Магические квадраты

[maxal]

Nataly-Mak
Если вы еще работате над подобными квадратами - лучше подождать, когда закончите, чтобы за раз послать все найденные значения...
Кстати, последовательности уже объединены: A164843

[Nataly-Mak]

Да, я видела, что статьи объединили. В статье A073502 тоже появилось значение константы для квадрата 13-го порядка.
Над подобными квадратами я работаю, однако, когда закончу - неизвестно. Потому что не знаю, потянет ли Бейсик квадраты следующих порядков. Например, я уже сгенерировала набор из 15 строк для построения магического квадрата 15-го порядка из простых чисел и числа 1 (он здесь показан; этот квадрат (если он существует) интересен тем, что он в точности подобен квадрату Манси, то есть составлен из последовательных нечётных простых чисел, начиная с 1). А вот выполнить превращение этого набора в магический квадрат мне вряд ли удастся по моему алгоритму. Как я уже говорила, это превращение осуществляется комбинацией двух приёмов: перестановкой строк исходного набора и перестановкой чисел в строках. Представляете, сколько здесь будет комбинаций! Думаю, что Бейсик не справится за приемлемое время. Поэтому, вероятно, мне придётся остановиться на квадратах порядка 13.
С удовольствием предоставлю всем желающим исходные наборы строк для квадратов следующих порядков и программу на Бейсике для превращения этих наборов в магические квадраты.
Кстати, сегодня завершила первую часть статьи "Наименьшие магические квадраты из простых чисел".

[Nataly-Mak]

Квадраты 13-го порядка Бейсик строит хорошо, хотя иногда программу приходится гнать часа 2-3, но результат всё-таки получается. Сейчас получила наименьший квадрат 13-го порядка из простых чисел (в классическом определении) с той же магической константой, как и квадрат, показанный выше, но из другого массива простых чисел:

3 7 101 251 389 433 467 499 503 821 823 839 877
911 61 431 167 227 359 461 337 131 727 613 761 827
199 607 113 47 347 683 151 673 811 769 257 937 419
641 457 73 887 149 71 13 491 547 659 449 1013 563
809 397 1031 5 733 37 631 197 89 587 647 53 797
617 599 239 751 929 619 487 241 967 271 29 41 223
137 857 829 919 283 853 383 983 157 107 353 43 109
269 181 523 773 557 211 743 577 19 17 859 307 977
349 719 83 653 23 229 313 571 883 521 97 691 881
409 331 439 463 509 421 263 953 739 643 541 163 139
991 173 701 281 593 941 997 233 127 311 443 191 31
277 947 479 59 907 293 787 179 661 11 709 601 103
401 677 971 757 367 863 317 79 379 569 193 373 67

А не создать ли аналогичную последовательность минимальных магических констант для магических квадратов из смитов? Такая последовательность, наверное, ещё не создана? Пока у нас есть только два члена этой последовательности: $822, 1195$. Это минимальные константы квадратов 3-го и 4-го порядков. Наименьший магический квадрат 5-го порядка из смитов у меня так и не получился пока. К квадрату 6-го порядка даже не приступала. Смиты ведут себя как-то очень странно в этом смысле (расположения их в магическом квадрате), простые числа ведут себя намного лучше. Я уже перепробовала много разных путей для построения наименьшего квадрата 5-го порядка из смитов, однако пока никакого результата, даже в первом приближении. Минимально возможная магическая константа для такого квадрата мной вычислена, она равна 1516. Первым приближением был бы любой квадрат 5-го порядка из смитов с магической константой больше 1516, но не намного. Если бы такой квадрат удалось построить, тогда было бы ясно, в каком интервале будет находиться минимальная магическая константа. Сейчас нет никакой ясности, неизвестно вообще, какая же она будет - эта минимальная магическая константа, то есть нижняя граница известна, а верхняя - нет. Ну, если не считать, конечно, единственную известную мне магическую константу квадрата 5-го порядка из смитов, построенного мной из членов арифметических прогрессий. Но эта константа очень большая.
Бодигрим, вы ведь специалист по квадратам 5-го порядка. Не могли бы попробовать построить наименьший магический квадрат данного порядка из смитов? Может быть, потом и у меня что-нибудь получится
Подключайтесь все!
Напомню, что в решении этой задачи может оказаться полезной статья Нетрадиционные магические квадраты из чисел Смита.

[Бодигрим]

Nataly-Mak в сообщении #244365 писал(а):

Бодигрим, вы ведь специалист по квадратам 5-го порядка. Не могли бы попробовать построить наименьший магический квадрат данного порядка из смитов?

Я в процессе расчетов - собственно, поэтому и не мог проверить ваши квадраты из простых чисел. Пока ничего не нашлось. Есть довольно много квадратов с одним повторяющимся числом. Например,

22 535 382 645 58 
526 391 438 166 121 
483 4 274 562 319 
94 627 202 265 454 
517 85 346 4 690 

[Nataly-Mak]

Это здорово, что вы решаете задачу. Значит, решение будет
Я вот допишу статью о наименьших магических квадратах из простых чисел и тоже продолжу решать эту задачу. Должно же быть решение! Если магический квадрат 5-го порядка из различных смитов мной построен, значит, есть и другие. Надо только добраться до минимальной константы. Задача непростая. Хотя, как я уже отметила, подобные квадраты из простых чисел строятся гораздо легче. В чём тут причина, никак не могу понять.

[Бодигрим]

Причины простые: во-первых, на начальном отрезке натурального ряда простых чисел значительно больше, чем чисел Смита; во-вторых, простые числа распределены несколько "регулярнее".

[Nataly-Mak]

Несколько непонятно. Какая разница для магического квадрата, как распределены на отрезке натурального ряда числа, которыми этот квадрат пытаются заполнить? Тут всё зависит оттого, насколько хорошо числа данного массива складываются в группы по $n$ штук ($n$ - порядок квадрата) с заданной суммой чисел в группе (магической константой), иначе говоря, от количества разбиений данного массива чисел на такие группы. Вот, например, первые 25 смитов идеально подходят для построения магического квадрата 5-го порядка. Однако магический квадрат из этого массива смитов у меня не построился.
В книге Ю. В. Чебракова написано, что количество разбиений, о котором сказано выше, должно быть не меньше $2n + 2$. Это необходимое условие для того, чтобы магический квадрат из выбранного массива чисел построился.
Так вот, мне кажется, что на это условие никак не влияет распределение чисел Смита (или простых чисел) в натуральном ряду. Может быть, я ошибаюсь.

[Бодигрим]

Nataly-Mak в сообщении #244412 писал(а):

Тут всё зависит оттого, насколько хорошо числа данного массива складываются в группы [...] с заданной суммой

Так вот: у простых чисел в этом отношении все намного лучше.

Например, если принять гипотезы Гольдбаха (а в масштабах обычно встречающихся в магический квадратах чисел они справедливы), то всякое четное число можно представить в виде суммы двух простых (чаще всего еще и многими способами). Тогда, например, для квадрата 6-го порядка мы можем разбить его магическую сумму произвольным образом на три четных слагаемых, а каждое из них представить в виде суммы двух простых и таким образом получить строку из простых чисел. А разбить число в сумму трех слагаемых можно очень большим числом способов, что порождает очень большое количество строк с данной суммой. (Некоторые, конечно, будут повторяться.)

Аддитивные свойства чисел Смита далеко не так хороши. Как представляется из эмпирических наблюдений: не всякое число можно представить суммой даже трех чисел Смита. Поэтому и количество строк с данной суммой, составленных из чисел Смита, будет куда меньшим.

[Nataly-Mak]

Вот это уже понятнее

[Nataly-Mak]

Удалось построить наименьший магический квадрат 14-го порядка из простых чисел в классическом определении:

3 43 59 131 181 271 383 599 797 919 971 1039 1123 1193
1151 433 967 211 337 491 397 691 83 523 593 773 449 613
263 373 101 1063 877 617 419 911 787 241 151 839 739 331
503 439 809 1051 1091 659 157 1031 71 139 379 179 743 461
173 647 1069 389 1049 19 311 223 317 1103 283 947 499 683
547 13 1061 353 229 853 677 751 571 983 1201 29 193 251
643 269 887 733 23 409 1129 191 769 401 47 1109 149 953
163 881 673 107 431 487 991 631 829 109 349 367 811 883
1163 827 607 1171 443 653 463 5 457 577 31 293 601 421
509 1097 313 757 167 709 761 347 857 137 619 233 89 1117
1093 1019 7 521 1033 61 73 941 1009 859 701 11 127 257
53 467 97 307 1153 557 1021 569 359 937 821 113 977 281
907 17 823 641 661 929 67 719 79 587 479 563 1013 227
541 1187 239 277 37 997 863 103 727 197 1087 1217 199 41

Магическая константа равна $7712$.
И даже не очень долго программа работала. Сейчас попробую построить наименьший магический квадрат 14-го порядка из простых чисел плюс число 1. Если получится, тогда на очереди будет квадрат 15-го порядка в точности подобный квадрату Дж. Манси, то есть составленный из последовательных нечётных простых чисел и числа 1. Магическая константа этого квадрата будет равна $9635$ (если он существует).
Провела несколько экспериментов с квадратом 5-го порядка из смитов. Удалось установить, что минимальная константа такого квадрата не может быть меньше 1535. То есть я уточнила нижнюю границу магической константы. Думаю (по эмпирическим наблюдениям), что эта граница будет ещё больше, где-то порядка 1700.
Бодигрим, у вас есть какие-то данные о нижней границе магической константы такого квадрата? А о верхней?

[maxal]

Вот еще задачка на магические квадраты из простых чисел - найти новые члены последовательности A073520 (т.е. для $n\geq 7$). На сей раз требуется использовать последовательные простые так, чтобы магическая константа квадрата получилась минимальной.

Понятно, что необходимое условие здесь - делимость суммы всех $n^2$ используемых простых на $n$. Для $n=7$ оно дает минимальный потенциальный набор простых от $p_4=7$ до $p_{52}=239$, которые дали бы магическую константу $797$ - но существует ли такой квадрат $7\times 7$ ?

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #244826 писал(а):

Вот еще задачка на магические квадраты из простых чисел - найти новые члены последовательности A073520 (т.е. для $n\geq 7$). На сей раз требуется использовать последовательные простые так, чтобы магическая константа квадрата получилась минимальной.

Понятно, что необходимое условие здесь - делимость суммы всех $n^2$ используемых простых на $n$. Для $n=7$ оно дает минимальный потенциальный набор простых от $p_4=7$ до $p_{52}=239$, которые дали бы магическую константу $797$ - но существует ли такой квадрат $7\times 7$ ?

Ну, для порядка 7 я решила задачу за 5 минут. Вот искомый квадрат:

43 109 7 199 191 151 97
137 173 29 163 37 47 211
61 31 227 41 113 131 193
23 71 107 179 239 167 11
197 83 157 53 17 223 67
233 101 89 149 127 19 79
103 229 181 13 73 59 139

-- Сб сен 19, 2009 22:32:09 --

А это подобный квадрат 8-го порядка:

103 113 131 409 349 421 197 293
389 331 397 97 193 263 179 167
109 433 439 199 127 101 241 367
137 373 353 163 359 211 229 191
311 181 149 419 79 271 223 383
157 269 151 277 401 337 317 107
379 83 307 313 251 173 283 227
431 233 89 139 257 239 347 281

Используется массив последовательных простых чисел от 79 до 439. Магическая константа равна $2016$.
Подобный квадрат 9-го порядка давно известен. См. здесь.
Его магическая константа равна $2211$.
maxal, вы берётесь отправить мои результаты в Энциклопедию? Завтра попробую построить подобный квадрат 10-го порядка.

-- Сб сен 19, 2009 23:40:23 --

Квадрат 10-го порядка получился ещё сегодня

509 491 151 241 191 193 223 271 131 461
251 467 367 313 89 29 257 577 349 163
337 499 409 179 419 487 47 61 71 353
41 107 23 139 587 563 571 541 109 181
227 307 359 127 113 277 433 443 503 73
211 199 457 479 239 37 521 149 373 197
593 523 331 389 67 311 283 31 101 233
157 53 281 269 463 569 43 59 547 421
439 137 83 347 431 103 317 173 449 383
97 79 401 379 263 293 167 557 229 397

Он составлен из последовательных простых чисел от 23 до 593. Магическая константа равна $2862$.

[Nataly-Mak]

А вот и подобный квадрат 11-го порядка:

67 137 229 239 293 449 487 601 613 641 751
761 101 383 83 149 733 787 401 73 467 569
727 593 563 673 491 331 139 439 127 317 107
769 523 557 521 257 103 263 251 653 167 443
683 571 503 547 719 97 223 373 79 233 479
179 431 211 163 599 313 773 499 397 509 433
109 337 743 271 283 619 419 647 577 389 113
71 461 131 757 457 197 421 379 607 659 367
193 631 643 349 709 617 359 241 409 157 199
797 541 353 677 281 701 173 89 311 277 307
151 181 191 227 269 347 463 587 661 691 739

Составлен из последовательных нечётных чисел от 67 до 797, магическая константа равна $4507$.
Итак, вот продолжение последовательности А073520, полученное мной: $797, 2016, ..., 2862, 4507$. Пропущенная константа для квадрата 9-го порядка равна $2211$, квадрат известен давно (ссылка выше).

-- Вс сен 20, 2009 07:25:47 --

И подобный квадрат 12-го порядка:

89 101 347 349 373 479 487 607 787 823 863 883
701 599 661 653 647 751 419 137 97 311 383 829
797 571 881 977 107 277 223 827 617 173 557 181
811 983 839 547 233 967 293 199 163 643 317 193
577 239 641 149 191 521 409 859 443 853 353 953
157 659 499 227 773 109 991 907 307 673 167 719
337 379 313 613 467 131 727 269 541 821 857 733
331 709 761 809 947 691 113 683 421 229 367 127
439 509 359 587 877 251 919 677 563 461 283 263
619 739 179 743 433 971 491 151 401 463 397 601
941 503 139 103 929 271 523 241 937 457 887 257
389 197 569 431 211 769 593 631 911 281 757 449

Составлен из последовательных простых чисел с 89 до 991. Магическая константа равна $6188$.
Вот насколько эффективен мой метод для построения магических квадратов из простых чисел. Однако для построения квадратов из смитов он совсем не работает! Эти смиты не хотят складываться в магические квадраты
Даже квадрат 5-го порядка не могу построить. Надо придумывать другой метод.

-- Вс сен 20, 2009 08:47:08 --

Это мой вариант подобного квадрата 9-го порядка:

37 83 131 197 229 283 373 421 457
227 383 389 307 109 53 191 479 73
271 277 179 269 241 181 163 233 397
151 293 251 463 379 157 337 137 43
409 433 257 127 311 173 71 113 317
349 439 47 223 313 263 167 79 331
107 103 149 367 101 443 467 281 193
449 61 347 59 97 419 353 67 359
211 139 461 199 431 239 89 401 41

-- Вс сен 20, 2009 09:30:01 --

Подобный магический квадрат 13-го порядка построился на удивление быстро:

13 71 73 173 199 443 593 613 619 743 859 907 1019
919 769 829 491 41 83 751 211 599 433 719 97 383
109 419 997 571 463 311 439 797 683 499 811 47 179
991 673 431 367 269 461 223 727 193 191 967 479 353
521 643 53 547 251 733 503 821 809 337 331 397 379
229 19 677 233 347 467 1031 293 577 881 79 839 653
373 587 823 283 197 409 509 359 43 317 647 757 1021
1009 617 257 37 569 23 31 983 307 457 601 421 1013
139 787 641 263 487 563 101 401 971 773 151 911 137
853 937 61 863 977 313 827 131 349 163 181 389 281
241 89 449 883 709 941 557 29 659 1033 127 541 67
761 607 157 953 929 631 59 857 239 227 739 17 149
167 107 877 661 887 947 701 103 277 271 113 523 691

Составлен из последовательных простых чисел от 13 до 1033. Магическая константа равна $6325$.

Однако, maxal, вы, как автор приведённой здесь задачи, скажите что-нибудь. Может быть, я совсем не такие квадраты строю

[Nataly-Mak]

Замечено: магические квадраты из последовательных простых чисел строятся лучше, чем квадраты из простых чисел с пропусками. Вот буквально за 15 минут построила наименьший магический квадрат 14-го порядка из последовательных простых чисел:

89 97 193 227 241 521 563 683 911 1063 1231 1237 1283 1321
277 1091 1181 431 1153 757 739 937 941 433 1019 113 139 449
701 283 197 137 827 503 1069 1187 1087 233 499 877 1051 1009
1223 461 541 1259 149 1163 743 719 359 479 647 1291 163 463
311 883 601 239 1289 269 307 967 491 829 211 857 1109 1297
1097 809 1061 1129 823 487 523 587 443 733 199 853 317 599
617 977 167 643 127 709 773 509 577 811 997 971 1361 421
1301 439 1249 419 109 1279 1123 569 383 907 653 251 337 641
659 727 557 691 1327 401 983 179 1151 331 761 1117 157 619
229 991 607 389 257 859 1171 1213 547 1033 1319 631 263 151
1229 191 181 571 863 1307 281 293 1277 379 821 367 887 1013
673 919 929 1303 947 347 397 1039 173 1031 467 313 769 353
593 953 1093 1021 797 787 881 101 103 1049 223 409 457 1193
661 839 1103 1201 751 271 107 677 1217 349 613 373 1367 131

Массив простых чисел такой: 89, 97, ..., 1361, 1367. Магическая константа квадрата равна $9660$.
Квадрата 15-го порядка из простых чисел я ещё не построила ни одного (в двух предыдущих сериях). Сейчас попробую построить такой квадрат в данной серии. Может быть, и получится, наудачу!

[Nataly-Mak]

Это наименьший магический квадрат 14-го порядка из простых чисел и числа 1:

1 97 157 227 359 409 431 523 577 593 1009 1021 1051 1171
857 337 821 937 971 61 311 569 1153 113 23 257 953 263
941 499 859 421 31 439 1103 103 743 563 677 251 239 757
641 83 131 619 829 19 317 1151 241 433 811 853 389 1109
947 107 307 59 877 1091 17 1093 397 461 373 67 967 863
607 271 5 193 281 1039 479 1129 109 47 983 911 379 1193
881 347 773 353 491 197 367 787 631 827 647 7 1049 269
1097 661 73 701 997 587 401 277 919 727 233 751 149 53
683 521 13 211 673 127 443 89 1117 509 769 929 883 659
79 907 541 1213 151 503 991 449 139 797 223 1013 3 617
101 1031 887 199 487 823 599 349 571 463 1063 709 163 181
43 1187 809 733 601 293 1033 37 467 1019 229 173 719 283
191 839 1163 691 331 1061 1123 457 383 761 419 41 29 137
557 739 1087 1069 547 977 11 613 179 313 167 643 653 71

Магическая константа квадрата равна $7626$.
Это ещё один член в последовательность A073502
Итак, с квадратами 14-го порядка закончила, построила их трёх видов.
Попробовала вчера строить квадрат 15-го порядка. Пока туго программа выполняется. Надо придумывать оптимизацию либо переходить уже, наконец, на другой язык. Есть ещё вариант: найти помощника, который мог бы стать соавтором новых квадратов.