Часы

[bot]

Руст писал(а):

Иррациональными часами можно назвать такие, у которого в системе отсчёта, где одна из стрелок стоит, отношение стрелок двух других иррационально.

Именно так.

Цитата:

Я поряжаюсь терпением bota в объяснении простого эффекта отличия вероятности от 1/2 для рациональных (не всех) чисел. У меня в таких случаях терпения не хватает.

Ну, у меня тоже не хватает терпения разбираться в том, что пишет Виктор Сорокин, хотя и читаю иногда.
Впрочем, поиск простых аргументов и примеров для Sasha2, подтолкнул меня к остановке биссектрисы.

[Sasha2]

Вы знаете, уважаемый bot, вот я честно говоря согласен с Вашим предпоследним постом, но откровенно говоря я не увидел с Вашей стороны корректного вычисления этих промежутков времени (то есть как Вы пишите сумму интервалов).
Я вот полагаю, что считать ее незачем (во всяком случае для рациональных часов, ну понятно, что мы все имеем в виду под этим). Я полагаю, что достаточно построить биективное соответствие между моментами времени (или, если хотите, всеми возможными положениями стрелок), когда секундная ближе к часовой и обратно. И, как мне кажется я такое соответствие построил. Если ошибка есть, то покажите.

И, что это за лемма о лишней единице, к чему она здесь, мне вот это непонятно. Это вообще понятие распространненное, о нем можно где нибудь прочитать, что то я на Интернете не нашел такого.

[Sasha2]

Да еще вот Вы пишите: 2) моменты совпадения минутной и часовой.

Да не спорю - это так, но, что это дает, ведь этот момент может приводить, как к наступлению периода, когда секундная ближе к часовой, так и обратно. Более того, такой момент, как может менять состояния стрелок, так и нет (в отношении их близости к секундной), просто сам по себе этот факт, взятый отдельно мало, что дает, а по сути ничего. Где ценность то этого утверждения? Вы уж до конца тогда доводите свою мысль.

[evgeny]

Цитата:

Более того, такой момент, как может менять состояния стрелок, так и нет (в отношении их близости к секундной), просто сам по себе этот факт, взятый отдельно мало, что дает, а по сути ничего. Где ценность то этого утверждения? Вы уж до конца тогда доводите свою мысль.

Мысль проста - в момент совпадения минутной и часовой стрелок происходит смена ближайшей стрелки к секундной.
Дело в том, что если в тот же самый момент секундная стрелка совпадет с биссектрисой, то произойдет еще одна смена и в итоге сохранится предыдущее положение.

Почему Вы никак не хотите рассмотреть любой простейший пример с маленькими скоростями и на нем проверить свое "биективное соответствие между моментами времени"
Точного описания этой биекции мне найти не удалось, но, как мне кажется, Ваша ошибка в том, что Вы считаете возможным ЛЮБОЕ положение стрелок. Это не так, положение секундной и минутной стрелки ОДНОЗНАЧНО определятся положением часовой.
Т.е. если Вы подвинули куда-то часовую стрелку, то положения двух других изменится автоматически и врядли так, как Вам тредуется для биекции.

Цитата:

Я просто предлагаю все моменты времени (или все положения стрелок, если хотите) разбить на два одни это те, когда секундная между час и мин (т.е. находится на кратчайшей дуге их соединяющей), и все остальные.
Так вот рассмотрим сперва второй класс положений стрелок и каждому из них поставим в соответствие то, при котором часовая идет вдоль часовой, а минутная вдоль минутной. Положение секунной то же самое. Ну понятно, что если в первом случае часовая будет ближе, то во втором она будет дальше и наоборот.

Например, если фраза "часовая идет вдоль часовой"
подразумевает симметричное относительно цента положение, то для стандартных часов
очевидно положение двух других стрелок не изменится (сдвиг на ровно 6 часов), т.е. "минутная вдоль минутной" не получится

[Sasha2]

Ну не так, хотя бы момент времени 18:30: минутная наезжает на часовую, секндная приближается к 12, а затем все также продолжает быть ближе к часовой, как и была до этого. Это первое. Поэтому уже хотя бы это утверждение о том, что переключение происходит в момент слипания минутной и часовой, надо хотя бы как минимум дополнить примерно так: если секундная в этот момент не лежит на прямой, на которой в данный момент находятся часовая и минутная.

Далее, да ради бога, мое утверждение справедливо для любых рациональных часов, т.е., когда одному обороту минутной соответствует цело число оборотов секундной и когда одному обороту часовой соответствует целое число оборотов минутной.

А биекция простая для любого момента, когда секундная лежит вне кратчайшей дуги, соединяющей минутную и часовую, берется момент, когда часовая вдоль часовой, а минутная вдоль минутной.
А когда наоборот (то есть на кратчайшей дуге, соединяющей минутную и часовую), берется момент, который представляет собой симметрию относительно прямой перпендикулярной секундной.
Все моменты времени (или если хотите возможные положения стрелок исчерпываются этими). Поскольку, каждое из них является взаимно симметричным (т.е. дважды применнная дает исходное положение).

И почему Вы считаете разница на 6 часов, ничего подобного: например время 2 часа: часовая на 2 часа, минутная на 12, обратное положение: часовая на 8 часах минутная на 18, уже полчаса разница никака не может быть точных 6 часов разницы.

[Sasha2]

А вот то, что как Вы говорите не получится, я предлагаю Вам самим показать в виде маленького упражнения, что получится. Если Вы согласитесь с предыдущими рассуждениями, то тогда я готов привести доказательство того, что получится, а так мы до этого даже не доходим, Вы пытаетесь опровергнуть это (вероятность равна 1/2) уже даже в силу того, что и если бы получалось, то все равно.

[evgeny]

Вы читаете то, что пишут другие?

Цитата:

Мысль проста - в момент совпадения минутной и часовой стрелок происходит смена ближайшей стрелки к секундной.
Дело в том, что если в тот же самый момент секундная стрелка совпадет с биссектрисой, то произойдет еще одна смена и в итоге сохранится предыдущее положение.

Вы на это отвечаете

Цитата:

Ну не так, хотя бы момент времени 18:30: минутная наезжает на часовую, секндная приближается к 12, а затем все также продолжает быть ближе к часовой, как и была до этого. Это первое. Поэтому уже хотя бы это утверждение о том, что переключение происходит в момент слипания минутной и часовой, надо хотя бы как минимум дополнить примерно так: если секундная в этот момент не лежит на прямой, на которой в данный момент находятся часовая и минутная.

Вы как раз привели пример случая совпадения с биссектрисой (биссектриса - это прямая).

Я не очень понимаю смысл выражения

Цитата:

часовая вдоль часовой, а минутная вдоль минутной

Давайте просто для двух моментов времени вы явно напишете что происходит при биекции
(время и углы)
1) $00:00:01$ (одна секунда) при этом положения стрелок будут ${\frac{1}{120}}^0,\ {\frac{1}{10}}^0,\ {6}^0$ (это градусы от вертикального положения на 12 часов)
2) $00:02:01$ (2 минуты и одна секунда) при этом положения стрелок будут ${1\frac{1}{120}}^0,\ {12\frac{1}{10}}^0,\ {6}^0$

[bot]

Нашёл узкое место в доказательстве корректности задачи для иррациональных часов. Для начала подправлю путём переобозначений (нам ведь неважно, что рассматривать - частоты или скорости, а ткже какую из двух осей сдвигать) и удаления сигнумов. Вот так:

$$J(S,T,\beta)=\int\limits_0^T (-1)^{[S+t] + [\frac{t}{\beta}]}dt$$

Содержательно это означает, что две оси разбиты отрезками длины 1 и $\beta$ соответственно, на каждой оси всем возникшим интервалам приписан знак чередующимся образом, одна из осей сдвинута на величину |S| влево или вправо, путём наложения осей получаем новое разбиение оси со знаками и считаем алгебраическую сумму длин.
Для корректности требуется доказать, что $\lim\limits_{T\to \infty} \frac{J(S,T,\beta)}{T}=0$
Самое главное здесь - это показать, что $\frac{J(S,T,\beta)}{T}$ непрерывна по $\beta$ равномерно относительно $T$ (смещением вообще можно пренебречь). Всё остальное уже очень просто.

[Руст]

Это вытекает из равномерной распределённости дробних частей [na], т натуральное число, a - иррациональное (см. например книжку Чубариков, Гашков ).
evgeny говорит о двойном переключении, которая не играет роли при подсчёте (просто совпадает два момента переключения по биссектрисе и по совпадению минутной и часовой стрелки). Для правильных рациональных часов (с целыми отношениями скоростей и в один момент совпадают все стрелки) это относится только к моменту совпадения всех стрелок, т.е. других таких моментов нет.

[bot]

Я ждал этого!
Очень грубо прикидывая приращение

$$J(S,T,\beta + h) - J(S,T,\beta)$$

я получил оценку вида (1 + 2 + 3 + ... [2T]) h. Здесь после делении на T ещё одно T остаётся. Однако при этой прикидке все погрешности я считал в одну сторону, на самом деле они должны примерно из-за равномерного распределения взаимно нокаутироваться.
Ну а остальное действительно просто:
При замене $\beta$ на $\frac{p}{q}$ мы имеем максимально возможно $\frac{T}{pq}+q$ лишних единиц из-за периода pq и вылезания за период ещё q единиц (считаю, что q<p) из-за нецелости T, а влияние смещения S очевидно ещё меньше. При делении на T эта погрешность исчезает при переходе к пределу.

[Sasha2]

Что же тут не понятного в отношении положения.
Итак сперва секундная стрелка лежит вне кратчайшей дуги, которая соединяет часовую и минутную. Тогда для этого момента времени ставим ему такой, когда часовая лежит вдоль часовой, а минутная вдоль минутной, ну или проще говоря, новые и старые положения часовой и минутной являются полупрямыми дополнительными друг к другу, или новое и старое положения часовой и минутной лежат но одних и тех же диаметрах, или новое положение часовой (минутной) = старое положение часовой (минутной) + 180 uhflecjd
В частности для Вашего первого положения часовая равного 180+1/120, минутная = 180+1/10, секундная - те же 6 градусов.

Если Вы согласны с этим, то будем разбирать далее.

[ИСН]

Замечательно. Так. Ещё раз:
дан момент 00:00:01 (одна секунда), и стрелки лежат на ${\frac{1}{120}}^\circ,\ {\frac{1}{10}}^\circ,\ 6^\circ$.
Вы говорите: проведём биекцию с моментом, когда стрелки стоят в положениях $180+{\frac{1}{120}}^\circ,\ 180+{\frac{1}{10}}^\circ,\ 6^\circ$.
Теперь ключевое: это какой такой момент?
Часовая стрелка оказывается в этом месте вроде бы в 06:00:01, но в это время минутная совсем не там, где надо. А пока минутная подойдёт к указанному ей положению, часовая сползёт...
Как быть?

[Sasha2]

Ну с чего Вы уважаемый ИСН, взяли, что этот момент 06:00:01, Вы просто взяли одну стрелку, а надо две, минутная стоит где то в области тех же 6 часов (а именно 6 часов + 1/10 градуса а часовая 6 часов + 1+1/120 градуса, ну сколько это время, я так на вскидку не скажу). И как тут можно получить 06:00 я не знаю, скорее 06:30 с чем то.

[ИСН]

Скажите не навскидку, скажите подумав. Ведь в этой мелочи всё дело. Ещё раз: какие новые положения стрелок (в градусах)? В какое время (часы, минуты, секунды) часовая стрелка доползёт до предписанного её положения?

[Sasha2]

Да все теперь вижу, что был неправ.
Приношу свои извинения всем участникам форума за отнятое у Вас время, которое Вы потратили на разъяснение того, ну в общем, что я не прав.