Решение диффура, полученного из задачи по теормеху

[OUGHT]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, с проблемой. Не сходится ответ.
Выкладываю лишь "математическую часть", ибо преподаватель сказал, что ошибка в ней. Если потребуется, выложу "механическую".
Дано (а частично вычислено в части "теормеха"):
$f = 0.05$
$v_0 = 180$ км/ч
$m = 1000$ кг
$\mu = 0.154$
$k = 0.302$
Необходимо найти значение $s$ при $v = 0$.
Уравнение:

$$mv\frac{dv}{ds} = v^2(fk-\mu)-fmg$$

Как решал:
Вносим $v$ под знак дифференциала и преобразуем:

$$\frac{dv^2}{ds} = 2v^2\frac{fk-\mu}{m}-2fg$$

Введем для удобства новые обозначения:
$\tau = \frac{fk-\mu}{m}$
$\nu = \frac{fg}{\tau}$
Тогда после преобразований получаем:

$$\frac{dv^2}{ds} = 2\tau(v^2-\nu)$$

$$ln|v^2-\nu| = 2{\tau}s + C$$

В начальных условиях $s = 0$, $v = v_0$. Тогда

$$ln|{v_0}^2-\nu| = C$$

$$2{\tau}s = ln\left|\frac{v^2-\nu}{{v_0}^2-\nu}\right|$$

$$s = \frac{1}{2{\tau}}ln\left|\frac{v^2-\nu}{{v_0}^2-\nu}\right|$$

В интересующий нас момент времени $v=0$, тогда

$$s = \frac{1}{2{\tau}}ln\left|\frac{-\nu}{{v_0}^2-\nu}\right|$$

Но при подстановке получаем $\tau = -0.00014, \nu = -3500, \frac{1}{2\tau}=-3703$, а $s = 8620$, хотя в ответе сказано, что $s = 644$.
Бьюсь (с перерывами) третью неделю. Ошибки не вижу. Подскажите, пожалуйста, есть ли она и если есть, то где?
P.S. Использую $\TeX$ первый раз - покритикуйте, пожалуйста =)

[shwedka]

OUGHT в сообщении #250809 писал(а):

Тогда после преобразований получаем:

$$\frac{dv^2}{ds} = 2\tau(v^2-\nu)$$

Ошибка в арифметике на этом месте.
относительно переменной $v^2$
у Вас ЛИНЕЙНОЕ уравнение

[_v_l]

shwedka в сообщении #250811 писал(а):

OUGHT в сообщении #250809 писал(а):

Тогда после преобразований получаем:

$$\frac{dv^2}{ds} = 2\tau(v^2-\nu)$$

Ошибка в арифметике на этом месте.
относительно переменной $v^2$
у Вас ЛИНЕЙНОЕ уравнение

Сделаем замену переменной $v^2-\nu=u$, получаем
$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}s}=2\tau u$.

Линейное уравнение, решаем разделяя переменные:
$\ln u=2\tau s+C$

Возвращаемся к исходной функции $v^2$:
$\ln(v^2-\nu)=2\tau s+C$
как у автора темы.

Автору темы: логарифм, как и другие математические функции, набираются командами: \ln x даёт $\ln x$, см. ссылки, приведённые в верхней части страницы:

Цитата:

тэг math

OUGHT в сообщении #250809 писал(а):

Выкладываю лишь "математическую часть", ибо преподаватель сказал, что ошибка в ней. Если потребуется, выложу "механическую".
Дано (а частично вычислено в части "теормеха"):
$f = 0.05$
$v_0 = 180$ км/ч
$m = 1000$ кг
$\mu = 0.154$
$k = 0.302$

Если я правильно понимаю, приведённые здесь значения для безразмерных величин вычислены в одной системе единиц.

OUGHT в сообщении #250809 писал(а):

Но при подстановке получаем $\tau = -0.00014, \nu = -3500, \frac{1}{2\tau}=-3703$, а $s = 8620$, хотя в ответе сказано, что $s = 644$.

И если $g$ это ускорение свободного падения ($g=9{,}8$ $\text{м}/\text{с}^2$), то получаются такие значения: $\tau = -0{,}0001389$, $\nu\approx-3527{,}72$, $\dfrac{1}{2\tau}\approx-3599{,}71$, $v_{0}=50$ м/с. Подставляем их в формулу, получаем
$s\approx1928{,}43$
Это число в приблизительно в 3 раза больше

OUGHT в сообщении #250809 писал(а):

в ответе сказано, что $s = 644$.

Нужна

Цитата:

"механическая"

часть. С математической всё правильно. Скорее всего неправильно были вычислены значения параметров. Все действия нужно проводить в одной системе единиц, а именно в СИ (т.к. уравнения для механических систем записываются в СИ, но можно использовать и СГС, впрочем это уже оффтопик).

[Shtirlic]

Я тоже считаю, что математическая часть правильная, решил по бернулли, все совпало. Нужна механика.

[OUGHT]

Благодарю за помощь._v_l правильно указал на ошибку в арифметике - я подставлял скорость "как есть", в км/ч, а не преобразовывал в м/с =) Пересчитав с учетом этого коэффициенты $\mu$ и $k$, получил верный ответ - $644$ м.
Большое спасибо! =)
P.S. Я думаю, за неактуальностью "механическую" часть можно не приводить?
P.P.S. На правах оффтопа - как в $\TeX$ записывать размерности единиц русскими буквами? Он их просто игнорирует, а я привык к $\frac{km}{h}$, а не km/h.

[RIP]

OUGHT в сообщении #250859 писал(а):

как в $\TeX$ записывать размерности единиц русскими буквами?

$\text{русские буквы}$
$\text{русские буквы}$
Например:
$\frac{\text{км}}{\text{ч}}$

[AKM]

OUGHT в сообщении #250859 писал(а):

На правах оффтопа - как в $\TeX$ записывать размерности единиц русскими буквами?

Это посложнее. Либо Вы выносите текст за формулу $\sqrt{2gh}$ м/сек, либо используете команду \text{...}:

$$ 60\frac{\text{км}}{\text{ч}}\simeq17\frac{\text{м}}{\text{сек}},\quad\text{если я не ошибся.} $$

А про права оффтопа мне, к сожалению, ничего неизвестно.

[OUGHT]

Благодарю за информацию. Тест: $180\frac{\text{км}}{\text{ч}}=50\frac{\text{м}}{\text{с}}.\quad\text{Так-то!}$
"На правах оффтопа" означает, что данный текст можно воспринимать как оффтоп. А можно и не воспринимать

[RIP]

OUGHT в сообщении #250881 писал(а):

$180\frac{\text{км}}{\text{ч}}=50\frac{\text{м}}{\text{с}}.\quad\text{Так-то!}$

Это можно и так набрать:

[math]$180\frac{\text{км}}{\text{ч}}=50\frac{\text{м}}{\text{с}}.$\quad Так-то![/math]

$180\frac{\text{км}}{\text{ч}}=50\frac{\text{м}}{\text{с}}.$\quad Так-то!

[OUGHT]

Понятно, то есть вне знаков доллара внутри тега можно писать без \text. Благодарю.