ЕГЭ- С6, уравнение

[gris]

Sla_sh, вот что школьники точно умеют, так это определять, что больше $7$ или $5\sqrt2$

[Sla_sh]

дада. минус забыл проставить)

[srider0000]

Объясните, пожалуйста, ещё раз для тупых, почему если $x,y,a,b,n$ - рациональные, то

$(x+y\sqrt2)^n=a+b\sqrt2 \Rightarrow (x-y\sqrt2)^n=a-b\sqrt2$

[Shtirlic]

Насчет ЕГЭ хочу сказать. Я сам его сдавал года 3 назад, тогда нам говорилась, что для общеобразовательного стандарта первые три задачи из C, остальные для тех, кто изучал математику углубленно.

[ewert]

srider0000 в сообщении #250659 писал(а):

Объясните, пожалуйста, ещё раз для тупых, почему если $x,y,a,b,n$ - рациональные, то

$(x+y\sqrt2)^n=a+b\sqrt2 \Rightarrow (x-y\sqrt2)^n=a-b\sqrt2$

В этом месте -- дело пока что вовсе не в рациональности. Просто все чётные степени $y\sqrt2$ группируем отдельно, а все нечётные -- отдельно. В той группе, где степени нечётные, выносим тот самый мистический $\sqrt2$ за скобку, а в скобках ничего такого мистического уже и не остаётся, поскольку в тех скобках пресловутый мистер Пек $\sqrt2$ возводится как минимум в квадрат.

[Shtirlic]

srider0000
Смотри, при разложении (по биному ньютана скажем) получим слогаемые куда входит $sqrt 2$ в какой-то степени (нулевая степень здесь тоже рассматривается), где степень четная, там рациональное число получиться, где нет - иррациональное. Теперь $sqrt 2$ заменим на - $- sqrt 2$. Где степень четная, там минуса не будет, то есть рациональная часть не измениться, где нечетная - минус останеться, то есть иррациональная часть поменяет знак.

[srider0000]

А почему нельзя просто свести исходное выражение к виду $(a-7) + (b-5)\sqrt2 = 0$ и выразить $\sqrt2 = -\frac{a-7}{b-5}$, что не может быть, так как рациональные числа замкнуты относительно арифметических операций.

[ewert]

srider0000 в сообщении #250667 писал(а):

А почему нельзя просто свести исходное выражение к виду

А как свести-то?... Откуда Вы возьмёте в левой части те самые пятёрки с семёрками (если ещё и учесть, что для задачки конкретно они -- вовсе не обязательны)?...

[Shtirlic]

Цитата:

А почему нельзя просто свести исходное выражение к виду math/c13f8f9a313b0744d90b58dd97784ebf82.gif

Потому что задача может иметь решение если $a-7=b-5=0$, и нужно доказать, что этого не может быть, а там многочлен 6 степени.

[Профессор Снэйп]

srider0000 в сообщении #250659 писал(а):

Объясните, пожалуйста, ещё раз для тупых, почему если $x,y,a,b,n$ - рациональные, то

$(x+y\sqrt2)^n=a+b\sqrt2 \Rightarrow (x-y\sqrt2)^n=a-b\sqrt2$

Индукция по $n$

[citadeldimon]

Профессор Снэйп в сообщении #251031 писал(а):

Индукция по $n$

Доказательство наверно будет "очень" простым