Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[Коровьев]

yk2ru в сообщении #246168 писал(а):

Семен, у вас остался один путь, отправить ваше доказательство в математический журнал. Так как похоже на то, что на форуме вас не понимают, причём все.

Причём, этому непониманию через два месяца исполнится два года!

[Семен]

Участникам Форума.
Прошу оценить, предлагаемое ниже решение задачи (не меня), и сообщить об ошибках, если они есть.
Дано: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2),
$z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (3),
$z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (4),
$(Z, z, z_3) $ - иррациональные числа, $(X, Y) $ - натуральные числа, $x=(X/d) $, $y=(Y/d) $, $z=(Z/d) $, $z_3=(Z_3/d) $, $ d $ -
иррациональные числa.
Требуется доказать: $Z_3 $ - иррациональное число.
Решение: $Z $ - иррациональное число, определено из (1), где $(X, Y) $ - натуральные числа. Назовем, условно, это $Z $ - иррациональным числом 1-ой ступени.
$z $ и $z_3 $, определенные из (3) и (4), где $ x, y $ - иррациональные числа, назовем иррациональными числами 2-ой ступени. Т.е., другого порядка иррациональности, (более иррациональными, чем 1-ой ступени).
В этом случае:
$X=(x*d) $ - натуральное число, равное произведению $x $ - числа 1-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
$Y=(y*d) $ - натуральное число, равное произведению $y $ - числа 1-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
$Z=(z*d) $ - иррациональное число, равное произведению $z $ - числа 2-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
Поэтому $ Z $ не может быть, одновременно с $(X, Y) $, натуральным числом.
Полагаю, что $Z_3=(z_3*d) $, равное произведению $z_3 $ - числа 2-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число, по той же причине, что и $ Z $, не может быть, одновременно с $(X, Y) $, натуральным числом. Т.е.,
$Z_3 $ - иррациональное число.

[Коровьев]

Семен в сообщении #247434 писал(а):

Участникам Форума.
Прошу оценить, предлагаемое ниже решение задачи (не меня), и сообщить об ошибках, если они есть.
Дано: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2),
$z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (3),
$z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (4),
$(Z, z, z_3) $ - иррациональные числа, $(X, Y) $ - натуральные числа, $x=(X/d) $, $y=(Y/d) $, $z=(Z/d) $, $z_3=(Z_3/d) $, $ d $ -
иррациональные числa.
Требуется доказать: $Z_3 $ - иррациональное число.
Решение: $Z $ - иррациональное число, определено из (1), где $(X, Y) $ - натуральные числа. Назовем, условно, это $Z $ - иррациональным числом 1-ой ступени.
$z $ и $z_3 $, определенные из (3) и (4), где $ x, y $ - иррациональные числа, назовем иррациональными числами 2-ой ступени. Т.е., другого порядка иррациональности, (более иррациональными, чем 1-ой ступени).
В этом случае:
$X=(x*d) $ - натуральное число, равное произведению $x $ - числа 1-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
$Y=(y*d) $ - натуральное число, равное произведению $y $ - числа 1-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
$Z=(z*d) $ - иррациональное число, равное произведению $z $ - числа 2-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
Поэтому $ Z $ не может быть, одновременно с $(X, Y) $, натуральным числом.
Полагаю, что $Z_3=(z_3*d) $, равное произведению $z_3 $ - числа 2-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число, по той же причине, что и $ Z $, не может быть, одновременно с $(X, Y) $, натуральным числом. Т.е.,
$Z_3 $ - иррациональное число.

Участнику Семён
Поскольку в предложенном выше доказательстве ни единым духом не встречается и не упоминается внутренние подкоренные выражения, то прошу оценить Вами, предлагаемое мною ниже решение другой задачи (не меня), и сообщить об ошибках, если они есть.
Дано: $Z=$\sqrt[]{X^2+7Y^2}$ $ (1),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+7Y^3}$ $ (2),
$z=$\sqrt[]{x^2+7y^2}$ $ (3),
$z_3=$\sqrt[3]{x^3+7y^3}$ $ (4),
$(Z, z, z_3) $ - иррациональные числа, $(X, Y) $ - натуральные числа, $x=(X/d) $, $y=(Y/d) $, $z=(Z/d) $, $z_3=(Z_3/d) $, $ d $ -
иррациональные числa.
Требуется доказать: $Z_3 $ - иррациональное число.
Решение: $Z $ - иррациональное число, определено из (1), где $(X, Y) $ - натуральные числа. Назовем, условно, это $Z $ - иррациональным числом 1-ой ступени.
$z $ и $z_3 $, определенные из (3) и (4), где $ x, y $ - иррациональные числа, назовем иррациональными числами 2-ой ступени. Т.е., другого порядка иррациональности, (более иррациональными, чем 1-ой ступени).
В этом случае:
$X=(x*d) $ - натуральное число, равное произведению $x $ - числа 1-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
$Y=(y*d) $ - натуральное число, равное произведению $y $ - числа 1-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
$Z=(z*d) $ - иррациональное число, равное произведению $z $ - числа 2-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
Поэтому $ Z $ не может быть, одновременно с $(X, Y) $, натуральным числом.
Полагаю, что $Z_3=(z_3*d) $, равное произведению $z_3 $ - числа 2-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число, по той же причине, что и $ Z $, не может быть, одновременно с $(X, Y) $, натуральным числом. Т.е.,
$Z_3 $ - иррациональное число.
Замечу, что
$Z_3=$\sqrt[3]{1^3+7*1^3}=2$ $
- вполне рациональное число, и даже целое.

[yk2ru]

Коровьев, хороший контрпример.

[Семен]

Коровьев писал(а):

Семен в сообщении #247434 писал(а):

Участникам Форума.
Прошу оценить, предлагаемое ниже решение задачи (не меня), и сообщить об ошибках, если они есть….

Участнику Семён
Поскольку в предложенном выше доказательстве ни единым духом не встречается и не упоминается внутренние подкоренные выражения, то прошу оценить Вами, предлагаемое мною ниже решение другой задачи (не меня), и сообщить об ошибках, если они есть.
Дано: $Z=$\sqrt[]{X^2+7Y^2}$ $ (1),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+7Y^3}$ $ (2),
$z=$\sqrt[]{x^2+7y^2}$ $ (3),
$z_3=$\sqrt[3]{x^3+7y^3}$ $ (4),
$(Z, z, z_3) $ - иррациональные числа, $(X, Y) $ - натуральные числа, $x=(X/d) $, $y=(Y/d) $, $z=(Z/d) $, $z_3=(Z_3/d) $, $ d $ -
иррациональные числa.
Требуется доказать: $Z_3 $ - иррациональное число.
Решение: $Z $ - иррациональное число, определено из (1), где $(X, Y) $ - натуральные числа. Назовем, условно, это $Z $ - иррациональным числом 1-ой ступени.
$z $ и $z_3 $, определенные из (3) и (4), где $ x, y $ - иррациональные числа, назовем иррациональными числами 2-ой ступени. Т.е., другого порядка иррациональности, (более иррациональными, чем 1-ой ступени).
В этом случае:
$X=(x*d) $ - натуральное число, равное произведению $x $ - числа 1-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
$Y=(y*d) $ - натуральное число, равное произведению $y $ - числа 1-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
$Z=(z*d) $ - иррациональное число, равное произведению $z $ - числа 2-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число.
Поэтому $ Z $ не может быть, одновременно с $(X, Y) $, натуральным числом.
Полагаю, что $Z_3=(z_3*d) $, равное произведению $z_3 $ - числа 2-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число, по той же причине, что и $ Z $, не может быть, одновременно с $(X, Y) $, натуральным числом. Т.е.,
$Z_3 $ - иррациональное число.
Замечу, что
$Z_3=$\sqrt[3]{1^3+7*1^3}=2$ $
- вполне рациональное число, и даже целое.

Я просил проверить решение определенной задачи. Вы не проверили ее, предложив совсем другую задачу. Кроме того, Вам предложена задача, имеющая отношение к теме "Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма." Поэтому не надо ничего выдумывать, даже, если очень хочется. Это одно и тоже, если бы у Вас попросили яблоко, а Вы дали бы 7(семь) спичек. Кстати, у Вас $Z_3=$\sqrt[3]{1^3+7*1^3}=2$ $. А это значит, что $Z_3< Y$. Вы даже не представляете, как далек Ваш пример от предложенного мной.

Коровьев писал(а):

yk2ru в сообщении #246168 писал(а):

Семен, у вас остался один путь, отправить ваше доказательство в математический журнал. Так как похоже на то, что на форуме вас не понимают, причём все.

Причём, этому непониманию через два месяца исполнится два года!

Отнимать от 2-х лет 1 год и 10 м-цев Вы хорошо умеете. Вот, этим и занимайтесь, если это Вам доверят МОДЕРАТОРЫ.
Я же Вас просил: "Не учите других, если не знаете."
Больше мне не пишите, отвечать Вам не буду.

yk2ru писал(а):

Коровьев, хороший контрпример.

От Вас я такого не ожидал. На Ваш пост #246168 отвечу в следующий раз.

[TOTAL]

Семен в сообщении #247735 писал(а):

Больше мне не пишите, отвечать Вам не буду.

И так будет с каждым, кого угораздило читать и комментировать эту писанятину.

[PAV]

Семен,

Коровьев на самом деле дал хороший и правильный ответ на поставленный Вами вопрос о Вашем рассуждении. То, что Вы его по сути не поняли, говорит не в Вашу пользу.

[yk2ru]

Коровьев в сообщении #247460 писал(а):

Участнику СемёнПоскольку в предложенном выше доказательстве ни единым духом не встречается и не упоминается внутренние подкоренные выражения, то прошу оценить Вами, предлагаемое мною ниже решение другой задачи (не меня), и сообщить об ошибках, если они есть.

Семен, вас просили оценить "решение другой задачи", а вы стали оценивать автора "другой задачи" после этого сообщения об оценке решения другой задачи.
Нехорошо получается, вы сами попросили оценивать только задачу и сообщить ошибки, а не автора задачи (вас), и сами же совершенно противоположно поступили с автором другой задачи, попросившем вас только лишь найти ошибки в его (похожей на вашу) задаче, не более того.
Попробуйте всё же в следующем сообщении рассписать те ошибки, которые вы видите в решении другой задачи.

[Семен]

yk2ru писал(а):

Семен, у вас остался один путь, отправить ваше доказательство в математический журнал. Так как похоже на то, что на форуме вас не понимают, причём все.

Не понимают, потому что док-во от 28.08.09г. никто полностью не прочитал.

sceptic писал(а):

.... Эх, Семен, Семен...

Отправляю вариант док-ва для показателя степени $ n $. Убедительно прошу дать замечания, учитывая, что в этом док-ве не 22 стр., как было почти три года назад, a 4-е стр. Надежда только на Вас, т.к. никто это док-во читать не хочет.
Р. S. Очень прошу сначала посмотрите, пож., мой пост от 29.09.09г, учитывая, что $ Y<X<Z_3 $ . Мне очень важно Ваше мнение об этом посте.

1.10.09г. вариант с переменной $ y $
Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.
Требуется доказать, что уравнение $y=$\sqrt[n]{z^n_n-x^n}$ $ (1) не имеeт решения в натуральных числax $ (x, y, z_n) $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+, n\in\ N, n\geq3, y \le x <z_n\}$ (2).
$ R_+ $ – Множество положительных действительных чисел.
Определим число $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$ S_1=\{(x, z) | x, y, z \in\ Q \} $
$ Q $ – Множество положительных рациональных чисел.
В. Бессистемное Множество (БСМ).
$ S_2=\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+\} $.
В этом Множествe один из элементов, как минимум, должен быть иррациональным числом.
Oпределяем число $ m=(z-x) $.
Отсюда: $ z=(m+x) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m+x)=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение: $ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (5a)
независимо от того принадлежит ли пара $ (x, z) $ k системному или бессистемному множествaм, $ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение. $ m $ является делителем числа $ y^2 $. Запишем его в виде $ m=y/k $. B $ S_1 $, $ k $ - рациональное число, a в $ S_2 $, $ k $ - иррациональное число. В $ S_1 $ принимаем $ x, y, z $ - натуральныe числа. В дальнешем рассмотрим $ S_1 $ с рациональными числами. О чем будет сообщено особо.
Подставив в (5a),
$m= y/k $ после упрощений, сокращений и переносов получим: $ 2*k*x=y*(k^2 - 1) $
Составим пропорцию: $ x /y= (k^2 - 1)/ 2* k $ .
Как один из вариантов этого уравнения принимаем:
$ x=(k^2 - 1) $, a $ y=2*k $. Назовём этот вариант Базовым рядом (БР). Тогда:
$ z=$\sqrt{(k^2 - 1)^2)+(2*k)^2)}$ $=
=$$\sqrt{(k^4 - 2*k^2 + 1+4*k^2)}$ $=
=$ $\sqrt{(k^4+2*k^2 +1)}$ $ =
=$ $\sqrt{(k^2+1)^2)}$ = $ (k^2+1) $.
То есть: $ z=(k^2+1) $.
$ m=(z-x)=(k^2+1)-(k^2-1)=2 $.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$z_n= $\sqrt[n]{x^n+y^n}$ $ (2b). Положим $ m_n=(z_n-x) $. После возведения в степень $ n $ получаем:
$ m_n^n+n*x*m_n^{n-1}+…+n*x^{n-1}*m_n-y^n=0 $ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b) для множества $ S_1 $. (Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.)
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ m_n $ должно быть делителем числа $ y^n $. Если, действительно, такой натуральный корень $ m_n $ существует, то обозначим
$ m_n=y/k_n $, где $ k_n$ некоторое рациональное число.
A eсли, действительно, такой натуральный корень $ m_n $ нe существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_n=y/k_n $. Hо число $ k_n $ будет уже иррационально.
Для $ S_2 $: Если натуральный корень $ m_n $ существует, то обозначим $ m_n=y/k_n $, где $ k_n$ некоторое иррациональное число.
A eсли такой натуральный корень $ m_n $ не существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_n=y/k_n$.
Примечания:
1. Ниже мы намерены доказать, что при любых сочетаниях $ (x, z) $ - натуральные числа, за исключением случаев, когда $ (x, z, y) $ будут относиться к $ S_1 $,
$ y $ всегда будет иррациональным числом.
Тогда сочетание $ (x, z, y) $ будет относиться к $ S_2 $. А, в таком случае, уравнение $y=$\sqrt[n]{z^n-x^n}$ $ не будет иметь решения в натуральныx числах.
В множестве S:
2. $ 0<m< y $, $ 0<m_n<m $.
3. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[n]{2}$ - 1) \le k_n $.
§2. Для $ (x, z)\in\ S $, определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $,
$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $ (2.1), где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, z $ базой для пары $ X, Z $.В множестве S: 1. $ Y \le X $. 2. $ M_n=Y/k_n $. 3. $ 0<M_n<M $.
4. Для выполнения условия $ Y \le X $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[n]{2}$ - 1) \le k_n $.
Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и $ k $ и $ k_n $ остаются базовыми.
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовoй пары $ (x, z) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через $ E(k) $. Mножество $ E(k, 1)=\{x, y, z, z_n, m, m_n, k, k_n \} $. Это множество (БР) состоит из элементов $ x, y, z, z_n, m_n, k_n $, построенных по фиксированному $ k $, и из числa $ m=2 $, не зависящего от $ k $.
B БР: $ z=(k^2+1), x=(k^2-1) $, $y=$\sqrt[n]{z^n-x^n}$ $.
При заданных $ k $ и $ d $, множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Z) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $, множество $ L(k, d)=\{ X, Y, Z, Z_n, M, M_n, k, k_n \} $. B ПР: $Y=$\sqrt[]{Z^2-X^2}$ $; $Y=$\sqrt[n]{Z^n-X^n}$ $. (6)
Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это подмножества множества, которое будем называть блок подобных рядов (БПР). Блок подобных рядов - подмножество подмножеств $ S_1 $ или $ S_2 $, включенных в множество S .
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_n=m_n*d $, $ Z=z*d $, $ Z_n=z_n*d $.
$ M=Z-X $, $ M_n=Z_n-X $, $ m_n=(z_n-x), m*k=m_n*k_n=y $, $ M*k=M_n*k_n=Y $.
$ d $ – коэффициент подобного ряда, действительное число.

§3. Ниже приводится вариант доказательства при показателе степени
$ n $:
A. Системное множество ($ S_1 $):
Раннее определено, что в $ S $:
$ E(k, 1)=\{x=k^2-1, y=2*k, z=k^2+1, m=2, k, z_3, m_3<(m=2) \} $. Принимаем в $ E(k, 1) $, $ (x, y, z) $ - натуральныe числa. В $ E(k, 1) $: $ m=2 $, a
в $ L(k, 0.5) $: $ M=1 $. $ M_n<M $, поэтому, в $ L(k, 0.5) $, $ M_n $ - дробное число. B $ L(k, 0.5) $, $ Y $ - натуральнoe числo.
$ Y^n $ - натуральнoe числo, свободный член уравнения $ m_n^n+n*x*m_n^{n-1}+…+n*x^{n-1}*m_n-y^n=0 $. (5b)
Поэтому $ M_n $ не может быть рациональным числом этого уравнения. (Поскольку это $ M_n $ определено из уравнения с натуральными коэффициентами, то оно не может быть рациональным корнeм.) Т.е. $ M_n $ - иррациональное число. B $ E(k, 1) $: $ m_n=M_n/d $.
Здесь, $ d=0.5 $. Поэтому $ m_n $ –
иррациональное число. Отсюда следует, что в любом $ L(k, d) $, где $ d $ - рациональнoe число, $ M_n $ будет иррациональным числом. $ Z_n=(X+M_n) $ будет иррациональным числом. Значит уравнение (6) не имеет рационального решения в натуральных числах.
Примечания:
1. При $ x, z $ - дробных рациональных числах: $ y $ будет рациональным числом, a $ z_n $ будет иррациональным числом.
2. При $ X, Z $ - дробных рациональных числах: $ Y $ будет рациональным числом, a $ Z_n $ будет иррациональным числом.
3. При $ k_{min}=3 $, $ m_3<1 $.
4. При рациональном(дробном) $ k $, в $ L(k, 0.5) $ могут быть только два рациональных корня: $ M=1 $ и
$ M_n=Y=k $. Т.к. $ Y>M >M_3 >M_4>…>M_n $, то
$ M_3, M_4,…, M_n $ не могут быть рациональными корнями в уравнении (5b).
В. Бессистемное Множество ($ S_2 $)
По условию:
$\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+\} $.
В этом Множествe один из элементов, как минимум, должен быть иррациональным числом.
Принимаем: $ x $ - натуральнoe числo. Tогда: $ z=(x+m)=(x+2) $ - натуральнoe числo. B $ S_2$ один из элементов, $ x, y, z $, как минимум, должен быть иррациональным числом. Значит, это $ y=2*k $.
$ y=$\sqrt[n]{z^n-x^n}$ $. Ho $ y=2*k $ -иррациональнoe число. Значит y=$\sqrt[n]{z^n-x^n}$ $ не имеeт решения в натуральных числax $ (x, y, z_n) $
Определим, в $ E(k, 1) $, элемент
$ k $. T.k. $ x=(k^2-1) $, то $ k=$\sqrt[]{(x+1)}$ $.A т.к. $ y=2*k $ - иррациональнoe число, тo$ k=$\sqrt[]{(x+1)}$ $ - иррациональнoe число.
В ПР $ L (k, d) $, где $ d $ - рациональное число,
$ (X, Z) $ - натуральныe числa, a $ Y $ - иррациональное число.
Значит уравнение (6) не имеет рационального решения в натуральных числах $ X, Y, Z_n $.
В $ L (k, d) $ , где $ d $ - иррациональное число, возможны два варианта:
1. $X=x*d $ - иррациональное число, $ Y=y*d $ - натуральнoе числo.
2. $ X=x*d $ - иррациональное число, $ Y=y*d $ - иррациональное число.
В обоих вариантах уравнение (6) не имеет рационального решения в натуральных числах.
Примечания:
1. Любая, произвольно принятая пара натуральных чисел $ X, Z $ может относиться, или к $ S_1 $, или к $ S_2 $. Для того, чтобы это узнать необходимо определить элементы базового ряда $ ((E(k, 1)) $.
Для чего:
1.1 Произвольно принимаем $ X, Z $ - натуральные числа.
1.2 Находим разницу между ними: $ (Z-X)=M $.
1.3 Определяем $ d $. $ d=M/m=(M/2) $ - рациональное число.
1.4 Определяем базовые $ x, y, z. $
1.4.1 $ x=X/d=(2*X)/M $ - рациональное число.
1.4.2 $ z=Z/d=(2*Z)/M $ - рациональное число.
1.4.3 $ y=2*k= $ $ 2*$\sqrt[]{(x+1)}$ $$ = 2*$\sqrt[]{(2*X+M)/M}$ $.
1.4.3.1 Eсли $ y=2*$\sqrt[]{(2*X+M)/M}$ $ - рациональное число, то базовые $ x, y, z. $. относятся к $ S_1 $.
1.4.3.2 A eсли $ y=2*$\sqrt[]{(2*X+M)/M}$ $ - иррациональное число, то базовые $ x, y, z. $. относятся к $ S_2 $.
Т.е., в этом случае, $ Y $, при $ X, Z $ - натуральных числах, будет иррациональным числом.
А $Y=$\sqrt[n]{Z^n-X^n}$ $ не будет иметь решения в натуральных числах.
2. $m_3 $, $m_4 $,…, $m_n $ имеют наибольшие численные значения при $ x=y $. Обозначив $ y/x=g=1 $, получим: $m_{3max}=x*($\sqrt[3]{2}$-1) $, $m_{4max}=x*($\sqrt[4]{2}$-1) $,..., $m_{nmax}=x*($\sqrt[n]{2}$-1) $.
Примечания для $ S_1 $ и $ S_2 $:
1. $ m>m_3>m_4>…>m_n $.
$ k<k_3<k_4<…<k_n $.
$ k*m=k_3*m_3=k_4*m_4=…=k_n*m_n $.
2. Чем меньше отношение $ y/x=g $, тем меньше
$m_3, m_4,…, m_n $. При этом, $m_3=x*($\sqrt[3]{1+g^3}$-1) $, $m_4=x*($\sqrt[4]{1+g^4}$-1) $,…,$m_n=x*($\sqrt[n]{1+g^n}$-1) $.

[lubitel]

Семен в сообщении #248027 писал(а):

В. Бессистемное Множество ($ S_2 $)
По условию:
$\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+\} $.
В этом Множествe один из элементов, как минимум, должен быть иррациональным числом.
Принимаем: $ x $ - натуральнoe числo.

Я, конечно, новичок, извините, что вмешиваюсь, но почему вы избегаете случай, когда все трое, $x,y,z$ -иррациональные?

[yk2ru]

lubitel в сообщении #248039 писал(а):

Я, конечно, новичок, извините, что вмешиваюсь, но почему вы избегаете случай, когда все трое, $x, y, z$ -иррациональные?

Предположим, что начальное уравнение имеет решение в натуральных числах $X, Y, Z_n$. Значит у нас точно есть два натуральных числа $X, Y$, из которых можно получить и третье недостающее натуральное число $Z_n$, используя уравнение. И если выразить $x, y, z$ из этих натуральных $X, Y$, то получится, что $x, z$ могут быть рациональными только в том случае, когда $X, Y$ входят в "пифагоровы тройки". А если бы они не входили в "пифагоровы тройки", то получили бы, что все три числа $x, y, z$ могут быть иррациональными. Этот случай самый сложный. И поэтому, Семен, понимая это, старательно избегает его.

[Семен]

lubitel писал(а):

Семен в сообщении #248027 писал(а):

В. Бессистемное Множество ($ S_2 $)
По условию:
$\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+\} $.
В этом Множествe один из элементов, как минимум, должен быть иррациональным числом.
Принимаем: $ x $ - натуральнoe числo.

Я, конечно, новичок, извините, что вмешиваюсь, но почему вы избегаете случай, когда все трое, $x,y,z$ -иррациональные?

yk2ru писал(а):

lubitel в сообщении #248039 писал(а):

Я, конечно, новичок, извините, что вмешиваюсь, но почему вы избегаете случай, когда все трое, $x, y, z$ -иррациональные?

Предположим, что начальное уравнение имеет решение в натуральных числах $X, Y, Z_n$. Значит у нас точно есть два натуральных числа $X, Y$, из которых можно получить и третье недостающее натуральное число $Z_n$, используя уравнение. И если выразить $x, y, z$ из этих натуральных $X, Y$, то получится, что $x, z$ могут быть рациональными только в том случае, когда $X, Y$ входят в "пифагоровы тройки". А если бы они не входили в "пифагоровы тройки", то получили бы, что все три числа $x, y, z$ могут быть иррациональными. Этот случай самый сложный. И поэтому, Семен, понимая это, старательно избегает его.

Я не избегаю и не избегал случaя, когда все три числа $x, y, z$ могут быть иррациональными. Этот случай перестал быть актуальным, когда я перешел к док-ву вариантa с переменной $ y $, а именно:$y=$\sqrt[n]{z^n_n-x^n}$ $ (1). (Для $ n=3 $ это - $y=$\sqrt[3]{z^3_3-x^3}$ $) (1). Об этом я неоднократно объяснял yk2ru.
1. См. пост от 11.09. :

yk2ru писал(а):

Семен полагает, что достаточно длины сторон базового треугольника домножать на рациональное (или целое) число $d$, чтобы снова получить искомый треугольник. А этого недостаточно.
Нельзя исключать, что все три стороны базового треугольника будут иррациональными, и что не найдётся иррационального $d$, по умножении на которое длин сторон базового треугольника получим все три натуральных числа.

Семен писал(а):

Несколько постов назад я, именно об этом, писал Вам, объясняя причину, почему я , вместо $ (X, Y) $ - натуральных чисел , в подобном ряду, принял вариант: $ x $ - натуральное число, в базовом ряду.
В док-ве от 28 августа, в БР, не может быть случая, чтобы $ (x, y, z_3) $ все были иррациональны, так как в доказательстве принято, что $ x $ - натуральное число. См. в параграфе 3, в разделе о БСМ. Прошу обратить особое внимание на примечания. Прошу сообщить: согласны или не согласны Вы с моими аргументами

.
2. См. пост от 13.09. :

yk2ru писал(а):

Таким образом вы рассматриваете не все случаи.

.

Семен писал(а):

Я рассматриваю, на мой взгляд все возможные случаи, и, даже, случай, о котором Вы, может быть, и не подозреваете. А, именно, когда $k$ - рациональное число.
Еще раз повторяю:" B БР, не может быть случая, чтобы $(x, y, z)$ все были иррациональны, так как в доказательстве принято, что $x$ - натуральное число. "
Ниже даю выписку из параграфa 3, раздел о БСМ.
Прошу ее внимательно прочитать, тогда Вы, может быть убедитесь, что принятая методика дает основание утверждать, что, при $ n=3 $, в подобном ряду, включенному в БСМ, при $(x, z)$ - натуральных числах в базовом ряду, уравнение (5б) не имеет решения в натуральных числах $(X, Y, Z_3)$.
Убедительно прошу:" Дайте конкретные замечания по разделу о БСМ."

3. См. 2(два) поста от от 14 .09. в сообщениях Форума.
4. См. пост от от 17 .09.

Семен писал(а):

yk2ru писал(а):

Семен в сообщении #243559 писал(а):

не смогут быть одновременно натуральными числами, хотя я это не смог доказать.

И кто это будет доказывать? А если "смогут быть одновременно натуральными числами", что тогда?

.
Еще раз обращаю Ваше внимание на то, что при принятом способе док-ва, где $ x $ - рациональное или натуральное число в базовом ряду, такой вариант не возможен, поэтому его и не нужно рассматривать при док-ве. Еще раз подчеркиваю, что в БР, включенному в БСМ, при любых сочетаниях $ x, z $, где $ x, z $ - рациональные или натуральные числа, $ y $ всегда будет иррациональным числом. Поэтому невозможно, чтобы $ X, Y, Z_3 $ были натуральными числами в ПР. Если будет на то Ваша воля, возьмите несколько примеров, тогда Вы убедитесь, что я прав

.
5. См. пост от 22 .09. в сообщениях Форума.
6. lubitel и yk2ru, еще прошу внимательно прочитать мой пост от 29 сентября, а не Коровьев(а), т.к. его пост никакого отношения к ВТФ не имеет. Прошу сообщить Ваше мнение.

[yk2ru]

Семен в сообщении #248475 писал(а):

Я не избегаю и не избегал случaя, когда все три числа $x, y, z$ могут быть иррациональными. Этот случай перестал быть актуальным, когда я перешел к док-ву вариантa с переменной $y$, а именно ...

Семен, ещё раз. Другой доказывающий заявит следующее например:
"Я не избегаю и не избегал случaя простой степени большего двух. Этот случай перестал быть актуальным, когда я перешел к док-ву вариантa с чётной степенью." И что же, доказательство только с чётной степенью станет правильным и для нечётных степеней?
Совсем недостаточно для доказательства того, что вы перешли к другой переменной. Нужно доказывать достаточность такого варианта. А это значит, что нужно доказать для случая 3-х иррациональных по величине сторон базового треугольника, что не найдётся иррационального множителя, по умножении на который величин базовых сторон получатся три натуральных числа.

[sceptic]

Семен, в своем посте Вы просили меня рассмотреть Ваше решение ВТФ при n=3 в посте от 29.09.09г. Излагаю свое мнение об этой Вашей попытке.

Семен в сообщении #247434 писал(а):

Участникам Форума.
Прошу оценить, предлагаемое ниже решение задачи (не меня), и сообщить об ошибках, если они есть.
Дано: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2),
$z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (3),
$z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (4),
$(Z, z, z_3) $ - иррациональные числа, $(X, Y) $ - натуральные числа, $x=(X/d) $, $y=(Y/d) $, $z=(Z/d) $, $z_3=(Z_3/d) $, $ d $ -
иррациональные числa.
Требуется доказать: $Z_3 $ - иррациональное число.
Решение:
. . . . .
Полагаю, что $Z_3=(z_3*d) $, равное произведению $z_3 $ - числа 2-ой ступени иррациональности, на $ d $ - иррациональное число, по той же причине, что и $ Z $, не может быть, одновременно с $(X, Y) $, натуральным числом. Т.е.,
$Z_3 $ - иррациональное число.

То, что Вы здесь привели - это не доказательство! Это - всего лишь Ваша гипотеза, которая требует доказательства. Вы углядели аналогию в описании чисел $Z$ и $Z_3$ и наивно распространяете ее на иррациональность этих чисел. Забыв при этом (или сознательно закрывая глаза на эту причину), что единственной причиной иррациональности числа $Z$ является Ваша начальная посылка: прочитайте Ваш обзац "Дано:...". Наивность (и ошибочность) такого переноса аналогии продемонстрировал Вам Коровьев - Вы его не поняли и обиделиь на него. Очень жаль. Так Вы растеряете всех оппонентов и приобретете репутацию ферматиста невменяемого. Вам это надо?

Я не влезал в обсуждение Ваших попыток изложить здесь свой метод решения ВТФ, поскольку достаточно быстро сформировался кружок Ваших рецензентов (TOTAL, Henrylee, Коровьев, shwedka, yk2ru) - более, чем солидная компания. Не уверен, что я буду Вам более полезен, чем они. Но коли Вы очень просите, отрецензирую Ваш последний вариант. Начну со следующего своего поста.

[yk2ru]

Семен писал(а):

В док-ве от 28 августа, в БР, не может быть случая, чтобы $(x,y,z_3)$ все были иррациональны, так как в доказательстве принято, что $x$ - натуральное число.

Семен, $x$ (принято, что $x$ - натуральное число) тут какое у вас, "базовое" или "небазовое" (т.е. из начального уравнения). Одинаковыми буквами обозначать разные переменные значит создавать путаницу, пусть и непреднамеренно. Обозначим "небазовые" переменные как $(X,Y,Z_3)$. Выразите из них "базовые". При натуральных $(X,Y)$ у вас получались "базовые" иррациональные $(x,y,z_3)$. Выразите их из двух других начальных натуральных переменных и покажите, в каких случаях "базовые" $x, z$ будут рациональными, от которых вы и отталкиваетесь при доказательстве?