Уравнение x^2+5y^2=3z^2

[Woland]

Помогите пожайлуста со следующей задачей:
Доказать ,что уравнение:

$x^2+5y^2=3z^2$

Не имеет решений в натуральных числах.
С чего вообще хоть начать?

[maxal]

Рассмотреть это уравнение по модулю 5 и заметить, что 3 является квадратичным невычетом.

[Woland]

Спасибо maxal за совет. Но только я неучусь на математическом
факультете , и поэтому к сожалению не знаю, что такое " расмотреть по модулю"
и "квадратичный не вычет". Нельзя ли решить эту задачу школьными методами?

[maxal]

Тогда рассмотрите все возможные варианты остатков от деления левой части уравнения на 5, и то же самое для правой части.

[незваный гость]

Возьмите $x$, $y$ и $z$, не имеющие общего делителя. Рассмотрите остатки от деления на 5 левой и правой части. Вы получите, что и $x$, и $z$ должны делиться на 5. Но тогда и $y$ делится на 5.

2 maxal: опять racing condition

[Woland]

Для каждого отдельного числа W понятно как рассмотреть остаток.
Для этого нужно: подобрать такое целое число K чтобы было
W=5*k+r , где r-остаток и r<5. Понятно так же ,что множество
всех остатков от деления всех натуральных чисел на 5 равняется 5.
Вот эти остатки: 0,1,2,3,4. Ясно также и то ,что второе слагаемое
влевой части имеет остаток 0 при делении на 5. Но про первое
слагаемое в левой части и второе в правой нечего не понятно.
Кроме того не понятно:-Каким образом из поиска этих остатков
можно заключить ,что это уравнение не имеет решений в
натуральных числах?

[незваный гость]

Если Вы знаете остаток $x$, Вы можете вычислить остаток $x^2$.

($W^2 = (5k+r)^2 =$ $25 k^2 + 10 k r + r^2$, отсюда остатки $W^2$ и $r^2$ равны.)

Woland писал(а):

Кроме того не понятно:-Каким образом из поиска этих остатков можно заключить ,что это уравнение не имеет решений в натуральных числах?

Смотрите выше.

[maxal]

Рекомендуется почитать: С.В. Сизый "Лекции по теории чисел", особенно §4 Теория сравнений.

[Woland]

Уважаемый незваный гость подумал над Вашим советом, и вот
что у меня получилось.
По скольку r может принимать значеня лишь 0,1,2,3,4 и
$W=25r^2+10r+r^2$ то все возможные остатки от деления
левой части на 5 заключены в числах 0,1,4.(ранее я думал ,что остаток
может быть любым ведь в левой части стоят две переменных величинны).
А правой: 0,2,3.Но так как остатки в левой и в правой части при
делении на одно и тоже число должны совпадать то это возможно
лишь если и x и z делятся на 5. Тогда и y делится на 5.
Но скажите , как Вы догадались ,что нужно рассмотреть остатки от
деления на 5. А еслибы перед $y^2 cтояла 7 то ,что
нужно былобы рассматривать остатки левой и правой части от деления
на 7?

[maxal]

Woland писал(а):

Но скажите , как Вы догадались ,что нужно рассмотреть остатки от
деления на 5.

Повторюсь: потому что 3 является квадратичным невычетом по модулю 5 (терминология разъясняется в лекциях по ссылке выше).

Woland писал(а):

А еслибы перед $y^2 cтояла 7 то ,что
нужно былобы рассматривать остатки левой и правой части от деления
на 7?

Можно было бы, так как 3 является также квадратичным невычетом по модулю 7. А можно было бы рассмотреть остатки от деления на 3, так как -7 является квадратичным невычетом по модулю 3.

[незваный гость]

Woland писал(а):

А еслибы перед $y^2 cтояла 7 то , что нужно былобы рассматривать остатки левой и правой части от деления
на 7?

Видите ли, задачи такого типа называются диофантовыми уравнениями. Некоторые из них разрешимы в целых числах ($2x^2-y^2 = 1$), некоторые нет ($x^n + y^n = z^n, n \geqslant 3$). Для некоторых случаев ответ хорошо известен (линейное уравнение $ a x + b y = 1$) и легок, для других эффективный поиск ответа может быть весьма проблематичен ($y^2 = x^3 + a x + b$). Изучение диофантовых уравнений начинается в теории чисел и Бог знает где заканчивается.

Но Вы просите решение и объяснение на школьном уровне. maxal показал Вам один из приемов (выбрать такое число, что остатки левой и правой части от деления на него пересекаются только в 0). Как выбрать -- например, пробуя. Если Вы хотите продолжать изучение этой задачи, последуйте рекомендации maxal и почитайте рекомендованное им введение в теорию чисел.

[Woland]

Благодарю maxal и незваный гость за помошь. Попробую учебник почитать.