Счетность множества многочленов с рац. коэффициентами

[fraktal]

Как доказать, что множество пар рациональных коэффициентов счетно? Нужно их именно наглядно перенумеровать.
что-то вроде того, как нумеруется мно-во рац. чисел:
p.s: а задача действительно, с тремя звездочками

[gris]

Ну да! На три звёздочки - это нумерация троек рациональных чисел. А нумерация пар - на две звёздочки.
Воспользуйтесь тем же способом. Пусть в верхней строке (со сдвигом вправо на 1 клетку)бесконечной вправо и вниз таблицы стоят рациональные числа, вытянутые вами из вашего рисунка:
$$1/1-2/1-1/2-1/3-2/2-3/1-...$
То же и в первом столбце (со сдвигом вниз на 1 клетку).
Тогда внутренние клетки соответствуют всем возможным парам. Их так же змейкой обходим.
Только имейте в виду - это не биективная нумерация.
И нумеруются только положительные числа. Ну для любых рациональных аналогично, только обход бесконечной во все стороны таблицы по спирали.

Упс. Не заметил первой страницы. Думал, обсуждение только начинается...

[Maslov]

fraktal в сообщении #247782 писал(а):

что-то вроде того, как нумеруется мно-во рац. чисел

Ну так по аналогии.
При нумерации рациональных чисел по вертикали и горизонтали выписываем натуральные числа, на пересечении - их отношение.
При нумерации пар рациональных чисел по вертикали и горизонтали выписываем рациональные числа, на пересечении - их пару.

[ewert]

fraktal в сообщении #247782 писал(а):

Как доказать, что множество пар рациональных коэффициентов счетно? Нужно их именно наглядно перенумеровать.

Вы в категорически неправильную сторону думаете. Наглядность тут не нужна (вернее, полезна, но лишь на начальном этапе), а нужна только формализация.

Уже вроде как пронумерованы сами рациональные числа. Вот и действуйте дальше примерно по той же схеме: выстройте уже пронумерованные рац. числа по одной оси, и ещё один их экземпляр по другой, и стандартно-диагонально пронумеруйте пары.

[fraktal]

Цитата:

На три звёздочки - это нумерация троек рациональных чисел.

Можно занумеровать аналогично нумерации пар, только по горизонтали пустить уже пары рац. чисел, в том порядке, в котором мы занумеровали их?

[Maslov]

fraktal в сообщении #249586 писал(а):

Можно занумеровать аналогично нумерации пар, только по горизонтали пустить уже пары рац. чисел, в том порядке, в котором мы занумеровали их?

Нужно.