Биекции между промежутками

[maxmatem]

Не совсем понимаю по какому принципу составляются биекции след рода:
1. $(0,1)\to\((0;\infty)$
2.$[a,b]\to\((c,d)$
3.$[1,3]\to\((-1,0)$
4.$[0,1)\to\[[0,\infty)$
5.$(0,2]\to\[[0,\infty)$
составление биекции двух отрезков не составляет труда, но когда пытаюсь установить выше указанные биекции то не совсем понятно с чего надо начать! пытался геометрически....
дайте совет как решать такие вопросы!

[id]

Очень часто используют, скажем, тангенс ( арктангенс ) с какими-нибудь линейными преобразованиями аргумента.

[maxmatem]

ну если рассмотреть (1), то как в нём применить тангенс?

[id]

Ну например растянуть $(0,1)$ до $(0,\frac \pi 2)$ и применить.

[maxmatem]

как это растянуть? в задаче же задан $(0,1)$!

[id]

$(0,\infty) = Im \tan(\frac \pi 2 x), x \in (0,1)$

Есть еще такой прием:
Допустим, нам надо установить биекцию между $(0,1)$ и $[0,1]$. Выберем в интервале мн-во точек $X_1 := \{\frac 1 n\}_{n=2}^{\infty}$, а в отрезке $X_2 := \{0,1\} \cup X_1$.
Оба множества $X_1$ и $X_2$ счетны, поэтому между ними существует биекция, которую легко выписать. Все остальные точки: $(0,1) \setminus X_1$ и $[0,1] \setminus X_2$ - можно оставить на месте.

Ну а как свести случай $[a,b]\to\((c,d)$ к этому - ясно из еще одного упражнения выше, в к-ве искомой биекции возьмётся композиция уже придуманных.

[maxmatem]

а $[0,1)\to\[[0,\infty)$ я подумал, если р-ть геометрически, то мне кажется это либо гипербола, как-то преобразованая, либо..... что это?

[venco]

$\frac x{1-x}$

[maxmatem]

а как вы так сразу??? как вы рассуждали? я на листочке себе нарисовал, но как аналитически написать эту функцию,т.е я нарисовал примерный график! можно пошагово? просто очень принцип построения таких биекций понять хочется!

[Алексей К.]

maxmatem в сообщении #245899 писал(а):

Не совсем понимаю по какому принципу составляются биекции след рода:
1. $(0,1)\to\((0;\infty)$
4.$[0,1)\to\[[0,\infty)$

Когда у меня возникает нужда в поиске такого отбражения (а случается это примерно раз в два года), я пользую функцию $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. Для реализации $0\to 0$ пишу: $0=\frac{a\cdot0+b}{c\cdot 0+d}$; приходится выбрать $b=0$. Т.е. $y=\frac{ax}{cx+d}$. Далее замечаю, что $a\not=0$, и спокойно можно принять $a=1$ (обоснование понятно?). Чтобы сделать $1\to\infty$, обнуляю знаменатель: $c\cdot 1+d=0$, т.е. $d=-c$, $y=\frac{x}{cx-c}=c'\frac{x}{x-1}$ ($c'=c^{-1}$). Далее убеждаюсь, что получл строго монотонную на (0,1) функцию, без всяких выпендрёжек типа разрывов внутри этого интервала. Наконец, выбираю какое-нибудь конкретное $c$, например, $c=-999$, если хочется повыпендриваться, или $c=\pm 1$, если хочется выглядеть человеком обыкновенным.

[id]

Вариантов же много, можно точно так же тангенсом: $f(x):=\tan( \frac \pi 2 x), f: [0,1) \to [0,\infty)$.

Надо пробовать применять стандартные функции, наиболее просто устроенные и биективные на некоторых своих биограничениях, пробовать их композиции.

[Алексей К.]

Ну вот, поучусь у venco лаконизму...

[maxmatem]

проверьте если $f:(0,2)\to\[[0,\infty)$ тогда
$f(x)=\frac{x}{x-2}$ правильно?

[ИСН]

Точка 0 с одной стороны осталась без пары, а кроме этого все прекрасно.

[maxmatem]

как это исправить?