Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Вы советуете попробовать все методы? Это может что-то дать? Я строила все квадраты больших порядков методом d3.
Вчера попробовала построить также наименьшие магические квадраты порядков 9 - 10 из смитов, тоже ничего не получила (но не пробовала все методы). Раньше вы пробовали составить наименьший квадрат из смитов 6-го порядка (по моей просьбе), это тоже не получилось.
Итак, для порядков 6 -11 нет наименьших квадратов из смитов и непонятно, как же их искать. У кого есть идеи?
Получается, что элемент случайности, присутствующий и в ваших, и в моих программах, предполагает элемент везения. Если решений много, то вероятность найти решение высока. Если же решений мало, то тут как повезёт Вот, например, мне удалось построить квадрат порядка 10 из последовательных смитов (может быть, наименьший?) по своей программе, а вам удалось построить наименьший квадрат порядка 11 из последовательных смитов. И что самое плохое, мои программы (начиная с порядка 5) [думаю, что и ваши программы тоже] не дают однозначного ответа о существовании магического квадрата из данного массива чисел. Он может и существовать, но найти его наши программы не могут.

[ice00]

I'm compiling and testing programs until order 40. In order 38 I get an error message that should not happen. For the methods used the square was magic, but after the verification is was not. Maybe there is some problems with this square that use 64 bits integer. However, taking another square it goes magic, so look carefull if there are errors message when producing squares for high order

-- Sat Oct 10, 2009 11:21:50 --

Цитата:

Вы советуете попробовать все методы? Это может что-то дать? Я строила все квадраты больших порядков методом d3.

Use the -m switch to choose the methods to use.
D3 works well with order around 14. For upper orders, I see that C3 works better, but with order that ingrease B3 seems to be better and better..

-- Sat Oct 10, 2009 11:41:18 --

Squares for Order 33 and 40 for sequence of prime numbers are now created:

*** ORDER: 33   - SEQ(3)         FROM: 5          MAGIC=134641
*** ORDER: 34   - SEQ(19)        FROM: 67         MAGIC=152952
*** ORDER: 35   - SEQ(2)         FROM: 3          MAGIC=163043
*** ORDER: 36   - SEQ(8)         FROM: 19         MAGIC=180596
*** ORDER: 37   - SEQ(3)         FROM: 5          MAGIC=195975
*** ORDER: 38   - SEQ(17)        FROM: 59         MAGIC=218432
*** ORDER: 39   - SEQ(17)        FROM: 59         MAGIC=237623
*** ORDER: 40   - SEQ(119)       FROM: 653        MAGIC=293182

Squares reported here:
http://digilander.libero.it/ice00/magic/prime/orderConstant.html

Windows programs here:
http://www.4shared.com/file/139813131/46e7fb32/pms31-40.html

[Nataly-Mak]

Да, я умею пользоваться переключателем для выбора метода.
Сегодня убедилась при построении наименьшего квадрата порядка 25, что метод а3 в этом случае работает лучше, чем метод d3 (последним методом квадрат никак не строился, а методом а3 построился мгновенно).
Я сегодня завершила написание второй части статьи "Наименьшие магические квадраты из простых чисел".
Расширила последовательности А164843 и А073502.
Для последовательности А164843:

n = 15, S = 9731
n = 16, S = 12088
n = 17, S = 14807
n = 18, S = 17942
n = 19, S = 21501
n = 20, S = 25530

Для последовательности А073502:

n = 16 S = 11986
n = 18 S = 17818
n = 19 S = 21373
n = 20 S = 25394
n = 21 S = 29873
n = 23 S = 40511
n = 24 S = 46664
n = 25 S = 53445
n = 26 S = 60898
n = 27 S = 69045

Пропущенные квадраты порядков 15, 17 и 22 в точности подобны квадрату Дж. Н. Манси и давно построены ice00.
В последней части указанной статьи планирую рассказать о квадратах, составленных из последовательных простых чисел (это последовательность А073520).

-- Сб окт 10, 2009 17:34:47 --

Довела последовательность А073502 до порядка 31 включительно.

n = 28 S = 77888
n = 29 S = 87473
n = 30 S = 97850
n = 31 S = 109065

Теперь буду продолжать последовательность А164843 тоже до порядка 31.
А для порядков больше 31 у меня нет программ. Со скачиванием у меня проблемы. Как мне объяснили на другом форуме, проблемы эти возникают потому, что на публичных файлообменниках типа того, что использует ice00, нельзя пользоваться менеджером закачек, если нет платного доступа. Вот! Поэтому скачать у меня никак не получается. Я пользуюсь сейчас программами, которые ice00 прислал мне в письмах прикреплёнными файлами.
Впрочем, достаточно будет сделать до порядка 31, для бОльших порядков сделает кто-нибудь другой. Тем более что ice00 предупредил, что там могут возникнуть ошибки, которых по идее быть не должно.

[Nataly-Mak]

Продолжила последовательность А164843 до квадрата порядка 31, то есть все магические квадраты порядков 21 - 31 построила сегодня.

n = 21 S = 30021
n = 22 S = 35086
n = 23 S = 40675
n = 24 S = 46840
n = 25 S = 53631
n = 26 S = 61092
n = 27 S = 69251
n = 28 S = 78100
n = 29 S = 87697
n = 30 S = 98084
n = 31 S = 109309

При этом некоторые квадраты построены для двух вариантов массива, а квадрат порядка 29 - для четырёх вариантов массива.
Теперь обе последовательности - А073502 и А164843 - доведены до порядка 31.
Новую версию статьи "Наименьшие магические квадраты из простых чисел (часть II)" с добавлением последних квадратов выложу на сайт завтра.

[ice00]

I'm testing the programs for order 41 to 50.
Even order 42 and 43 give a error message the first time, but after the square were created correctly. The method is always B3 (the one that works better in high order).

-- Sun Oct 11, 2009 20:33:48 --

Order 46 gives 3 errors before generating a magic square, so it is probably that increasing the order will make the errors more frequent

[Бодигрим]

В порядке лирического отступления:
Как по мне, то математическая красота должна быть лаконичной. Вот какой-нибудь хитромагический квадрат 3х3, 4х4 или в крайнем случае 6х6 - это красиво, его можно "окинути оком" (простите, не помню, как это по-русски) и восхититься его "пропорциональностью". А вот что делать с магическим квадратом 40х40 и как оценить его соразмерность "на глаз" - не понимаю.

[Nataly-Mak]

Ну, это вы напрасно
Покажу вам классический магический квадрат 24-го порядка, который построен на основе схемы Франклина в его полумагических квадратах плюс мой метод качелей.

1 48 49 96 97 144 145 192 193 240 241 288 289 336 337 384 385 432 433 480 481 528 529 576
574 531 526 483 478 435 430 387 382 339 334 291 286 243 238 195 190 147 142 99 94 51 46 3
573 532 525 484 477 436 429 388 381 340 333 292 285 244 237 196 189 148 141 100 93 52 45 4
7 42 55 90 103 138 151 186 199 234 247 282 295 330 343 378 391 426 439 474 487 522 535 570
8 41 56 89 104 137 152 185 200 233 248 281 296 329 344 377 392 425 440 473 488 521 536 569
566 539 518 491 470 443 422 395 374 347 326 299 278 251 230 203 182 155 134 107 86 59 38 11
565 540 517 492 469 444 421 396 373 348 325 300 277 252 229 204 181 156 133 108 85 60 37 12
15 34 63 82 111 130 159 178 207 226 255 274 303 322 351 370 399 418 447 466 495 514 543 562
16 33 64 81 112 129 160 177 208 225 256 273 304 321 352 369 400 417 448 465 496 513 544 561
558 547 510 499 462 451 414 403 366 355 318 307 270 259 222 211 174 163 126 115 78 67 30 19
557 548 509 500 461 452 413 404 365 356 317 308 269 260 221 212 173 164 125 116 77 68 29 20
23 26 71 74 119 122 167 170 215 218 263 266 311 314 359 362 407 410 455 458 503 506 551 554
24 25 72 73 120 121 168 169 216 217 264 265 312 313 360 361 408 409 456 457 504 505 552 553
555 550 507 502 459 454 411 406 363 358 315 310 267 262 219 214 171 166 123 118 75 70 27 22
556 549 508 501 460 453 412 405 364 357 316 309 268 261 220 213 172 165 124 117 76 69 28 21
18 31 66 79 114 127 162 175 210 223 258 271 306 319 354 367 402 415 450 463 498 511 546 559
17 32 65 80 113 128 161 176 209 224 257 272 305 320 353 368 401 416 449 464 497 512 545 560
563 542 515 494 467 446 419 398 371 350 323 302 275 254 227 206 179 158 131 110 83 62 35 14
564 541 516 493 468 445 420 397 372 349 324 301 276 253 228 205 180 157 132 109 84 61 36 13
10 39 58 87 106 135 154 183 202 231 250 279 298 327 346 375 394 423 442 471 490 519 538 567
9 40 57 88 105 136 153 184 201 232 249 280 297 328 345 376 393 424 441 472 489 520 537 568
571 534 523 486 475 438 427 390 379 342 331 294 283 246 235 198 187 150 139 102 91 54 43 6
572 533 524 485 476 437 428 389 380 341 332 293 284 245 236 197 188 149 140 101 92 53 44 5
2 47 50 95 98 143 146 191 194 239 242 287 290 335 338 383 386 431 434 479 482 527 530 575

Я могу построить по разработанному мной алгоритму подобные квадраты и бОльших порядков. Красота этого квадрата (соразмерность, упорядоченность чисел в соседних ячейках) просто изумительна! Несмотря на довольно большой порядок это нельзя не заметить даже при беглом взгляде на этот квадрат.
Что касается нетрадиционных магических квадратов из простых чисел, тут удивляет сам факт, что числа складываются в строки, столбцы и главные диагонали так, что суммы всюду равны магической константе. Разве это не восхитительно? В этом тоже своя красота. Кроме того: попробуйте-ка сложить такой квадратик, вы убедились, что это совсем непросто даже для квадрата 5-го порядка. А вот ice00 построил такой квадрат 124-го порядка (подобный квадрату Дж. Н. Манси)! Это вас не удивляет?

[Someone]

Бодигрим в сообщении #251085 писал(а):

"окинути оком" (простите, не помню, как это по-русски)

Да практически так же: "окинуть взглядом".

Nataly-Mak в сообщении #251094 писал(а):

Красота этого квадрата (соразмерность, упорядоченность чисел в соседних ячейках) просто изумительна! Несмотря на довольно большой порядок это нельзя не заметить даже при беглом взгляде на этот квадрат.

Nataly-Mak, Вы, конечно, правы, но человек должен знать, на что глядеть, на чём его взгляд должен остановиться. Я, например, не знаю. Поэтому не удивляйтесь, когда задают подобные вопросы.

[maxal]

Я бы сказал, что красота здесь скрыта не сколько в самих квадратах (которых можно нагенерировать великое множество), сколько в алгоритме который их генерирует. Зная как трудно удовлетворить одновременно множество условий, которые должны выполняться, например, для идеального магического квадрата, становится понятно, что алгоритм построения такого квадрата обязан быть "красивым".

[Бодигрим]

maxal в сообщении #251149 писал(а):

Я бы сказал, что красота здесь скрыта не сколько в самих квадратах (которых можно нагенерировать великое множество), сколько в алгоритме который их генерирует.

Вы меня опередили - как раз собирался написать что-то в этом духе. То есть сам по себе факт существования магического квадрата из простых чисел 124-го порядка меня ни разу не вдохновляет: из эмпирических соображений понятно, что он существует почти наверняка - очень уж много степеней свободы. Еще меньше мне интересен конкретный пример такого квадрата. А вот элегантный алгоритм его построения - да, это очень интересно.

[Nataly-Mak]

Однако вы говорили, собственно, о красоте самого квадрата, поначалу
Вас не впечатлила красота приведённого мной квадрата 24-го порядка? Или вы тоже не знаете, куда надо смотреть, чтобы увидеть эту красоту? Окиньте же оком этот квадрат! Неужели вы ничего красивого в нём не видите?

[Nataly-Mak]

Кстати, посмотрите о построении магического квадрата 124-го порядка из последоветельных простых чисел и числа 1здесь.
Может быть, это вам что-нибудь скажет насчёт алгоритма генерации таких квадратов. А далее берёте подобный квадрат 191-го порядка (насколько мне известно, ice00 его пока не построил) и строите его! Точнее: придумываете алгоритм его построения. Данные для этого квадрата уже известны, массив чисел: 1, 3, 5, 7, ... (не знаю последнее число массива, но его легко определить, в массиве должно быть 191*191 чисел), магическая константа равна 39541261 (её вычислил ice00).
А далее задача для всех: определить порядок следующего (следующих) квадрата (квадратов) в точности подобного квадрату Дж. Н. Манси и построить его (их). Повторю порядки подобных квадратов: $12, 15, 17, 22, 35, 124, 191$.
Ещё можно попросить ice00 рассказать об алгоритме построения магического квадрата 124-го порядка (если об этом не рассказано по указанной выше ссылке).

[ice00]

Цитата:

A further challenge for all: to determine the order of the next (following) the square (squares) is exactly like the square JN Muncie and build it (them). Repeat orders such squares: $12, 15, 17, 22, 35, 124, 191$ . .

hint: you will not find other orders below 400...

Цитата:

You can also ask ice00 describe the algorithm for constructing a magic square 124-th order (if this is not described at the link above).

Building this high order I then find the best way to make diagonal magic and all this is now implemented into the c++ programs.

Essentially the methods is this:
Start with a random filled square (for the case of 124 I select one that has not a big difference to the magic constant in row/columns).

Starting from one row, I check all the combination of swaps from one cell of this row to another one cell of second row that make the first row magic.

It goes with this until the two last rows, where all the two rows are make magic.

Then the square is rotated and the same method is apply to the columns (than now are rows)

Notes that for this big order I have manually choose for the last rows the one to combine (I choose the ones with +/- difference from magic constant).

Now that all the rows and columns are magic, I find this simple solution for diagonals: take elements (by search for combination) into the square that make the two column magic, but make some rows and columns not magic.

Now apply the same methods for making rows and columns magic, but with the exception that no elements in diagonal must be moved.

The square is now all magic

[Nataly-Mak]

ice00 в сообщении #251257 писал(а):

hint: you will not find other orders below 400...

Хорошая подсказка! Спасибо. И за алгоритм спасибо
Теперь кто-нибудь может построить магический квадрат 191-го порядка, пользуясь вашим оригинальным алгоритмом.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #251205 писал(а):

А далее задача для всех: определить порядок следующего (следующих) квадрата (квадратов) в точности подобного квадрату Дж. Н. Манси и построить его (их). Повторю порядки подобных квадратов: $12, 15, 17, 22, 35, 124, 191$.

Вот подобные порядки и соответствующие им магические константы:

? s=1; n=1; forprime(p=3,10^10,s+=p;n++;if(issquare(n)&&s%sqrtint(n)==0,print(sqrtint(n)," ",s\sqrtint(n))) )
2 8
3 33
4 95
12 4514
15 9635
17 14691
22 34926
30 97849
35 162759
78 2224007
98 4648955
124 9912840
191 39541261
774 3337076100
788 3530916107
1405 21739504261
1522 27937907474
3988 567797235614
6220 2267788228264
7448 3972430454150
8038 5035120564686
11404 14927463168710

С порядками меньшими 12-ти квадратов не существует (если верить Манси), а вот почему в вашем ряду пропущены порядки 30, 78 и 98 - их что, тоже не существует?