Не могли бы Вы подсказать литературу, где описывается:
1. Аналитическая формула угла поворота кубической формы.

Gal в сообщении #251047 писал(а):

Проблема не в том, чтобы найти численное значение угла интерполируемой функции, а аналитическую закономерность и вообще, что считать собственным углом наклона трансформированной кривой более сложной, чем коническое сечение.

Всё таки следует заметить, что выражаетесь Вы больно непонятно. "Угол интерполируемой функции", по-моему, ни в какие ворота не лезет. По первому пункту можно догадаться, что речь идёт об угле поворота системы координат, аналогичном углу, возникающему при приведении квадратичной формы к каноническому виду (либо к главным осям).
Но Вы уверены, что для третьего порядка существует некое "каноническое уравнение"? У того же Савёлова указано 7 классов кривых, каждый со своим уравнением. И "главные оси" надо как-то специально определять (там чаще обращаются к асимптотам).

[Gal]

Спасибо, понятно. Поскольку нет канона, нет и собственного базиса. За тезаурус извините, классического математического образования, к сожалению, не имею.
Можно ли тогда считать каноническим уравнением:
1. Определена параметрическая система уравнений кривой по геометрическим построениям движения точки с использованием тригонометрических функций;
2. Осуществлен переход от полярных координат к декартовым, таким образом, чтобы уравнение не содержало тригонометрических зависимостей и было вида (1) стр. 44 Савелова?
Вообще, каноническое уравнение относится к алгебраическим, неалгебраическим или одновременно обоим классам геометрии?

[Алексей К.]

Я точно помню, что когда у меня был доступ к библиотеке, я интересовался термином "каноническое уравнение". А именно, я предполагал, что за этим стоит
либо какой-то чисто исторический аспект;
либо максимальная простота (необходимый минимум параметров формы, если речь идёт об уравнении кривой), что достигается специальным выбором системы координат;
либо оба упомянутых свойства.
Но в Математической Энциклопедии (5 томов под ред. Виноградова) я такой статьи НЕ нашёл.
Наверное, кан. ур. эллипса $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, переписанное в виде $b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0$, уже перестаёт быть каноническим.
Полагаю, Вам просто надо НЕ пользоваться этим термином в данном случае, чтобы не вводить в заблуждение собеседников (здешних или будущих).
Уравнение от Савёлова

$$Ax^3+3Bx^2y+3Cxy^2+Dy^3+3Ex^2+6Fxy+3Gy^2+3Hx+3Ky+L=0\qquad\eqno(1)$$

тоже к таковым не отностится: это общее уравнение, как у него и сказано. Выбором системы координат число коэффициентов может быть умешьшено (7 вариантов, которые Вы видели).

У Вас могут быть:

• параметрическое уравнение в полярныx координатах $[r(t),\varphi(t)]$;
• явное $r=f(\varphi)$ или неявное $P(r,\varphi)=0$ уравнение в полярныx координатах;
• параметрическое уравнение в декартовых координатах $[x(t),y(t)]$;
• явное или неявное $F(x,y)=0$ уравнение в декартовых координатах.

Но это чисто о словоупотреблении. Ща пересмотрю тему, были ли другие вопросы. Глубинами теории не интересовался.

[pikartan]

добились успехп в кривых четвёртого порядка?
просто тоже ими интересуюсь..