ЕГЭ- С6, уравнение

[ИСН]

Бросьте. Иррациональность корня из двух в школьном курсе вроде была.

[gris]

Иррациональность $\sqrt 2$ конечно была. Что-то я туплю Как её использовать?

[ewert]

gris в сообщении #250613 писал(а):

Иррациональность $\sqrt 2$ конечно была. Что-то я туплю Как её использовать?

Школьнику (как и ежу) понятно, что левая часть может быть представлена как $a+b\sqrt2$, причём $a$ то же, что и для исходного выражения, а $b$ имеет противоположный знак. Теперь доказательство сводится к тому, что такое представление единственно. А это ровно и означает иррациональность $\sqrt2$.

(И я совсем не уверен, что последний переход предполагался авторами задачи; вполне возможно, что они готовы были считать его подразумевающимся.)

[gris]

Значит, я не ёж
Автор давно уже всё понял, я думаю. Так что приведите решение для тупоголовых, если не затруднит.
Левая часть представима в виде $a+b\sqrt 2$. Почему не возможен случай, когда $a=7$, а $b=5$?

[TOTAL]

Kuzya в сообщении #250577 писал(а):

А рациональность появилась, как я понимаю, для запудривания мозгов

Докажите невозможность равенства, если не требовать рациональности.

[Sla_sh]

да выше ж доказали уже. в четвертом посте от начала

[gris]

Допустим, что существуют рациональные $x,y,u,v$ такие, что $(x+y\sqrt2)^6+(u+v\sqrt2)^6=7+5\sqrt2$ .
Рассмотрим выражение $(x-y\sqrt2)^6+(u-v\sqrt2)^6$
Его рациональная часть... Его иррациональная часть...
Дошло наконец-то. Бедные школьники.

[Sla_sh]

Гм, а до меня не доходит. Каким образом школьник переходит к рассмотрению выражения $(x-y\sqrt2)^6+(u-v\sqrt2)^6$? О чем он думает в момент перехода? )

[TOTAL]

Sla_sh в сообщении #250630 писал(а):

да выше ж доказали уже. в четвертом посте от начала

Там доказали только для рациональных.
А с нерациональными равенство запросто возможно, например
$x=\sqrt{1+\sqrt{2}}, y=0, u=0, v=0$

[gris]

Sla_sh, вот и я о том же. Разве, что его специально натаскивали на ЕГЭ и показали подобную задачу.
А если бы там было $...=8+5\sqrt2?$

Хотя это задача из почти олимпиадного раздела ЕГЭ...

[ewert]

gris в сообщении #250624 писал(а):

Почему не возможен случай, когда $a=7$, а $b=5$?

Потому, что возможен случай, когда $a=7$, а $b=-5$.

Если в выражении $(x+y\sqrt2)^6$ раскрыть скобки, то получится сколько-то слагаемых с различными степенями $y$. Группа слагаемых с чётными степенями сворачивается в некоторое рациональное число $a$. Группа слагаемых с нечётными степенями даёт (после вынесения $\sqrt2$ за скобку) число $b\sqrt2$, где $b$ рационально. Тогда если $(x+y\sqrt2)^6=a+b\sqrt2$, то $(x-y\sqrt2)^6=a-b\sqrt2$ (вот тут-то и используется единственность представления вида $a+b\sqrt2$).

Аналогично для $(u+v\sqrt2)^6$. Т.е. если исходное выражение было равно $7+5\sqrt2$, то после изменения знаков обязательно получится $7-5\sqrt2$.

[gris]

ewert, спасибо, я уже разобрался.
Я просто думал (как и Sla_sh), как научить школьника находить такие решения. Что он должен заметить? Те, кто сразу увидели решение, они сразу догадались или просто решали подобное сто раз?

[ewert]

gris в сообщении #250640 писал(а):

, как научить школьника находить такие решения.

Не знаю, я сам не умею такие находить. Но если бы меня надрессировать...

[TOTAL]

gris в сообщении #250640 писал(а):

как научить школьника находить такие решения. Что он должен заметить? Те, кто сразу увидели решение, они сразу догадались или просто решали подобное сто раз?

Да не задача это, а извращение. Таких уродцев надобавляли в ЕГЭ для того, чтобы сказать, что задачи в ЕГЭ не простые.

[Sla_sh]

TOTAL в сообщении #250636 писал(а):

Sla_sh в сообщении #250630 писал(а):

да выше ж доказали уже. в четвертом посте от начала

Там доказали только для рациональных.
А с нерациональными равенство запросто возможно, например
$x=\sqrt{1+\sqrt{2}}, y=0, u=0, v=0$

там в правой части 7-5\sqrt2$, что равно -0,07.
в левой части при $x=\sqrt{1+\sqrt{2}} у меня получилось 14,07.