Введение комплексных чисел

[Maslov]

ewert в сообщении #248531 писал(а):

Мы собираемся именно объявить $\mathbb R$ подмножеством $\mathbb C$.

Т.е., строим $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C$?

[ewert]

А то как же. Раз это нужно.

-----------------------------------------
Кстати ньюанс. Если Вы не уверены, что $\mathbb R \subset \mathbb C$, то почему считаете, что $\mathbb Z \subset \mathbb Q$?... Логическая-то схема -- ровно одна и та же.

[Maslov]

ewert в сообщении #248534 писал(а):

Если Вы не уверены, что $\mathbb R \subset \mathbb C$, то почему считаете, что $\mathbb Z \subset \mathbb Q$?

Стыдно признаться, но я и этого не считаю . Если не ошибаюсь, рациональные числа - множество классов эквивалентности на множества пар целых чисел. Как множество $\mathbb Z$ может быть его подмножеством, мне не очень понятно. А главное, я не понимаю, что эта "подмножественность" дает, кроме того, что "все практически именно так и считают".

[ewert]

Maslov в сообщении #248535 писал(а):

Если не ошибаюсь, рациональные числа - множество классов эквивалентности на множества пар целых чисел.

Ну да, почти.

Maslov в сообщении #248535 писал(а):

Как множество может быть его подмножеством, мне не очень понятно.

Элементарно, Ватсон: захотели -- и отождествили (раз уж можно).

Maslov в сообщении #248535 писал(а):

А главное, я не понимаю, что эта "подмножественность" дает, кроме того, что "все практически именно так и считают".

А позволяет не писать бессмысленных и никому не нужных закорючек.

[Maslov]

ewert в сообщении #248537 писал(а):

А позволяет не писать бессмысленных и никому не нужных закорючек.

Это Вы о каких закорючках?

[ewert]

Maslov в сообщении #248538 писал(а):

Это Вы о каких закорючках?

Когда, дескать, говорят: $\sin(2+3i)=\sin2\,\ch3+i\,cos2\,\sh3$, а вот $\sin5$ -- О-о-о! Это уже совсем другое дело! Это уже вещественно!

[Maslov]

ewert в сообщении #248542 писал(а):

Когда, дескать, говорят: $\sin(2+3i)=\sin2\,\ch3+i\,cos2\,\sh3$, а вот $\sin5$ -- О-о-о! Это уже совсем другое дело! Это уже вещественно!

Ну да, с этой точки зрения, наверное...

[Jnrty]

Jnrty:

Выделил данное обсуждение из темы "Вновь о выражении 0^0".

[Профессор Снэйп]

Можно вводить $\mathbb{C}$ как алгебраическое замыкание $\mathbb{R}$. Хотя, конечно... Те, кто способен понять, что такое алгебраическое замыкание, про $\mathbb{C}$ уже давно всё знают

[Maslov]

Профессор Снэйп в сообщении #248612 писал(а):

Те, кто способен понять, что такое алгебраическое замыкание, про $\mathbb{C}$ уже давно всё знают

Так изначальный вопрос и был именно о том, как можно вводить, а не как этому делу учить. Это потом уже в Вопросы преподавания переехали.

[arqady]

ewert в сообщении #248416 писал(а):

2) выводим правила сложения/умножения, исходя из их привычных свойств, как если бы запись $i=\sqrt{-1}$ имела смысл;

Имхo, для смысла лучше $\sqrt{-1}=\{i,-i\}.$

[master]

arqady в сообщении #248860 писал(а):

ewert в сообщении #248416 писал(а):

2) выводим правила сложения/умножения, исходя из их привычных свойств, как если бы запись $i=\sqrt{-1}$ имела смысл;

Имхo, для смысла лучше $\sqrt{-1}=\{i,-i\}.$

$\sqrt{-i}=?$

[ewert]

arqady в сообщении #248860 писал(а):

ewert в сообщении #248416 писал(а):

2) выводим правила сложения/умножения, исходя из их привычных свойств, как если бы запись $i=\sqrt{-1}$ имела смысл;

Имхo, для смысла лучше $\sqrt{-1}=\{i,-i\}.$

На тот момент -- хуже. Речь ведь пока об интуитивном выводе, а не о точном определении. Потом -- да, лучше плюс-минус.

master в сообщении #248873 писал(а):

$\sqrt{-i}=?$

$\{{\sqrt2\over2}-i\,{\sqrt2\over2},\ -{\sqrt2\over2}+i\,{\sqrt2\over2}\}$

[arqady]

ewert в сообщении #248879 писал(а):

arqady в сообщении #248860 писал(а):

ewert в сообщении #248416 писал(а):

2) выводим правила сложения/умножения, исходя из их привычных свойств, как если бы запись $i=\sqrt{-1}$ имела смысл;

Имхo, для смысла лучше $\sqrt{-1}=\{i,-i\}.$

На тот момент -- хуже. Речь ведь пока об интуитивном выводе, а не о точном определении. Потом -- да, лучше плюс-минус.

Не соглашусь с Вами. Сначала грубо обманываем, чтобы удобнее было рассказывать, а затем исправляемся?
Лучше сразу вот так: $i^2=-1.$ Затем $\sqrt{-1}=\{i,-i\}.$ И никакой двусмысленности не возникает.
Ну и тут же подправить формулу корней квадратного трёхчлена, объяснив, что смысл квадратного корня изменился (был арифметическим, а стал квадратным корнем из комплексного числа). Воспринимается всё это очень легко. Апробированно, поверте!

[ewert]

arqady в сообщении #248925 писал(а):

Лучше сразу вот так: $i^2=-1.$ И никакой двусмысленности не возникает.

Естественно, не возникает. Изложение может быть двусмысленным, односмысленным или бессмысленным. Это -- как раз последний случай. В каком смысле "$i^2=-1$" -- до тех пор, пока не сказано, что такое $i$?

arqady в сообщении #248925 писал(а):

Не соглашусь с Вами. Сначала грубо обманываем, чтобы удобнее было рассказывать, а затем исправляемся?

Т.е. Вы принципиально против эвристики? Напрасно.