Формальное определение группы с отношением эквивалентности

[VenTOR]

Недавно обратившись к общей алгебре (как следствие при изучении числовых систем и вопросов введения чисел), обнаружил нечто непонятное, а имено:

1) В определении, допустим, группы не сказано ничего о каком-либо отношении эквивалентности, однако, как известно, свойства операций опять же в определении группы формулируются с использованием равенства. Возьмем, допустим, коммутативность операции $+;$ $ \forall x, \forall y: x+y=y+x$. И тогда отношение $=$ непонятно откуда берется.

2) Как, имея группу (ну и, наверное, отношение эквивалентности $=$, обладающе всеми своими свойствами), доказать следующее:
Пусть $a=b \Rightarrow$ \forall x: a+x=b+x?

[Профессор Снэйп]

Какое ещё "отношение эквивалентности"? О чём Вы?

-- Пт сен 18, 2009 23:58:15 --

VenTOR в сообщении #244527 писал(а):

В определении, допустим, группы не сказано ничего о каком-либо отношении эквивалентности

И слава Богу, что не сказано!

[VenTOR]

Эммм, если я не ошибаюсь, равенство является отношением эквивалентности. То есть в определении, допустим, все той же группы, не сказано вообще ничего о каких-либо бинарных отношениях.

[Xaositect]

Равенство - это равенство. Ну то есть две вещи равны, если это одна и та же вещь

[Leox]

не усложняйте, иногда банан обозначает именно банан

[mkot]

VenTOR в сообщении #244527 писал(а):

2) Как, имея группу (ну и, наверное, отношение эквивалентности $=$, обладающе всеми своими свойствами), доказать следующее:
Пусть $a=b \Rightarrow$ \forall x: a+x=b+x?

А это верно всегда, а не только для групп. То есть если $f(\cdot, \cdot)$ --- функция двух аргументов, то
$a=b \Rightarrow \forall x f(a, x) = f(b, x)$.

[VenTOR]

Нет, конечно же, интуитивно это понятно, но просто нигде формального введения не встретил пока еще

[mkot]

VenTOR в сообщении #244559 писал(а):

Нет, конечно же, интуитивно это понятно, но просто нигде формального введения не встретил пока еще

Ну формальное определение откуда взялось равенство несложно найти, для этого воспользуйтесь следующим запросом в каком-нибудь поисковике: алгебраические системы. И посмотрите как определяется формула в данном случае и что значит, что формула истинна.

[VAL]

VenTOR в сообщении #244559 писал(а):

Нет, конечно же, интуитивно это понятно, но просто нигде формального введения не встретил пока еще

Возьмите книжку Э.Мендельсона "Введение в математическую логику". Там в параграфе "теории первого порядка с равенством" Вы найдете милое Вашему сердцу определение группы.

[VenTOR]

Огромное спасибо!

[VenTOR]

Тему можно закрывать.