2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Формальное определение группы с отношением эквивалентности
Сообщение18.09.2009, 20:53 
Недавно обратившись к общей алгебре (как следствие при изучении числовых систем и вопросов введения чисел), обнаружил нечто непонятное, а имено:

1) В определении, допустим, группы не сказано ничего о каком-либо отношении эквивалентности, однако, как известно, свойства операций опять же в определении группы формулируются с использованием равенства. Возьмем, допустим, коммутативность операции $+;$ $ \forall x, \forall y: x+y=y+x$. И тогда отношение $=$ непонятно откуда берется.

2) Как, имея группу (ну и, наверное, отношение эквивалентности $=$, обладающе всеми своими свойствами), доказать следующее:
Пусть $a=b \Rightarrow$ \forall x: a+x=b+x?

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение18.09.2009, 20:57 
Аватара пользователя
Какое ещё "отношение эквивалентности"? О чём Вы?

-- Пт сен 18, 2009 23:58:15 --

VenTOR в сообщении #244527 писал(а):
В определении, допустим, группы не сказано ничего о каком-либо отношении эквивалентности


И слава Богу, что не сказано!

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение18.09.2009, 21:01 
Эммм, если я не ошибаюсь, равенство является отношением эквивалентности. То есть в определении, допустим, все той же группы, не сказано вообще ничего о каких-либо бинарных отношениях.

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение18.09.2009, 21:07 
Аватара пользователя
Равенство - это равенство. Ну то есть две вещи равны, если это одна и та же вещь :)

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение18.09.2009, 21:22 
не усложняйте, иногда банан обозначает именно банан

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение18.09.2009, 21:28 
Аватара пользователя
VenTOR в сообщении #244527 писал(а):
2) Как, имея группу (ну и, наверное, отношение эквивалентности $=$, обладающе всеми своими свойствами), доказать следующее:
Пусть $a=b \Rightarrow$ \forall x: a+x=b+x?

А это верно всегда, а не только для групп. То есть если $f(\cdot, \cdot)$ --- функция двух аргументов, то
$a=b \Rightarrow \forall x f(a, x) = f(b, x)$.

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение18.09.2009, 21:44 
Нет, конечно же, интуитивно это понятно, но просто нигде формального введения не встретил пока еще :(

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение18.09.2009, 21:59 
Аватара пользователя
VenTOR в сообщении #244559 писал(а):
Нет, конечно же, интуитивно это понятно, но просто нигде формального введения не встретил пока еще :(

Ну формальное определение откуда взялось равенство несложно найти, для этого воспользуйтесь следующим запросом в каком-нибудь поисковике: алгебраические системы. И посмотрите как определяется формула в данном случае и что значит, что формула истинна.

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение18.09.2009, 22:42 
VenTOR в сообщении #244559 писал(а):
Нет, конечно же, интуитивно это понятно, но просто нигде формального введения не встретил пока еще :(
Возьмите книжку Э.Мендельсона "Введение в математическую логику". Там в параграфе "теории первого порядка с равенством" Вы найдете милое Вашему сердцу определение группы.

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение18.09.2009, 23:53 
Огромное спасибо! :)

 
 
 
 Re: Вопрос по алгебре
Сообщение19.09.2009, 10:41 
Тему можно закрывать.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group